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文档简介

3.2.2函数的奇偶性

问题1.

观察下面两个图象.有什么共同特征?xyo1-12-22313-3f(x)=x2xyo1-12-22313-3f(x)=|x|关于y轴对称94101493210123具备这样特征的函数，我们称为偶函数.

我们能否类比研究函数单调性，用符号语言表述“函数关于y轴对称”这一特征呢？如:

问题1中,f(x)=x2,f(-x)=(-x)2=x2,得f(-x)=f(x),∴

f(x)=x2是偶函数.同样,f(x)=|x|,f(-x)=|-x|=|x|,得f(-x)=f(x),∴

g(x)=|x|也是偶函数.

问题2.

刚才两个图象关于y轴对称，那以下两个函数图象有什么共同特征吗?xyo1-13-313-3f(x)=xxyo1-13-313-3关于原点对称

类比偶函数的定义，大家能否用符号语言严谨地表述“函数图象关于原点对称”这一特征呢？奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称奇函数与偶函数的相同点与不同点有那些？相同点：（1）定义域关于原点对称；（2）都是函数的整体性质.奇函数与偶函数的相同点与不同点有那些？不同点：（1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数；（2）偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于原点对称.

例(补充):

如图是函数y=f(x)的图象的一部分,根据下列条件,画出函数的另一部分.

(1)

函数是奇函数;(2)

函数是偶函数.xyO解:(1)奇函数的图象关于原点对称.xyO(2)偶函数的图象关于y

轴对称.xyO跟踪训练

如何探究函数的性质及图象？

应探究函数的定义域、奇偶性、单调性．顺序是先求函数的定义域，再判断是否具有奇偶性，如果具有奇偶性，则只探究y轴右侧的函数单调性及图象，y轴左侧的可以根据奇偶性得到．2.

已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.解:于是得

f(x)在(-∞,0)上xyOf(x)是偶函数,图象关于f(x)在(0,+∞)上是减函数,这部分的图象左高右低.y

轴对称.是增函数.2.

已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数,判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的判断.证明:xyO在(-∞,0)上任取x1<x2<0,则-x1>-x2>0.而f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x1)<f(-x2).又f(x)是偶函数,即f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)<f(x2).∵x1<x2<0,∴

f(x)在(-∞,0)上是增函数.偶函数奇函数定义图象定义域一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),

一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),

关于y轴对称关于原点

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