中考专题图形的变换-旋转

形的变换-旋转知识点梳理一、旋转的理解.将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；.旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如△AOB/AA1OB1；.图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；.以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰AAOA1s等腰△BOB'1；.当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形;.当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB与A1B1所在直线的夹角等于NAOA1；7.当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线(如AA］与BBJ的夹角等于NAOB。旋转运用＜1＞：共顶点模型的旋转全等.如图1-1,△ABC绕点A旋转到^AB1cl，则有△ABB104ACC1(SAS)；.如图1-2,若△ABC与^AED式等边三角形，则△ABE/^ACD(SAS)；.如图1-3,若△ABC与4AED式等腰直角三角形，则△ABD/^ACE(SAS)；旋转运用＜2＞：角含半角旋转模型.如图2-1,在正方形ABCD中，若NEBF=45°,将^BAE绕点B旋转至^BCG,贝U有①EF=AE+CF；②BE平分/AEF；③BF平分教EFC.

1.如图2-2,在四边形ABCD中，若BA=BC,NABC+ND=180°,且NEBF=—ZABC,2贝U有①EF=AE+CF；②BE平分/AEF；③BF平分教EFC.图2-1 图2-2.如图2-3,等腰RtAABC中，若NDAE=45°可将4ABD绕点A旋转至^ACF,则有DE2=BD2+CE2旋转运用<3>：对角互补模型.如图3-1，已知四边形ABCD中,ZBDC=ZBAC=90°,<口8=口。则有AB+AC=\5AD.如图3-2,已知四边形ABCD中,ZBDC=ZBAC=90°,<口8=口。则有AB-AC=\5ADEA *图3-1 图3-2.如图3-3,已知等边^ABC,且NBPC=120°,则有PA=PB+PC.如图3-4,已知等边^ABC,且NBPC=30°,则有PA2=PB2+PC2则有PB+PC=<3PA5.如图3-5,已知等腰4ABC,且NBAC=120°,，且NBPC=60°图3-5图3-6【练习】P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则八48。的面1.如图，.如图，等边三角形ABC内有一点2分别连结AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10.则S△ABP+S△BPC=——月B C.如图，△ABC.^BDE都是等腰直角三角形，BA=BC,BD=BE,AC=4,DE=22.将△BDE绕点B逆时针方向旋转后得^BD/E',当点E’恰好落在线段AD/上时，则CE‘=—..如图，正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A旋转，当/ABF最大时，S“de=-cs.如图，在△ABC中，AB=AC=21.1'3,ZBAC=120°,点D、E都在边BC上，/DAE=60°.若BD=2CE，则DE的长为..如图，如四边形ABCD中，AD=CD,ZABC=75°,ZADC=60°,AB=2,BC=%'2,求四边形ABCD的面积.A DS C

.(1)如图1,已知/ACB=ZDCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,ZCAE=45°，求AD长.(2)如图2,已知/ACB=ZDCE=90°,ZABC=ZCED=/CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD长..(1)如图1,已知等腰Rt^ABC,NBAC=90°,且NADB=45°,BD=4,CD=\；41,求AD的长.(2)如图2,已知等腰Rt^ABC,NBAC=90°,且NADB=75°,BD=6,AD=5<2，求CD的长.(3)如图3,在四边形ABCD中，BC=CD,ZBCD=90°,若AB=4,AD=3,求对角线AC的最大值.图1 图2 图3.(1)如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线，若ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=60°,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？(2)如图2,如果把“ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=60°”改为“ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？(3)如图3,如果把“ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=60°”改为“ZACB=ZACD=ZABD=ZADB=a"，其它条件不变，那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系？图1 图2 图310.【操作发现】如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，^ABC三个顶点均在格点上.（1）请按要求画图：将^ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B'，点C的对应点为C'，连接BB'；（2）在（1）所画图形中，NABZB=.【问题解决】如图②，在等边三角形ABC中，AC=7,点P在4ABC内，且NAPC=90°,NBPC=120°,求^APC的面积.小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将4APC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△AP'B,连接PP',寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系；想法二：将^APB绕点A按逆时针方向旋转60°,得到以「（'，连接PP',寻找PA,PB,PC三条线段之间的数量关系．请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程.（一种方法即可）【灵活运用】如图③，在四边形ABCD中，AELBC,垂足为E,ZBAE=ZADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）.问题背景:如图①设P是等边^ABC内一点，PA=6,PB=8,PC=10,求NAPB的度数.小君研究这个问题的思路是:将AACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP',易证:△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以NAPB=NAPP'+NBPP'=150°.简单应用:(1)如图2,在等腰直角4ABC中，NACB=90°.P为4ABC内一点，且PA=5,PB=3,PC=2.：2,则NBPC=(2)如图3,在等边4ABC中，P为4ABC内一点，且PA=5,PB=12,NAPB=150°,则PC=拓展廷伸：①如图4,NABC=NADC=90°,AB=BC.求证：,J‘2BD=AD+DC.②若图4中的等腰直角4ABC与Rt^ADC在同侧如图5,若AD=2,DC=4,请直接写出BD的长.（宜兴市二模）【问题提出】如图1,四边形ABCD中，AD=CD,/ABC=120。，/ADC=60。，AB=2,BC=1,求四边形ABCD的面积.【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题.（1）如图2,连接BD，由于AD=CD，所以可将ADCB绕点D顺时针方向旋转60。，得到ADAB，则ABDB的形状是.（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积.【类比应用】如图3,四边形ABCD中，AD=CD,/ABC=75。，/ADC=60。，AB=2,BC=<2，求四边形ABCD的面积.(2019•亭湖区二模)【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1,点P在等边三角形ABC内，且NAPC=150。,PA=3,PC=4，求PB的长.小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，得到AABD；由等边三角形的性质，可证AACP=AABD，得PC=BD；由已知NAPC=150。，可知NPDB的大小，进而可求得PB的长.(1)请回答：在图1中，NPDB=。，PB=.【问题解决】(2)参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2