高中数学-两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE2PAGE教学设计：两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学目标：1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来,这样就很自然地得到结论1、cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦结论2、因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan（α+β）=？教师引导学生思考，在我们推出了公式C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有tan(α-β)=由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).tan(α+β)=tan(α-β)=⑦分析观察公式T(α-β)、T(α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C(α+β)、S(α+β)、T(α+β)叫和角公式；S(α-β)、C(α-β)、T(α-β)叫差角公式.归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式2、应用示例例1已知sinα=,α是第四象限角，求sin(-α),cos(+α),tan(-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.例2利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S(α-β)的右边，（2）同公式C(α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T(α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为，再逆用公式T(α+β)即可解得.练习：课本课后练习5、6、7、题3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.4、作业布置习题3.1A组7、13(1)(3)(5)(7)(9)效果分析本节课注重培养学生的创新精神和探究实践能力。在教学中精心设计数学活动并进行有效引导，让学生真正经历探索和发现的研究过程，不仅能使学生学到数学知识，接触到一些研究数学的方法，同时可以使学生体会到探索发现的乐趣，获得成功的喜悦！在教学两角和与差的正弦、余弦、正切公式这一内容时，我把重点放在学生的探索上，收到了良好的效果。在课上用微笑滋润了课堂，教学在师生之间快乐交流中进行，教学效果良好。充分挖掘教学资源，创设情境，调动学生学习积极性。引发学生探究的乐趣，激发学生的探究欲望，充分调动了学生学习的积极性。充分发挥小组活动，自主探究新知。在探究公式推导时，都是让学生在小组合作中，自主探究，这样形成的数学知识牢固可靠。注重生成、培养能力，有水到渠成的效果。把课堂放给学生，把时间放给学生，把空间放给学生，课堂向每个学生开放。学生获得基本知识，基本能力也得到培养，学生经历了发现问题，学生的主体作用得到了充分的发挥。本节课例题及练习设计较为简单，学生完成情况较好。教材分析：1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教材都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时安排：2课时学情分析：

这些学生大部分基础不够好，学习态度也不够积极，自主学习的意识和能力较弱,知识遗忘率高，只有小部分学生基础较好，但是动手解题能力也很弱。

根据现在的学生知识迁移能力差、计算能力差的特点，第一节课不要太多公式应用.学生整体学习数学的探索，归纳的能力欠缺一、班级基本概况。

本班学生共70人，学生多数住校的，父母多数不在身边，几乎没有家庭辅导。

二、学生学习习惯与先前学习经验。

通过与学生接触，以及平时学生上课的表现与作业情况的观察，发现此班学生学习习惯一般，特别优异的学生很少，有一小部分学生学习习惯不好。下面从以下几个方面展开分析：1、上课发言情况。班中发言比较积极的只要一少部分，发言一般的学生近一半，还有一小部分学生很少发言，若学生今天学习兴趣高涨，发言比较积极，若是今天学习无兴趣，则课堂上一言不发；二是学习知识的难易程度，若知识比较简单，学生发言积极，若知识有一定难度，学生发言则很少。

2、学生作业情况。由于学生基础不一，两极分化严重，因而学生表现出作业速度相差较大，整体速度偏慢，尤其从单元测试中看出，大部分学生在教师规定时间里不能完成相应试题。其次学生作业正确率不高，粗心的学生较多。作业整洁度也不太好。

3、主动学习状况。大部分学生主动学习意识比较淡溥，主动学习习惯还没有真正养成。许多学生养成了任性，骄纵的不良习惯而体现在学习上。其次是课堂自主学习效率不是很高，一部分学生表现出无从下手，因而在相对时间里这部分学生自主学习效果很差，影响全班的集体交流。

应对举措：准确把握“课程标准”要求，不随意拔高或降低。继续做好培优补差工作，大力提高中等生。在教学中我要把握好学生的实际情况，因材施教，循序渐进，脚踏实地的把教学成绩搞上去。评测练习：两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、必做题1．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(3,5)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值等于 ()A.eq\f(1,7) B．7 C．－eq\f(1,7) D．－72．若sinα＝eq\f(4,5)，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tanβ的值是 ()A.eq\f(4,3) B．－eq\f(4,3) C．－7 D．－eq\f(1,7)3．已知tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，0<α<eq\f(π,2)，π<β<eq\f(3π,2)，则α＋β的值是 ()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是 ()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．无法确定5.eq\f(1＋tan75°,1－tan75°)＝________.6．求下列各式的值：(1)eq\f(sin7°＋cos15°sin8°,cos7°－sin15°sin8°)；(2)(1－tan59°)(1－tan76°)．7．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于 ()A．1 B．2C．tan10° D.eq\r(3)tan20°8．已知α、β均为锐角，且tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，则tan(α＋β)＝________二、选做题：9．在△ABC中，求证：taneq\f(A,2)taneq\f(B,2)＋taneq\f(B,2)taneq\f(C,2)＋taneq\f(C,2)taneq\f(A,2)＝1.

课后反思：1节课主要复习探究两角和与差的正弦、余弦与正切公式。通过学生自主学习与探究，能利用两角差的余弦公式导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切公式，基本掌握公式的正用、逆用和变形应用。2、本节课中，自主学习的内容主要有两角和与差的正弦、余弦和正切公式及其变形3、通过学生课前预习，达到对基本公式的掌握；通过课堂探究，培养学生自主解决问题的能力。4、自主学习的内容主要是通过投影展示，在这个过程中，提出公式的证明与公式的推导等问题，达到对公式的掌握；合作探究的三个问题通过分组探究，各组讨论，推选代表进行展示，在这个过程中，下面学生提出自己的看法见解，学习探究热烈，气氛深厚。5、本节课美中不足的地方，自主学习展示中，用了较多的时间，在探究后面的问题时，时间略现紧。给学生留思考问题的时间略少；对学生的放手不够，教师引导有点多；评价方式过于单一。课标分析：1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变