2023年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（三）（理科）

2023年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(三)(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题

给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知集合M={X|X2>4},N={X|1<X<3},则NA(CRM)=()

A.{x-2WxVl}B.{x|-2WxW2}C.{x|lVxW2}D.{x|x

<2}

_a+3i/匚

2.若复数z在行(a£R)为纯虚数，则实数a=()

A.-6B.-2C.2D.6

3.下列说法正确的是()

A."xVl〃是“Iog2(x+1)Vl〃的充分不必要条件

B.命题“Vx>0,2x>l〃的否定是，勺xoW命2'。忘1”

C.命题“若aWb,则ac2Wbc2〃的逆命题是真命题

D.命题“若a+bW5,则a#2或bW3"的逆否命题为真命题

'x+y>l

4.若x,y满足mx=<0且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值

3x-2y+2》0

为()

19

A.专B.卷C.1D.2

5.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=1,AB=«,AB1BC,平面

PABJ_平面ABC,若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为

()

A.生；B.3nC.丝^D.2R

23

6.设随机变量1服从正态分布N(1,a2),若P(^<2)=0.8,则P

(0<^<1)的值为()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

7.执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是()

8.在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x-m)2+(y

-2)2=40内，动直线AB过点P,且交圆C于A,B两点，若4ABC

面积的最大值为20,则实数m的取值范围是()

A.-3(mW-1或7Wm<9B.-3WmW-1或7WmW9

C.-3<mV-1或7Vm<9D.-3VmV-1或7WmV9

9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),

当x£［0,1］时，f(x)=x3.则函数g(x)=：cos(nx)|-f(x)在

区间［1，争上的所有零点的和为()

A.7B.6C.3D.2

10.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,

5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总

数为()

A.60B.72C.84D.96

x22

11.设双曲线C：立■-3=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为Fl,F2,

若在曲线C的右支上存在点P,使得△PFR的内切圆半径为a,圆心

记为M,又△PF1F2的重心为G满足MG〃FIF2,则双曲线C的离心

率为()

近MJR

A.vB.vc.2D.v

2

12.已知函数f(x)=ax+elnx与g(x)=―\—的图象有三个不同的

x-elnx

公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为()

A.a<-eB.a>lC.a>eD.aV-3或a>l

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(x+24+l”的展开式中，x3的系数是.(用数字填写答案)

14.已知Sn为数列｛an｝的前n项和,且S3=l,s4=ll,an+3=2an(nG

N*),贝！JS3n+l=.

兀兀

15.将函数f(x)=2cos(2x-%~)的图象向左平移7个单位得到g

(x)的图象，记函数g(x)在区间［3t+丁］内的最大值为Mt,最

小值为mt,记ht=Mt-mt,若1£［子，-y］,则函数h(t)的最小值

为•

16.已知点A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面区域P是由所

有满足即=入族+H菽(2〈入Wm,2<nWn)的点M组成的区域，若区

域P的面积为6,则m+n的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明

或推理、验算过程.

17.［已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c满

足2c+5如(B-A)=2sin2A.

(I)求言

(II)若AB是最大边，求cosC的取值范围.

2

18.设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足2Sn-

22

(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0(n£N*).

(1)求数列｛aj的通项公式;

(2)设bn=枭，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

19.如图，已知等边aABC中，E,F分别为AB,AC边的中点，N为

BC边上一点，且CN】BC,将4AEF沿EF折到aAEF的位置，使平

面A'EFJ_平面EF-CB,M为EF中点.

(1)求证：平面A，MNJ_平面ABF；

(2)求二面角E-AZF-B的余弦值.

20.某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家

进场试销10天.两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返

利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，

卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出

40件的部分每件返利6元.经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如

求这两天的销售量都大

(口)若将频率视作概率，回答以下问题:

(i)记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学

期望;

(ii)商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返

利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明

理由.

21.已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,

且这两条直线的斜率之积为总

(I)求点M的轨迹方程；

(H)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐

标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=r2(0<r<7)相切于点E、F,

又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大

值(其中点。为坐标原点).

22.已知函数f(x)=lnx+x2-2ax+l(a为常数).

(1)讨论函数f(X)的单调性；

(2)若存在x°£(0,1],使得对任意的a£(-2,0],不等式2mea

(a+1)+f(xo)>a2+2a+4(其中e为自然对数的底数)都成立，求

实数m的取值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题

给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1.已知集合M={X|X2>4},N={X|1<X<3},则NG(CRM)=()

A.{x-2WxVl}B.{x|-2WxW2}C.{x|l<x^2}D.{x|x

<2}

【考点】1H：交、并、补集的混合运算.

【分析】先求解一元二次不等式化简集合M,求出[RM,则([RM)

交N的答案可求.

【解答]解：M={X|X2>4}={X|X<-2,或x>2},

.*.CRM={X,-2WxW2},

VN={xl<x<3},

(CRM)nN={x|lVxW2},

故选：c

2.若复数爵(a£R)为纯虚数，则实数a=()

A.-6B.-2C.2D.6

【考点】A2：复数的基本概念.

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.

«他奥、々刀后痢ra+3i(a+3i)a+63-2a.斗”十庠，4

【斛口】解：复数Z=i+2i=(i+2i)(l-2i)=5+5I为纯虚数，

•a+63~~2a.

••5=0'-5-*0，

则实数a=-6.

故选：A.

3.下列说法正确的是()

A."xVI"是Tog?(x+1)VI”的充分不必要条件

B.命题“Vx>0,2x>l”的否定是，勺xoWO,

C.命题“若aWb,则ac2Wbc2〃的逆命题是真命题

D.命题“若a+bW5,则aW2或bW3"的逆否命题为真命题

【考点】2K：命题的真假判断与应用.

【分析】xVl时，不能得出log2(x+1)<1,判断充分性不成立，A

错误；

写出命题，x>0,2x>l〃的否定即可判断B错误；

写出命题“若aWb,则ac2〈bc2"的逆命题并判断C命题错误；

写出命题的逆否命题并判断它的真假性，得D正确.

【解答】解：对于A,xVl时，x+l<2,不能得出x+l>0,

...不能得出Iog2(x+1)<1,充分性不成立，A错误；

对于B,命题“Vx>0,2x>l"的否定是：

X

«3x0>0,2°<P,B错误；

对于C,命题“若aWb,则ac2Wbc2"的逆命题是：

“若ac2Wbc2,则aWb"是假命题，如c=0时,命题不成立;

对于D,命题“若a+bW5,则aW2或bW3”的逆否命题是:

“若a=2且b=3,则a+b=5”是真命题，D正确.

故选：D为真命题.

'x+y>l

4.若x,y满足卜且z=3x-y的最大值为2,则实数m的值

（3x-2y+2>0

为（）

12

A.yB.yC.1D.2

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，

数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数

求得m的值.

x+y〉l

【解答】解:由约束条件卜作出可行域如图，

z=3x-y的最大值为2,

rruf3x-2y+2=0,/、

联立q,解得A(2,4),

{3x-y=29

化目标函数z=3x-y为y=3x-z,

由图可知,当直线mx-y=0必须过A,可得2m-4=0,

解得:m=2.

故选：D.

5.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=1,AB='，AB1BC,平面

PABJ_平面ABC,若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为

()

V3冗逐兀

A.--B.3nC.-o-D.2n

40

【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积.

【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定

理可得fV=(冬2+d2=(j)2+(乎-d)2,求出R,即可求出球的

表面积.

【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=«,

设球心到平面ABC的距离为d,球的半径为R,

V2

•.•PA=PB=1,AB=,APAIPB,

•.•平面PAB_L平面ABC,「.P到平面ABC的距离为孚.

由勾股定理可得R2=(多2+d2=(1)2+(乎-d)2,

..d=0,R2=w，

.,•球的表面积为4nR2=3n.

故选：B

6.设随机变量1服从正态分布N(1,F),若p(32)=0.8,则P

(0<^<1)的值为()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【分析】根据随机变量£服从正态分布N(1,。2),看出这组数据对

应的正态曲线的对称轴x=l,根据正态曲线的特点，得到P(O<[<1)

=1p(0<^<2),得到结果.

【解答】解：:•随机变量X服从正态分布N(1,o2),

."I,得对称轴是x=l.

VP(£V2)=0.8,

AP(少2)=P(£V0)=0.2,

；.P(0<^<2)=0.6

AP(0<^<l)=0.3.

故选：C.

7.执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值是()

开始

A.2B.-yC.-3D.y

【考点】EF：程序框图.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺

序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出满足条件i，2016时

的S值，模拟程序的运行结果，即可得到答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得：

s=2,i=l；

1+2

满足条件W2016,执行循环体,=-3,i=2.

1-3

满足条件忘2016,执行循环体,s=l+3i=3；

1+（蒋）1

s=——i=4.

满足条件W2016,执行循环体,«）3，

一3

满足条件W2016,执行循环体，s=F=2,i=5；

3

观察规律可知：s出现周期为4,

当1=2017=4X504+10^,结束循环输出S,即输出的s=2.

故选：A.

8.在平面直角坐标系中，已知点P(3,0)在圆C：(x-m)2+(y

-2)2=40内，动直线AB过点P,且交圆C于A,B两点，若4ABC

面积的最大值为20,则实数m的取值范围是()

A.-3VmW-1或7Wm<9B.-3WmW-1或7WmW9

C.-3<mV-1或7Vm<9D.-3<mV-1或7WmV9

【考点】J9:直线与圆的位置关系.

【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的

最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论.

【解答】解：圆C：(x-m)2+(y-2)2=40,圆心C(m,2),半径

r=2,

SAABC=-2r2sinZACB=20sinZACB,

.,.当NACB=90时S取最大值20,

此时AABC为等腰直角三角形，AB=«r=4泥，

贝IJC至I」AB距离=24句.・.2娓WPCV2司，

即卢4(3-m)2+22<2面,

(m-3)2+4<40,即16W(m-3)2<36,

-3VmW-1或7Wm<9,

故选：A

9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),

当x£［0,1］时，f(x)=x3.则函数g(x)=1cos(nx)|-f(x)在

区间［-右1秘R］上的所有零点的和为()

A.7B.6C.3D.2

【考点】52：函数零点的判定定理.

1R

【分析】根据f(X)的对称性和奇偶性可知f(x)在［-右为上共

有3条对称轴，x=0,x=l,x=2,根据三角函数的对称性可知y=1cos

i5

(nx)也关于x=0,x=l,x=2对称，故而g(x)在［-于句上3条

对称轴,根据f(x)和y=|cos(nx)|在［0,1］上的函数图象，判断

g(X)在［u，为上的零点分布情况，利用函数的对称性得出零点

之和.

【解答】解：Tf(x)=f(2-x),.,.f(x)关于x=l对称，

,:f(-x)=f(x),.*.f(x)根与x=0对称，

Vf(x)=f(2-x)=f(x-2),/.f(x)=f(x+2),

.,.f(X)是以2为周期的函数，

1R

Af(x)在［-0旬上共有3条对称轴，分别为x=0,x=l,x=2,

又y=|cos(nx)关于x=0,x=l,x=2对称，

x=0,x=l,x=2为g(x)的对称轴.

作出y=|cos(nx)|和y=x3在［0,1］上的函数图象如图所示：

由图象可知g(x)在(0,1)和弓，1)上各有1个零点.

15

又g(1)=0,，g(x)在［-0X上共有7个零点,

设这7个零点从小到大依次为XI,X2,X3,...X6，X7.

则Xi,X2关于X=0对称，X3,X5关于X=1对称，X4=l.X6,X7关于X=2

对称.

.,.Xi+X2=0,X3+X5=2,X6+X7=4,

XI+X2+X3+X4+X5+X6+X7=7.

故选：A.

10.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，

5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总

数为（)

A.60B.72C.84D.96

【考点】D8：排列、组合的实际应用.

【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与

小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父

母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排

法数目，由分类计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：

①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，

先在其父母中选一人与小明相邻，有CP=2种情况，

2

将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A2=2种情况，

当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长

安排在空位中，有A22><A32=：L2种安排方法，

此时有2X2X12=48种不同坐法；

②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，

将父母及小明看成一个整体，

小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这

个整体内部有2义2=4种情况，

3

将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A3=6种情况，

此时有2X2X6=24种不同坐法；

③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，

将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A?2=2种情况，

3

将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A3=6种情况，

此时，共有2X6=12种不同坐法；

则一共有48+24+12=84种不同坐法；

故选：C.

x22

-

11.设双曲线C：T-fr=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为Fl,F2,

若在曲线C的右支上存在点P,使得△PF1F2的内切圆半径为a,圆心

记为M,又△PF1F2的重心为G,满足MG〃FF2,则双曲线C的离心

率为()

A.爪B.遮C.2D.娓

【考点】KC：双曲线的简单性质.

【分析】设P(s,t)(s,t>0),Fi(-c,0),F2(C,0),运用三角

形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a,再结合双曲线的定义和

等积法，求得|PF21=2c-a,再由双曲线的离心率公式和第二定义，

可得s=2a,将P的坐标代入双曲线的方程，运用a,b,c的关系和离

心率公式，即可得到所求值.

【解答】解：设P(s,t)(s,t>0),Fi(-c,0),F2(C,0),

可得重心Gf)即(1,f),

设△PF1F2的内切圆与边FIF2的切点N,与边PFi的切点为K,

与边PF2上的切点为Q,

则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同.

由双曲线的定义，|PFi-PF2|=2a.①

由圆的切线性质IPF1-PF2|=|F|K|-|F2Q=FiN-由N|=2a,

v|FIN|+IF2N|=|FIF2|=2C,A|F2N|=C-a,|ON=a,

即有M(a,a),

由MG〃F〃2,

则△PF1F2的重心为G(f,a),即t=3a,

由△PF1F2的面积为■1・2c・3a=3a(|PFi|+1PF21+2c),

可得|PFl|+|PF2|=4c②

由①②可得|PF21=2c-a,

2

由右准线方程x=*,双曲线的第二定义可得

£IPF2I

6=a=$二1,解得s=2a,

即有P(2a,3a),代入双曲线的方程可得

4a29a之M

”-b2=1，可得b=a.

2

12.已知函数f(x)=ax+elnx与g(x)=―\—的图象有三个不同的

x-elnx

公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为()

A.a<-eB.a>lC.a>eD.a<-3a>l

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；54：根的存在性及根的个数

判断.

【分析】由题意可知：令f(x)=g(x),化简求得t2+(a-1)t-a+l=O,

根据h(x)的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，

即可求得a的取值范围.

2

xelnx____1

【解答】解：由ax+elnx=x-elnx，整理得：a+X=^elnx,

X

令h(x)=等生，且t=h(x),

则t2+(a-1)t-a+l=O,

求导hz(x)FC*。,解得：x=e,

X

h(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+°0)单调递减，

则当x玲+8时，h(x)玲0,如图所示，

由题意可知方程有一个根匕在(0,1)内，另一个根t2=l或t2=0或

t2C(-8,0),

当t2=l方程无意义，当t2=0时，a=l,匕=0不满足题意；

rf(0)<0

则(-8,0),由二次函数的性质可知：即

-a+l<0

1+(a-1)-a+l>0,

解得：a>l,

故选：B.

y

0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（X+2F+1”的展开式中，x3的系数是28.（用数字填写答案）

【考点】DC：二项式定理的应用.

【分析】根据&+2F+1”表示4个因式G+2'G+l）的乘积，利用组合的

知识，分类讨论，求得x3的系数.

【解答】解：•••（x+24+l”表示4个因式（*+24+1）的乘积，

x3的系数可以是：从4个因式中选三个因式提供X,另一个因式中有

一个提供1;

也可以是从3个因式中选两个因式都提供X,其余的两个提供2'八，

可得X3的系数,

c3c2228

4+4

故X3的系数为:

故答案为：28.

14.已知Sn为数列数n｝的前n项和,且S3=l,s4=ll,an+3=2an(ne

N*),则S3n+1=3X2n+1-1.

【考点】8E：数列的求和.

【分析】S3=l,S4=ll,可得a4=S4-S3.由于an-3=2an（n£N*）,可得:

a3n+i=2a3n.2.数列｛a3n-2｝成等比数列，可得a3n-2=24X2-2,利用数列

｛S3n｝成等比数列，即可得出.

【解答】解：••0=1,S4=ll,.•.a4=S4-S3=10.

•an+3=2an(n£N),••a3n+l=2a3n-2.

数列｛a3n一2｝成等比数列，34=10,公比为2.

n2n2

.,.a3n-2=a4X2_=10X2-.

•••数列｛S3n｝成等比数列，首项S3=l,公比为2.

贝I)S3n+l=S3n+a3n+l=^^+10X2nF=3><2n-l-1.

故答案为：3X2n^-1.

Kn

15.将函数f(x)=2cos(2x-%~)的图象向左平移7个单位得到g

(x)的图象，记函数g(x)在区间［3t+才］内的最大值为Mt，最

小值为mt,记ht=Mt-mt,若1：£片，与，则函数h(t)的最小值

为1.

【考点】HJ：函数y=Asin(u)x+4))的图象变换.

【分析】求出g(x)的解析式，判断g(x)的单调性，根据g(x)

的图象得出h(t)取得最小值时对应的t的值，从而计算出M”mt,

得出答案.

兀兀7r

【解答】解：g(x)=2cos［2(x+石)--5-］=2cos(2x+丁),

.*.g(x)在(7■,-y)上单调递减，在(丁，—)上单调递增，

TT7TTU

...当丁WtW?■时，g(x)在区间［3t+丁］内先减后增，

当丁《彳时，g(x)在区间［3t+才］内单调递增，

■JIJIJI

当t=7~时，h(t)取得最小值，此时Mt=g(­)=-1,mt=g(丁)

=-2,

，函数h(t)的最小值为-1-(-2)=1.

16.已知点A(0,-1),B(3,0),C(1,2),平面区域P是由所

有满足叫人回+|1菽(2〈入Wm,2<n^n)的点M组成的区域，若区

域P的面积为6,则m+n的最小值为4+40.

【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义.

【分析】设M(X,y),作出M点所在的平面区域，根据面积得出关

于m,n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值.

【解答】解：设M(x,y),研二⑶1).AC=(1,3),|AB|=|AC|/；

.cos〈武丁>餐区.量sin〈藤，正〉得

••lABllACl105,

令AE=2AB,AF=2AC,以AE?AF为邻边作平行四边形AENF,令

AP=mAB,AQ=nAC,以Ap,AQ为邻边作平行四边形APGQ；

..AB+klAC(2<^<m,2<H<n)

•;

•••符合条件的M组成的区域是平行四边形NIGH,如图所示;

--._d

A(m-2)V10*(n-2)V10*y=6;

3

/.(m-2)(n-2)=^-；

•••(m-2)(n-2)《鱼蛆尹;

(irrt-n-4)2

-4<4

(m+n-4)2；

.nH-n^4+V3

••;

・,•m+n的最小值为人而

故答案为：4+«.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明

或推理、验算过程.

17.［已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c满

足Jl-c詈+sin(B-A)=2sin2A.

(工)求言

(n)若AB是最大边，求cosC的取值范围.

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理.

【分析】(I)由条件利用二倍角的余弦公式，两角和差的三角公式,

求得sinBcosA=2sinAcosA,再利用正弦定理求得偿的值.

(II)由条件利用余弦定理，求得cosC的取值范围.

【解答】解：(I):J呼2C=sinC=sin(A+B),且

^l-cos2C+sin(B-A)=2sin2A,

Asin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A,/.sinBcosA=2sinAcosA,

因AABC为锐角三角形，则cosAWO,由正弦定理有：土器，

TTJT.1

(II)Vb=2a,且aVbWc,贝！JF-<C<亍，g[jO<cosC<—,

2,2221小1「

又因逆。=卫普k工<袅4，:•cosC的取值范围是(°，fL

2ab2ab4」

2

18.设各项均为正数的数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足2Sn-

22

(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0(nGN*).

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设坪=袅,求数列｛嗝的前n项和心.

【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和.

［分析］(1)由2S.(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n£N*可得，廿］时，

又曰］,可得由

2S2_(3,12+3,1_2)SI_3(12+1)=0,sa1.

22

2S^-(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0,nEN*可得，(Sn+l)42Sn-3(n2+n)］=0,门

39、

£N*,可得：Sn=^-(n+n),当n22时，an=Sn-Sn-i.可得a”

_an_3nn

(2)由(1)可得口=/=尹二F，利用错位相减法即可得出.

【解答】解：(1)由2s.(3n2+3n-2)Sn-3(n2+n)=0,n£N*可得，

22

n=l时,2S?-(3-l+3-l-2)S1-3(l+l>0,又$产五,所以a】=3.

222

2s2-(3n+3n-2)Sn-3(n+n)=0,n€N*可得，(Sn+1)-［2Sn-3(n+n)

n£N*,

3?

又an>0,所以Sn>0,，Sn在ln+n),

399

当n22时,an=Sn-Sn_1=y[n+n-(n-l)-(n-l)]=3n,

,

由(1)可知，此式对n=l也成立，..an=3n.--------------------

_an_3n_n

(2)由(1)可得bn=^T=^T行,

1_1

■3+上+上山+…

1/__n_12n+3

—23n3"[22.3"]'

•1二一2n+3

**nN4,3n

19.如图，已知等边AABC中，E,F分别为AB,AC边的中点，N为

BC边上一点，且CN】BC,将4AEF沿EF折到△AEF的位置，使平

面A'EF_L平面EF-CB,M为EF中点.

(1)求证：平面AZMN，平面A，BF；

(2)求二面角E-AZF-B的余弦值.

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定.

【分析】（1）如图所示，取BC的中点G,连接MG,则MGLEF,利

用面面与线面垂直的性质与判定定理可得：MGJ_AM,又AMJ_EF,

因此可以建立空间直角坐标系.不妨设BC=4.只要证明平面法向量

的夹角为直角即可证明平面AWN平面A，BF.

（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出.

【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G,连接MG,则MGJ_

EF,

•.•平面A'EFJ_平面EFCB,平面A'EFG平面EFCB=EF,

平面A'EF,又A'M_LEF,

因此可以建立空间直角坐标系.不妨设BC=4.

M(0,0,0),Az(0,0,炳),N(-1,/，0),

J3

B(2,2,0),F(-1,0,0).

IA'=(o,0,M),MN=(-1,6,0),

FA’=(1,0,8)，FB=(3,显,o).

设平面A，MN的法向量为1(x,y,z),

J嬴江=0az二°

则《・瓶=0'即i-xSe

取ir=1,。)

同理可得平面/VBF的法向量⑹T).

...m・n=3-3+0=0,.•一')

...平面A，MN_L平面AZBF.

(2)解：由(1)可得平面ABF的法向量「Je'

取平面EAF的法向量也(0,1,0).

<n,u>n*u厂_3_

则cos=|nllu|=V3+32+lXl=13，

由图可知：二面角E-A，F-B的平面角为锐角,

.••二面角E-AT-B的平面角的余弦值为噜.

20.某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家

进场试销10天.两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返

利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，

卖出40件以内(含40件)的产品，每件产品厂家返利4元，超出

40件的部分每件返利6元.经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如

下：

甲乙

8998993899

201042111010

(I)现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大

于40的概率；

<n)若将频率视作概率，回答以下问题：

(i)记乙厂家的日返利额为X(单位：元)，求X的分布列和数学

期望；

(ii)商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返

利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明

理由.

【考点】CG：离散型随机变量及其分布列.

【分析】(I)记"抽取的两天销售量都大于40〃为事件A,利用等可

能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率.

(U)(i)设乙产品的日销售量为a,推导出X的所有可能取值为:

152,156,160,166,172,分别求出相应的概率，由此能求出X的

分布列和数学期望.

(ii)求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，

由(i)得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期

销售.

【解答】(本小题满分12分)

解：(I)记"抽取的两天销售量都大于40〃为事件A,

以1

则P(A)=k^.…

cio

(H)(i)设乙产品的日销售量为a,则

当a=38时，X=38X4=152；

当a=39时，X=39X4=156；

当a=40时，X=40X4=160；

当a=41时一，X=40X4+1X6=166；

当a=42时一，X=40X4+2X6=172；

，X的所有可能取值为:152,156,160,166,172,

(ii)依题意，甲厂家的日平均销售量为：38X0.2+39X0.4+40X

0.2+41X0.1+42X0.1=39.5,

甲厂家的日平均返利额为:70+39.5X2=149元，

由(i)得乙厂家的日平均返利额为162元(>149元)，

.•・推荐该商场选择乙厂家长期销售•…

21.已知两点A(-2,0),B(2,0),直线AM、BM相交于点M,

且这两条直线的斜率之积为总

(I)求点M的轨迹方程；

(H)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐

标为1,直线PE、PF与圆(x-1)2+y2=d(0<r<7)相切于点E、F,

又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.求△OQR的面积的最大

值(其中点。为坐标原点).

【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；J3：轨迹方程.

3

【分析】(I)设点M(x,y),由题意可得KAHKBM=5,利用斜率计

算公式即可得出土••我-V.化简即可.

3

(II)把x=l代入曲线C的方程，可得点P(l，彳).由于圆(X-1)

2+丫2=心的圆心为(1,0),

利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数.设直线PE的

方程为尸k(x-l)玲，与椭圆的方程联立可得

(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,由于x=l是方程的

4k2_12k_34k2+12k-3

一个解，可得方程的另一解为XQ=-^7".同理XR=~^7~.可

得直线RQ的斜率为kRQ=f-把直线RQ的方程吟x+t代入椭圆方程，

消去y整理得x2+tx+t2-3=0.利用弦长公式可得|RQ|.再利用点到直

|RQL，D

线的距离公式可得:原点0到直线RQ的距离为d.利用SA0RQ4

和基本不等式即可得出.

【解答】解：(I)设点M(x,y),K颠心孤=得，•••・■・我■=1.

22

xy

整理得点M所在的曲线C的方程：彳+于=1(xW±2).

(II)把x=l代入曲线C的方程，可得了后口，解得厂2,

•••点P(1，彳).

•.•圆(x-l)2+y2=F的圆心为(1,0),

...直线PE与直线PF的斜率互为相反数.

设直线PE的方程为尸k(x-l)+f,

(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,

由于x=l是方程的一个解，

4k2-12k-3

，方程的另一解为XQ=妹2+3.

.