线性代数第六章

（优选）线性代数第六章当前第1页\共有47页\编于星期二\13点第一节二次型定义1

n个变量x1，x2，…，xn的二次齐次多项式称为一个n元二次型，简称二次型。

(6.1)当所有系数aij为复数时,称f为复二次型；当所有系数aij为实数时,称f为实二次型。

当前第2页\共有47页\编于星期二\13点取

，则有

从而(6.1)式可写成当前第3页\共有47页\编于星期二\13点当前第4页\共有47页\编于星期二\13点令当前第5页\共有47页\编于星期二\13点则用矩阵将二次型(6.1)可写成其中矩阵A为实对称矩阵。

由于矩阵A的主对角线元素aii是二次型f中平方项xi2的系数，其余元素aij=aji(i≠j)正是中交叉项xixj系数的一半。因此，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系。我们称对称阵A为二次型f的矩阵,称矩阵A的秩为二次型f的秩。当前第6页\共有47页\编于星期二\13点例1

将二次型

表示为矩阵形式,并写出f的矩阵和f的秩。解:

当前第7页\共有47页\编于星期二\13点因此，f的矩阵为

由于矩阵A的秩为2，从而二次型f的秩为2。当前第8页\共有47页\编于星期二\13点定义2设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表示,即存在常数cij(i,j=1,2,…,n),使

(6.3)

成立。则称此关系式为由变量

x1,x2,...,xn到变量

y1,y2,...,yn的一个线性变换，或简称线性变换。

当前第9页\共有47页\编于星期二\13点设

则(6.3)可以写成以下矩阵形式当|C|≠0时,称X=CY为可逆(或非退化)线性变换.当前第10页\共有47页\编于星期二\13点显然,可逆线性变换是一一对应的

在处理许多问题时,常常希望通过变量的线性变换来简化有关二次型。如果对二次型(6.1)进行可逆线性变换X=CY,则记

,上式为当前第11页\共有47页\编于星期二\13点因为A是对称矩阵,所以即B也是对称矩阵,从而

是一个关于变量的n元二次型,于是得到下面的定理

后,仍然是一个二次型,且新的二次型的矩阵为定理1二次型经可逆线性变换之定义3

对于两个n阶矩阵A、B，若存在n阶可逆矩阵C，使，则称矩阵A与B合同。当前第12页\共有47页\编于星期二\13点矩阵的合同关系与相似关系类似,也是一种特殊的等价关系，具有自身性、对称性和传递性。由定理1可知,经过可逆线性变换后,新旧二次型的矩阵彼此合同，又合同矩阵具有相同的秩，所以可逆线性变换不改变二次型的秩。当前第13页\共有47页\编于星期二\13点第二节化二次型为标准形定义1只含平方项而不含交叉项的二次型:称为标准形式的二次型,简称为标准形。显然,标准形是最简单的一种二次型。下面介绍化二次型为标准形的二种常用方法：正交变换法和配方法。当前第14页\共有47页\编于星期二\13点一、正交变换法定理1

任意一个n元二次型(A实对称)总可以经过正交变换X=QY(Q为正交矩阵)化为标准形(6.6)

其中

1,

2,...,

n是矩阵A的全部特征值。式(6.6)称为二次型在正交变换下的标准形。

证：因为矩阵A是实对称阵，一定存在正交矩阵Q，使得

当前第15页\共有47页\编于星期二\13点其中

1,

2,...,

n是矩阵A的全部特征值。作正交变换X=QY，则

当前第16页\共有47页\编于星期二\13点在解析几何中，在进行二次曲线或二次曲面的化简时，经常用到定理1，通常称为主轴定理。可以证明,正交变换保持线段的长度不变,所以用正交变换化二次型为标准形,具有保持几何形状不变的优点,因此正交变换法无论在理论上还是在实际应用中都十分重要。

当前第17页\共有47页\编于星期二\13点例1用正交变换化下面的二次型为标准形：并判断二次曲面的类型。解:二次型的矩阵为

在第五章§3例1中,我们已求得A的特征值为

当前第18页\共有47页\编于星期二\13点并求出使A相似于对角矩阵的正交矩阵

根据定理1,作正交变换X=QY，就可以使二次型化为标准形当前第19页\共有47页\编于星期二\13点二次曲面

,经正交变换化为标准形因此二次曲面f=1表示旋转双曲面。当前第20页\共有47页\编于星期二\13点二、配方法用正交变换法化二次型为标准形,通常计算量比较大。如果不要求作正交变换,而只要求作一般的可逆线性代换的话，那么化二次型为标准形可用一种简便的方法——配方法。下面我们用具体例子来说明这种方法。当前第21页\共有47页\编于星期二\13点例2用可逆线性变换化下列二次型为标准形，并用矩阵形式写出所用线性变换。

解

（1）因为中的系数不为零，故把含的项集中起来，配方可得当前第22页\共有47页\编于星期二\13点上式右端除第一项外已不再含x1，继续配方可得令即当前第23页\共有47页\编于星期二\13点用矩阵形式表示为令当前第24页\共有47页\编于星期二\13点则|C|=1≠0，故X=CY为可逆线性变换，且将二次型f化为标准形(2)因为二次型f中没有平方项，无法像(1)那样直接配方，所以先作一个可逆线性变换，使其出现平方项。由于含有x1x2交叉项，故令当前第25页\共有47页\编于星期二\13点即

代入可得再用(1)中的配方法，先对含y1的项配完全方，然后对含y2的项配完全平方，得到当前第26页\共有47页\编于星期二\13点令

即综合以上两个可逆线性变换，得当前第27页\共有47页\编于星期二\13点所以，在可逆线性变换X=CZ下，f化为标准形

当前第28页\共有47页\编于星期二\13点一般地，任何一个二次型，要么某个平方项x2的系数不为0，要么某个交叉项xixj

(i≠

j)的系数不为0，所以一次或多次使用例2中(1)、(2)的方法，经有限次配方后，总可以化为标准形，即有下面的定理:定理2

任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形。当前第29页\共有47页\编于星期二\13点第三节惯性定理

任何一个二次型都可以经过可逆线性变换化为标准形，但是，如果所用的变换不同，那么所得到的二次型的标准形也可能不相同，即二次型的标准形是不唯一的。经可逆线性变换：当前第30页\共有47页\编于星期二\13点化为标准形另一方面作可逆线性变换即当前第31页\共有47页\编于星期二\13点则原二次型f又可化为标准形

比较f的二个标准形，可以发现f的标准形虽然不唯一，但是f的不同标准形中不但系数不为零的平方项的个数是一样的，而且正平方项、负平方项的个数也相同，这不是偶然的，它就是下面的惯性定理。当前第32页\共有47页\编于星期二\13点定理1(惯性定理)

对于秩为r的n元二次型不论用什么可逆线性变换，把f化为标准形，其中正平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的，且p+q=r.定义1

在二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX的标准形中，正平方项的个数p称为二次型f的正惯性指数，负平方项的个数q=r-p称为二次型f的负惯性指数，它们的差p-q称为二次型f的符号差。

当前第33页\共有47页\编于星期二\13点推论1对于任何二次型都存在可逆线性变换X=CY，使其中p、q分别为f的正、负惯性指数。

（6.15）式右端称为二次型f

的规范形，显然，它是唯一的。由惯性定理可得下面的推论:当前第34页\共有47页\编于星期二\13点第四节正定二次型与正定矩阵定义1

实二次型f(x1,x2,...,xn)=X'AX，如果对任意的非零向量X=(x1,x2,...,xn)

',都有

f(x1,x2,...,xn)>0

(或f(x1,x2,...,xn)<0),则称二次型f

为正定（或负定）二次型，其对应的矩阵A称为正定（或负定）矩阵，记为A>0（或A<0）当前第35页\共有47页\编于星期二\13点例如实二次型显然为正定二次型，而和就不是正定二次型，因为当前第36页\共有47页\编于星期二\13点根据定义1，可得以下两个结论：(结论1)标准形实二次型

正定的充要条件是

(结论2)实二次型

经可逆线性交换后其正定性不变。当前第37页\共有47页\编于星期二\13点证（结论1）

充分性

∴f为正定二次型。必要性

∵f为正定二次型。当前第38页\共有47页\编于星期二\13点证:（结论2）

设为f正定二次型,在经过可逆线性变换X=CY后，变为：

即f变为g，下面证明g为正定二次型。当前第39页\共有47页\编于星期二\13点对于任意非零向量

由于C可逆，从而对应的X=CY是非零向量。

反证,若X=0,则CY=0,从而

C-1CY=Y=0,矛盾!

又由于：

且f是正定二次型，所以：

当前第40页\共有47页\编于星期二\13点根据以上二个结论可以得到判别二次型是否正定的几个等价条件。定理1对于n元实二次型以下命题等价。

(1)f是正定二次型（或A是正定矩阵）；(2)f的正惯性指数p=n,（或A合同单位矩阵E)(3)A的n个1,2,…,n特征值全大于零。当前第41页\共有47页\编于星期二\13点最后，介绍一个直接从二次型的矩阵A本身判别它是否正定的方法。定理2

n元实二次型f=X’AX正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都大于0，即

，…，，当前第42页\共有47页\编于星期二\13点例1

判断下列二次型是否正定解:二次型f的矩阵为

A的各阶主子式为当前第43页\共有47页\编于星期二\13点根据定理2，f是正定的。当前第44页\共有47页\编于星期二\13点例2证明：