线性代数讲义第一章演示文稿

线性代数讲义第一章演示文稿当前第1页\共有46页\编于星期二\13点（优选）线性代数讲义第一章当前第2页\共有46页\编于星期二\13点用消元法解二元线性方程组1、二阶行列式§1.二阶与三阶行列式当前第3页\共有46页\编于星期二\13点方程组的解为由方程组的四个系数确定.当前第4页\共有46页\编于星期二\13点为便于记忆，引入记号

其中，数称为行列式的元素。该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行两列，故称之为二阶行列式。每一元素有两个下标，第一个下标i称为行标，表明该元素位于行列式的第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于行列式的第j列；当前第5页\共有46页\编于星期二\13点主对角线辅对角线若记对于二元线性方程组当前第6页\共有46页\编于星期二\13点则二元线性方程组的解为当前第7页\共有46页\编于星期二\13点三阶行列式的计算:对角线法则当前第8页\共有46页\编于星期二\13点§2n阶行列式的定义1.全排列与逆序数定义1

如，1234和4312都是4阶排列，而53142为一个5阶排列。显然，n阶全排列的个数为n！个。定义2

当前第9页\共有46页\编于星期二\13点例1求下列排列的逆序数逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.2.n阶行列式的定义考察三阶行列式的定义当前第10页\共有46页\编于星期二\13点（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列，当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列式代数和中的所有项；

（3）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的奇偶性．（1）三阶行列式共有6项，即3阶排列的个数；故当前第11页\共有46页\编于星期二\13点定义3当前第12页\共有46页\编于星期二\13点例2

计算下三角形行列式解展开式的一般项为不为零的项只有当前第13页\共有46页\编于星期二\13点定义4

将一个排列中的两个数位置对调称为对换，将相邻两个数位置对调称为相邻对换。

定理1一次对换改变排列的奇偶性。

定理2

定理3当前第14页\共有46页\编于星期二\13点§3行列式的性质称之为D的转置行列式。记性质1行列式与它的转置行列式相等.当前第15页\共有46页\编于星期二\13点性质2

交换行列式的两行（列）,行列式变号.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明当前第16页\共有46页\编于星期二\13点性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.推论2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．当前第17页\共有46页\编于星期二\13点推论3

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明当前第18页\共有46页\编于星期二\13点性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如当前第19页\共有46页\编于星期二\13点例3

当前第20页\共有46页\编于星期二\13点解当前第21页\共有46页\编于星期二\13点当前第22页\共有46页\编于星期二\13点性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如当前第23页\共有46页\编于星期二\13点1、行列式与其转置行列式的值相等;2、交换行列式的两行或两列,行列式的值变号;3、用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此行列式;5、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.行列式的性质4、如果行列式的某一列(行)的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和;当前第24页\共有46页\编于星期二\13点计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例4

当前第25页\共有46页\编于星期二\13点解将第列都加到第一列得例5

计算n阶行列式

当前第26页\共有46页\编于星期二\13点当前第27页\共有46页\编于星期二\13点§4行列式按行(列)展开余子式与代数余子式行列式按行（列）展开法则当前第28页\共有46页\编于星期二\13点在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，余下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如1、

余子式与代数余子式当前第29页\共有46页\编于星期二\13点当前第30页\共有46页\编于星期二\13点2、行列式按行（列）展开法则

当前第31页\共有46页\编于星期二\13点例6定理4行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即当前第32页\共有46页\编于星期二\13点当前第33页\共有46页\编于星期二\13点推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证相同考察下述行列式当前第34页\共有46页\编于星期二\13点同理当前第35页\共有46页\编于星期二\13点关于代数余子式的重要性质当前第36页\共有46页\编于星期二\13点

证用数学归纳法例7证明范德蒙德(Vandermonde)行列式当前第37页\共有46页\编于星期二\13点当前第38页\共有46页\编于星期二\13点n-1阶范德蒙德行列式当前第39页\共有46页\编于星期二\13点例8

计算n+1阶行列式当前第40页\共有46页\编于星期二\13点练习：计算n阶行列式当前第41页\共有46页\编于星期二\13点§5

Cramer法则

非齐次与齐次线性方程组的概念Cramer法则齐次线性方程组的相关定理当前第42页\共有46页\编于星期二\13点设线性方程组则称此方程组为n元非

齐次线性方程组;则称方程组为n元齐次线性方程组.1、非齐次与齐次线性方程组的概念当前第43页\共有46页\编于星期二\13点2、Cramer法则定理5

如果n元线性方程组的系数行列式当前第44页\共有46页\编