位移和应变分析演示文稿

位移和应变分析演示文稿当前第1页\共有62页\编于星期四\19点优选位移和应变分析当前第2页\共有62页\编于星期四\19点§3-1位移分量和应变分量以及其间的关系一.位移分量物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分，一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移；另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。当前第3页\共有62页\编于星期四\19点物体变形前，点M（x,y,z）变形后,该点由原来位置移至新的位置M’(x’,y’z’)称为点M的位移在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。考虑外力作用下的两种状态：平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化，不随时间变化。运动状态：M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和时间变化而变化。当前第4页\共有62页\编于星期四\19点本章仅考虑平衡状态。根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后，都一一对应于相应的点M’；位移分量是点坐标的单值连续函数。即：由于运算的需要，假定位移分量具有连续到三阶的偏导数。当前第5页\共有62页\编于星期四\19点二.应变分量分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一个平行于三个坐标平面的微分平行六面体（单元体）。设其三个棱边的长度分别为dx,dy,dz。由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与此微分体的变形情况的差别是微小的；因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上投影的变形就可以了。当前第6页\共有62页\编于星期四\19点考察物体内任意一微小线段长度的相对改变正（线）应变方向的相对改变剪（角）应变变形包括：1.各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示2.棱边夹角的变化，用剪应变表示。当前第7页\共有62页\编于星期四\19点沿坐标轴x,y,z方向的正应变分量为：剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度表示）注意：即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。当前第8页\共有62页\编于星期四\19点当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。当前第9页\共有62页\编于星期四\19点三.应变分量和位移分量间的关系将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标平面上的投影来表明。以在oxy平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量的关系：P点在x，y轴的位移分量为：A，B两点相应的位移分量分别是：按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则A点和B点的位移分量分别为当前第10页\共有62页\编于星期四\19点一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；考察P点邻域内线段的变形：xyOPAdxBdyuv变形前变形后ABuPv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。当前第11页\共有62页\编于星期四\19点xyOPAdxBdyuvPA的正应变：PB的正应变：P点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化当前第12页\共有62页\编于星期四\19点整理得：——几何方程说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v

已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）——以两线段夹角减小为正，增大为负。xyOPAdxBdyuv当前第13页\共有62页\编于星期四\19点利用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应变分量和位移分量之间的关系：此式称为几何方程，又称柯西（Cauchy）方程如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分量如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，积分需要确定积分常数，由边界条件决定当前第14页\共有62页\编于星期四\19点应变分量的符号规定：正应变：正号的正应变表示沿该方向伸长，负号的正应变表示沿该方向缩短；剪应变：正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小，负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。当前第15页\共有62页\编于星期四\19点§3-2物体内一点的应变状态问题：1、求过此点任意方向微分线段的正应变；2、求过该点任意两个方向微分线段间夹角的改变量。（注意剪应变的定义）一、求过A点沿N方向的任一微分线段AB的正应变该微分线段在直角坐标轴上的投影为：当前第16页\共有62页\编于星期四\19点设A点的位移分量为u，v，w，则B点的位移为：AB’BA’L，m，nL’，m’，n’drdr’当前第17页\共有62页\编于星期四\19点物体变形后，微分线段AB变为A’B’，则A’B’在坐标轴上的投影为：设线段AB的正应变为当前第18页\共有62页\编于星期四\19点当前第19页\共有62页\编于星期四\19点当前第20页\共有62页\编于星期四\19点利用矩阵表示为：当前第21页\共有62页\编于星期四\19点称为应变张量当前第22页\共有62页\编于星期四\19点二、求过A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量Adr1C’B’CBA’dr2’dr2dr1’CCAB的方向余弦为AC的方向余弦为当前第23页\共有62页\编于星期四\19点变形前夹角变形后夹角当前第24页\共有62页\编于星期四\19点当前第25页\共有62页\编于星期四\19点A’B’的方向余弦为A’C’的方向余弦为当前第26页\共有62页\编于星期四\19点利用矩阵表示为：当前第27页\共有62页\编于星期四\19点变形后夹角当前第28页\共有62页\编于星期四\19点夹角改变量为当前第29页\共有62页\编于星期四\19点当前第30页\共有62页\编于星期四\19点§3-3主应变和主方向过物体内一点不同方向上的正应变以及同一点两垂直方向的剪应变是不同的。问题：过该点是否存在这样三个互相垂直的方向，使沿这三个方向的微分线段，在物体变形后只是各自改变了长度，而夹角仍保持为直角。我们可以证明存在此单元体；我们把具有性质的方向称为该点应变的主方向，或应变主轴，此方向的正应变称为主应变。当前第31页\共有62页\编于星期四\19点设AB表示物体内一点沿A沿其主方向的微分线段，其方向余弦为l,m,n,变形后，线段AB变为A’B’,方向余弦为l’,m’,n’

ε表示线段AB的正应变，即主应变。当前第32页\共有62页\编于星期四\19点将式子变形可得：当前第33页\共有62页\编于星期四\19点线段AB的方向余弦为l,m,n,变形后，线段AB变为A’B’,方向余弦为l’,m’,n’；一般来说，它们是不相等的。但是它们的偏离是由于单元体的刚性转动所引起的。故（l,m,n）与（l,‘m’,n‘）一致当前第34页\共有62页\编于星期四\19点此为应变主方向应该满足的方程，方向余弦还应该满足与应力分析相似，采用分析主应力的方法可以得出求主应变的方程为：应变状态的特征方程当前第35页\共有62页\编于星期四\19点分别称为第一、第二、第三应变不变量当前第36页\共有62页\编于星期四\19点由应变状态的特征方程求德的三个根就是A点的三个主应变。求主应变的方向，即应变主方向，将主应变的结果带入方程可以求出。当已知主应变时当前第37页\共有62页\编于星期四\19点§3-6体积应变体积应变：物体变形后单位体积的变化用体积的相对变化（体积应变）来反映物体内任一点体积的变化。物体内任一点M（x，y，z）附近取一个微分六面体，各棱边长度为dx，dy，dz，其体积为：变形后，由于在线性应变的情况下，剪应变不会引起微分体各边长度的改变，而剪应变引起的体积改变为高阶微量，可以略去不记。因此，研究体积改变只考虑正应变所产生的影响。当前第38页\共有62页\编于星期四\19点变形前：变形后：当前第39页\共有62页\编于星期四\19点当前第40页\共有62页\编于星期四\19点即应变的第一应变不变量。一点的体积应变等于位移场的散度。当前第41页\共有62页\编于星期四\19点§3-7无旋变形和等体积变形

位移矢量公式考虑位移在物体所占空间各点的分布和变化的规律，引入位移场的概念。由场的概念定义位移场如果在物体所占空间内的每一点，都对于着大小和方向完全确定的位移，就称在这个空间里确定了该位移的场，而这空间区域叫做位移场。用场论的观点来分析位移：当前第42页\共有62页\编于星期四\19点一、无旋变形势量场如物体变形时，其中任一微小体积都不作刚性转动，这样的变形称为无旋变形，即：如果连续体内的位移场有一个标量位φ，则位移场等于此标量位的梯度。这种位移场称为势量场，或无旋场当前第43页\共有62页\编于星期四\19点证明：位移场是势量场的必要充分条件是故证明了，如位移场是势量场，则位移场的旋度等于零如果位移场的旋度为零，则此位移场是势量场1、2、当前第44页\共有62页\编于星期四\19点二、等体积变形管量场如物体变形时，其中任一微小体积的大小都不改变，即体积应变为零，这样的变形称为等体积变形。在此情况下：如果连续体内的位移场有一个矢量位则位移场等于此矢量位的旋度。这种位移场称为管量场或无源场。当前第45页\共有62页\编于星期四\19点位移场是管量场的必要充分条件是证明：1、故证明了，如位移场是管量场，则位移场的散度等于零2、当前第46页\共有62页\编于星期四\19点具体的求一组解的方法：对y积分可以得到当前第47页\共有62页\编于星期四\19点可以满足上式。当前第48页\共有62页\编于星期四\19点可以得到此方程的一组解；证明了由位移场的散度为零所决定的矢量位存在，但是解不是唯一的。所以知道：如果位移场的散度为零，则此位移场是管量场。当前第49页\共有62页\编于星期四\19点三、位移矢量公式一般情况下，物体变形时，其中任一微小体积既有体积改变，又作刚性转动。因此，相应的位移场就是势量场和管量场的迭加。即位移矢量可以分解为两个分矢量，第一个分矢量表示无转动，而是纯体积膨胀的位移，就是标量位的梯度。第二个分矢量表示没有体积膨胀的纯转动的位移，就是矢量位的旋度。此为位移矢量公式当前第50页\共有62页\编于星期四\19点§3-8位移边界条件解决弹性力学问题，必须考虑边界条件力的边界条件：物体表面上给定了面力，位移边界条件：物体表面给定的是位移。力的边界条件给出了应力和面力之间的关系。位移边界条件是指当物体变形时，相应的位移函数在边界上应满足的条件。当前第51页\共有62页\编于星期四\19点§3-9应变协调方程由连续性假设，物体在变形前后均是连续体，因此物体内各单元体与单元体之间的变形必须相互协调；否则各单元体发生变形以后，就不能再组成一个连续体。位移分量：u，v，w应变分量：几何方程：当前第52页\共有62页\编于星期四\19点六个应变分量可以用三个位移分量来表示，各应变分量之间必须存在一定的关系；如果不满足，则应变就不能与一组连续的位移相对应，变形将不协调。为使变形连续或者协调，各应变分量所满足的关系就是应变协调方程。应变分量满足应变协调方程，是保证物体连续的一个必要条件。如果物体是单连通的，应变分量满足应变协调方程也是物体连续的充分条件。当前第53页\共有62页\编于星期四\19点考虑xy平面内各应变分量之间的关系：将几何方程：作如下运算：显然有：——应变协调方程（或相容方程）即：必须满足上式才能保证位移分量u、v

的存在与协调，才能求得这些位移分量。当前第54页\共有62页\编于星期四\19点同理可以求得另外两平面内应变分量的关系式，综合起来可以得到以下方程组：例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，