基本不等式及不等式的应用

§7.3基本不等式及不等式的应用高考数学

(浙江专用)(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+

,x∈[0,1].证明:(1)f(x)≥1-x+x2;(2)

<f(x)≤

.A组自主命题·浙江卷题组五年高考证明(1)1-x+x2-x3=

=

,由于x∈[0,1],故

≤

,即1-x+x2-x3≤

,所以f(x)≥1-x+x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+

≤x+

=x+

-

+

=

+

≤

,所以f(x)≤

.由(1)得f(x)≥1-x+x2=

+

≥

,又因为f

=

>

,所以f(x)>

.综上,

<f(x)≤

.疑难突破

(1)将证明f(x)≥1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3≤

成立,而左边=

=

≤

=右边,从而问题得证.(2)运用放缩思想,由0≤x≤1⇒x3≤x,从而f(x)=x3+

≤x+

,而x+

=x+

-

+

=

+

≤

,由(1)及f

=

>

得f(x)>

,从而问题得证.考点一基本不等式B组统一命题、省（区、市）卷题组1.(2019天津理,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=5,则

的最小值为

.答案4

解析本题主要考查利用基本不等式求最值;通过不等式的应用考查学生推理论证能力及运

算求解能力;体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.∵x+2y=5,x>0,y>0,∴

=

=

=2

+

≥2

=4

,当且仅当

即

或

时,原式取得最小值4

.2.(2019江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+

(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是

.答案4解析本题通过曲线y=x+

(x>0)上的动点到直线的最小距离考查点到直线的距离公式、基本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何

关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.设P

,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=

=

≥4,当且仅当x0=

,即x0=

时取“=”.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.一题多解

当点P到直线x+y=0的距离最小时,在点P处的切线与直线x+y=0平行.设P

,x0>0,易知y'=1-

,令1-

=-1,得

=2.∵x0>0,∴x0=

,∴P(

,3

).此时点P到直线x+y=0的距离为

=4.故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.3.(2019上海,7,5分)若x,y∈R+,且

+2y=3,则

的最大值为

.答案

解析本题主要考查函数的最值,考查学生的逻辑推理能力及运算求解能力.∵x>0,

=3-2y,∴3-2y>0,∴y<

,又y>0,∴0<y<

,∴

=3y-2y2=-2

+

,当y=

时,

=

.一题多解

∵x,y∈R+,则3=

+2y≥2

,∴

≤

,即

≤

,当且仅当

=2y=

,即x=

,y=

时,

取最大值,为

.4.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交

AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为

.答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.

易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即

csin60°+

asin60°=

acsin120°,∴a+c=ac,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解

作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,

∴

=

=

,∵DE∥CB,∴

=

=

=

,∴

=

,

=

.∴

=

+

.∴

=

,∴1=

+

+2·

·

|

|·|

|×

,∴1=

,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.一题多解2

以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A

,C

.∵A,D,C三点共线,∴

∥

,∴

+

c

=0,∴ac=a+c,∴

+

=1,∴4a+c=(4a+c)

=5+

+

≥9,当且仅当

=

,即a=

,c=3时取“=”.5.(2018天津文,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+

的最小值为

.答案

解析本题主要考查运用基本不等式求最值.∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,∴2a+

=2a+2-3b≥2

=2

=2

=

.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+

取得最小值,为

.易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中

“正”“定”“等”的条件.6.(2017山东文,12,5分)若直线

+

=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为

.答案8解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得

+

=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)

=2+

+

+2≥4+2

=8

.故2a+b的最小值为8.7.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则

的最小值为

.答案4解析本题考查基本不等式的应用.∵a4+4b4≥2a2·2b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),∴

≥

=4ab+

,由于ab>0,∴4ab+

≥2

=4

当且仅当4ab=

时“=”成立

,故当且仅当

时,

的最小值为4.规律方法

利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须

一致.8.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是

.答案8解析∵sinA=2sinBsinC,∴sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,∵tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-

=

,又△ABC为锐角三角形,∴tanA=

>0,tanB+tanC>0,∴tanBtanC>1,∴tanAtanBtanC=

·tanB·tanC=

,令tanBtanC-1=t,则t>0,∴tanAtanBtanC=

=2

≥2×(2+2)=8,当且仅当t=

,即tanBtanC=2时,取“=”.∴tanAtanBtanC的最小值为8.考点二不等式的综合应用1.(2019课标全国Ⅱ理,6,5分)若a>b,则

()A.ln(a-b)>0

B.3a<3bC.a3-b3>0

D.|a|>|b|答案

C本题考查不等式的性质及指数函数和对数函数的单调性;通过特值法和综合法考

查了推理论证能力;考查的核心素养为逻辑推理.∵a>b,∴a-b>0,取a-b=1,则ln(a-b)=0.故A错误.由y=3x在R上单调递增可知3a>3b,故B错误.由y=x3在R上是增函数可知a3>b3,故C正确.取a=0,b=-1,则|a|<|b|,故D错误.易错警示

容易由a>b直接得|a|>|b|而致错.2.(2019天津理,8,5分)已知a∈R.设函数f(x)=

若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为

()A.[0,1]

B.[0,2]

C.[0,e]

D.[1,e]答案

C本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解

能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想.(1)当x≤1时,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a2,要

使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a2≥0,得0≤a≤2,∴0≤a≤1,综合①②可知,a≥0时,f(x)≥

0在(-∞,1]上恒成立.(2)当x>1时,lnx>0,f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤

恒成立.令g(x)=

,g'(x)=

,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.综合(1)(2)可知,a的取值范围是0≤a≤e,故选C.解后反思

求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上

恒成立⇔f(x)min≥a,f(x)≤a在R上恒成立⇔f(x)max≤a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行

分类讨论,从而确定参数的取值范围.3.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=

设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立,则a的取值范围是

()A.

B.

C.[-2

,2]

D.

答案

A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.①当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-x2+x-3≤

+a≤x2-x+3在R上恒成立,即有-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3在R上恒成立.由y=-x2+

x-3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最大值-

;由y=x2-

x+3图象的对称轴为x=

,可得在x=

处取得最小值

,则-

≤a≤

.②当x>1时,关于x的不等式f(x)≥

在R上恒成立等价于-

≤

+a≤x+

在R上恒成立,即有-

≤a≤

+

在R上恒成立,因为x>1,所以-

≤-2

=-2

,当且仅当x=

时取得最大值-2

;因为x>1,所以

x+

≥2

=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2

≤a≤2.由①②可得-

≤a≤2,故选A.思路分析

讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+

x-3≤a≤x2-

x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x>1时,同样可得-

≤a≤

+

,再利用基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.4.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则

+

>

+

;(2)

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(

+

)2=a+b+2

,(

+

)2=c+d+2

,由题设a+b=c+d,ab>cd得(

+

)2>(

+

)2.因此

+

>

+

.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得

+

>

+

.(ii)若

+

>

+

,则(

+

)2>(

+

)2,即a+b+2

>c+d+2

.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.5.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=

+

.证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明由a+b=

+

=

,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2

=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1

矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.评析

本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.考点一基本不等式三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019浙江台州高三上期末,4)已知实数a,b满足a2+b2=4,则ab的取值范围是

()A.[0,2]

B.[-2,0]

C.(-∞,-2]∪[2,+∞]

D.[-2,2]答案

D因为4=a2+b2≥2

,所以|ab|≤2,从而ab的取值范围是[-2,2],故选D.2.(2019浙江诸暨高三上期末,7)已知a+2b=1(a>0,b>0),则

+

的最小值等于

()A.4

B.2

+2

C.

D.2

+1答案

B

+

=

+

=

+

-1=

(a+2b)-1=

+

+2≥2

+2,当且仅当a=

b时取到最小值.一题多解

+

=

+

=

+

+2≥2

+2,当且仅当a=

b时取到最小值.3.(2019浙江高考信息优化卷(二),7)设a是实数2x,2y的等差中项,

是x,y的等比中项,则实数a的取值范围是

()A.[0,4]

B.(-∞,0)∪[4,+∞)C.[-4,0)∪(0,4]

D.(-∞,-4]∪[4,+∞)答案

D由已知得a=x+y,|a|=xy,因为(x+y)2≥4xy,所以a2≥4|a|(a≠0),即|a|≥4,故选D.4.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a>0,b>0,ab+2a+b-3=0,则

+

的最小值为

.答案

解析由ab+2a+b-3=0得(a+1)(b+2)=5,所以

+

≥2

=

,当且仅当

=

时取等号.5.(2019浙江金丽衢第一次联考,13)若实数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则

+

的最小值是

,

的最大值为

.答案2;

解析由已知可得log2xy=1,所以xy=2,则

+

≥2

=2,当且仅当x=2,y=1时取等号.令x-y=t>0,则

=

=

≤

=

,当且仅当t=2时取等号.6.(2019浙江学军中学高三上期中,17)实数x、y、z满足x2+y2+z2=1,则

xy+yz的最大值为

.答案

解析由于1=x2+y2+z2=

+

≥2

·xy+2

yz=

(

xy+yz),∴

xy+yz≤

=

,当且仅当

时取等号,故

xy+yz的最大值为

.1.(2019浙江高考数学仿真卷(三),8)已知x,y,z为正实数,且xy=2x+y=xyz+z,则z的最小值为

(

)A.

B.

C.1

D.

考点二不等式的综合应用答案

B由xy=2x+y≥2

可得xy≥8(当且仅当x=2,y=4时取等号).而由xy=xyz+z=(xy+1)z可知

=

=1+

≤

.所以z≥

,即z的最小值为

.故选B.2.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y≤1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围

为

()A.

B.[1,4]C.[2,4]

D.[2,9]答案

A解法一:令

=z,则x+y+2z=1,满足x,y,z≥0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范围.设点A

,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则|OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围.显然|OP|≤1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是

可以得到|OP|≥

,所以|OP|2∈

,即4(x2+y2+z2)∈

.

解法二:因为x,y≥0,所以

≤x2+y2≤(x+y)2,令t=x+y,则0≤t≤1.4x2+4y2+(1-x-y)2≤4t2+(1-t)2=5t2-2t+1≤4.当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号.另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)2≥2t2+(1-t)2=3t2-2t+1≥

.当且仅当x=y=

时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2∈

.3.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足

则xyz的最小值为

.答案9

-32解析将

变形为

由|xy|≤

知,|1-2z|≤

,即-

≤1-2z≤

,解得2-

≤z≤

-2.所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在[2-

,

-2]上的最小值为9

-32.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:15分钟分值:28分一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+

1)()A.都大于1

B.都小于1C.至少有一个大于1

D.至少有一个小于1答案

D若f(x)在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则设f(x)的两个零点分别为x1,x2,不妨设x1<x

2,则m-1<x1<x2<m+1,且f(x)=(x-x1)(x-x2).因为f(m-1)=(m-1-x1)(m-1-x2)=(x1-m+1)(x2-m+1),f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2),所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2)<

·

=1,故f(m-1)和f(m+1)中至少有一个小于1,故选D.2.(2019浙江高考“超级全能生”联考(2月),7)已知正数x,y满足x+y=1,则

+

的最小值是

()A.

B.

C.

D.

答案

C∵x+y=1,∴2x+2+2y+1=5,∴

+

=

(2x+2+2y+1)·

=

≥

,当且仅当2x2-4y2+4x-4y+1=0时等号成立,故选C.3.(2019浙江台州一中、天台一中高三上期中,17)已知实数x,y满足x2-y2-x+3y-2=0,则x2+y2的最

小值为

.二、填空题(共20分)答案

解析对x2-y2-x+3y-2=0配方得

=

,则(x+y-2)(x-y+1)=0(其几何图形为两条互相垂直的直线).由几何意义可知x2+y2的值为原点到两直线上点的距离的平方,其最小值为原点到直线x-y+1=0

的距离的平方,所以

=

=

.4.(2019浙江金华十校高三上期末,16)已知x2+2y2-

xy=1(x、y∈R),则x2+y2的最小值为

.答案

解析解法一:设x2+y2=t,则x2+y