考研数学第一讲

考试时间180分钟试卷满分150分题型：选择题（每题4分）填空题（每题4分）解答题（每题10分左右）考研数学考研数学一（工学大部分）

数学三（经济管理大部分）高等数学：82分8小5大线性代数：34分3小2大概率统计：34分3小2大大学数学考研数学教学目标教学内容考试性质考试难度重过程、轻结果 重结果、轻过程以教学大纲为中心以考试大纲为中心各自为政全国统一水平性测试选拔性测试划重点、难度低综合性强、难度高1.大学数学与考研数学的区别重基础重计算重复率高综合性强

2、命题规律STATISTICSPROBABILITYPROBABILITY&STATISTICSPROBABILITYSTATISTICSSTATISTICSPROBABILITY&STATISTICSPROBABILITY&STATISTICSPROBABILITYPROBABILITY&STATISTICSμ-4-2024PROBABILITY&STATISTICSPROBABILITY&STATISTICSPROBABILITYSTATISTICS概率论与数理统计

第一章事件与概率第二章一维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中心极限定理第六章数理统计的基本概念第七章参数估计与假设检验主要内容一、主要考点二、内容与例题第一讲事件与概率

一、主要考点1、随机事件的关系与运算2、古典概型的概率计算方法3、条件概率和乘法公式的应用4、全概率公式和贝叶斯公式的应用5、事件的独立性二、内容与例题随机现象随机试验事件的独立性随机事件基本事件必然事件对立事件概率古典概型几何概型乘法定理事件的关系和运算全概率公式与贝叶斯公式性质定义条件概率不可能事件复合事件

在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为随机现象.随机现象可以在相同的条件下重复地进行;

每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;

进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为随机试验.随机试验

样本空间的元素,即试验E的每一个结果,称为样本点.

随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间,记为S.样本空间不可能事件每次试验必定不发生的事情，即不包含任何样本点的事件，记为。基本事件由一个样本点组成的单点集.必然事件全体样本点组成的事件,记为S,每次试验必定发生的事件。随机事件随机试验E的样本空间S的子集称为E的随机事件,简称事件.组成随机事件的一个样本点发生,则称这个事件发生。事件的关系和运算(1)

包含关系若事件A出现，必然导致事件B出现，则称事件B包含事件A，记作图示B包含A.SBA

(2)

A等于B(3)

事件A与B的并(和事件)

图示事件A与B的并.SBA

若事件A包含事件B,而且事件B包含事件

A,则称事件A与事件B相等,记作A=B.(4)

事件A与B的积事件

图示事件A与B的积事件.SBA图中A和B重叠部分.(5)

事件A与B互不相容

(互斥)

若事件A的出现必然导致事件B不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即图示A与B

互不相容（互斥）.SAB(6)

事件A与B的差由事件A出现而事件B不出现所组成的事件称为事件A与B的差.记作A-B.图示A与B的差.SABSAB设A表示“事件A出现”,则“事件A不出现”称为事件A的对立事件或逆事件.记作图示A与B的对立.SB若A与B互逆,则有A(7)

事件A的对立事件说明对立事件与互斥事件的区别SSABABA，B对立A，B互斥互斥对立事件运算的性质

例0

概率的定义概率的可列可加性概率的有限可加性概率的性质n个事件和的情况

（减法公式）对任意的事件A，B有

例1（09三）

定义等可能概型(古典概型)设试验E的样本空间由n个样本点构成,A为E的任意一个事件,且包含m个样本点,则事件A出现的概率记为:古典概型中事件概率的计算公式几何概型当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量(长度,面积,体积)相同的子区域是等可能的,则事件A的概率可定义为条件概率同理可得为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.(1)

条件概率的定义(2)

条件概率的性质乘法公式

例2

例3

例4

甲、乙两同学约定星期天上午9点到10点在图书馆门口见面，先到者等15分钟便离开，求两人能会面的概率。说明事件A与B相互独立是指事件A发生的概率与事件B是否出现无关.

事件的相互独立性(1)两事件相互独立(2)三事件两两相互独立注意三个事件相互独立三个事件两两相互独立(3)三事件相互独立n个事件相互独立n个事件两两相互独立重要定理及结论两个结论

例5

例6

样本空间的划分全概率公式与贝叶斯公式全概率公式说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.贝叶斯公式称此为贝叶斯公式.例7

设一仓库中有10箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5