2023年北京市高考数学总复习：立体几何（附答案解析）

2023年北京市高考数学总复习：立体几何

1.如图，在三棱锥P-A8C中，D,E,尸分别为棱AC,PC,AB的中点，已知雨J_AC,

PA=2y[3,BC=2,EF=2.

(I)证明：平面布8_L平面ABC；

(II)若AC=2,AC1.BC,历为BC的中点，求PM与平面48c所成角的正弦值.

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2.如图，在四棱锥S-A8C。中，底面ABC。为矩形，△SAD为等腰直角三角形，SA=SD

=2近，AB=2,F是BC的中点，二面角S-AO-8的大小等于120°.

(1)在4。上是否存在点E,使得平面SEFL平面ABCC,若存在，求出点E的位置:

若不存在，请说明理由；

(2)求直线54与平面SBC所成角的正弦值.

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3.如图，三棱锥E-BCD中，△EC。为正三角形，平面EC3_L平面BCD,BC=DC=^-BD

=2,M,N分别是线段EO和BD的中点.

(I)求点C到平面8QE的距离；

(II)求直线EN与平面MC3所成角的正弦值.

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4.如图，在三棱柱ABC-AIBICI中，平面AiACCi_L平面ABC,ZXABC和△AiAC都是正

三角形，。是AB的中点

(1)求证：8。〃平面AiOC；

(2)求直线AB与平面OCCi所成角的正切值.

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5.如图，在等腰直角三角形AQP中，已知A=*,A£>=3,B,C分别是AP,£>尸上的点，

E是CO的中点，BC//AD.现将△PBC沿BC折起，使得点P在平面ABC。上的射影

为点A.

今

(1)若B,C分别是AP、DP的中点，求证：平面网C1•平面PCD

(2)请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB

与平面所成角的正弦值的?倍？若存在，求出A8的长；若不存在，请说明理由.

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6.在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBAC=90°,AC=AB=AAi=2,设点M,N,P分别是

AB,BC,B\C\的中点.

(I)证明：44i〃平面PMN；

(ID若。为A4上的动点，试判断三棱锥尸-QMN的体积是否为定值？并说明理由.

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1

7.在多面体ABCCiA向中，四边形ABBiAi为菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,A\C\^A\A,

ABLB\C,ZBiBA=60°,平面ABBMi_L平面ABC.

(1)在棱AB上是否存在点O,使得AB_L平面8|OC?若存在，请给予证明；若不存在,

请说明理由.

(2)求二面角C\-AC-B的正弦值.

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8.在四棱锥P-ABC。中，侧面以。_1_底面ABC。，PA=AD=DC=6,AC=6近,48=3,

CO〃平面B4B,ZPAD=60°.

(I)求证：平面PCOJ_平面PBC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面SAO_L平面ABCD,M,

N分别为棱A。，BC的中点，SA=SD,SALSD,P,。为侧棱SO上的三等分点(点P

靠近点S).

(1)求证：PN〃平面MQC；

(2)求多面体MPQCN的体积.

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10.如图，四边形MA8C中，ZVIBC是等腰直角三角形，AULBC,4c是边长为2的

正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△D4C的位置，使点。在平面A8C内

的射影在AB匕再将△M4C向下折叠到△EAC的位置，使平面E4C_L平面48C,形成

几何体DABCE.

(1)点尸在BC上，若。尸〃平面EAC,求点F的位置;

(2)求直线AB与平面EBC所成角的余弦值.

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II.如图，直三棱柱8CF-4/7E中，。为E”的中点，AB=BF,BFLCF,AB=BF=CF=

2.

(I)求证：AFVBH-,

(II)求平面40c与平面ABC所成角的余弦值.

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⑵在如图所示的几何体中，四边形ABC。是菱形，ZBAD=\20°,4后_1_平面48。，AE

//CF.

(1)求证：OF〃平面ABE；

(2)若A£>=AE=2C尸=2,求该几何体的表面积.

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13.如图，在四棱锥P-ABCD中，△外。是等边三角形，平面以。1•平面ABCD,底面

ABCQ是直角梯形，AD//BC,已知AO=2BC=4,ZBAD=60°.

(I)若E为雨的中点，求证：BE〃平面PCD；

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四边形A3C£>中，40=2,AB=V3,ZADC=如图，DE//CF,且OE

O

=3,CF=4,ZDCF=J,且平面4BCZ)_L平面C0EF.

(I)求证：AC_L平面CDEF；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

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15.如图，己知四棱锥P-4BCO中，AD//BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=y[3,

ZADC=60°.

(1)求证：BPLCD；

(2)若8尸=VL求直线PC与平面玄。所成角的正弦值.

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16.如图，在四棱锥P-ABC。中，△以/)是等边三角形，平面小。_1_平面A8CQ,底面

ABCZ)是直角梯形，AD//BC,已知AZ)=2BC=4,ZBAD=60°.

(I)若E为公的中点，求证：BE〃平面PCO；

(II)求四棱锥P-ABCD的体积.

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17.如图，在直三棱柱ABC-4B1C1中，AB=BC=AAi，ABLBC,。为AB的中点，E为

BC上一点,满足CE=2EB.

(1)求证：AiC〃平面BiDE；

(2)求二面角Bi-AiC-Ci的余弦值.

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18.已知在平行四边形A3C£>中，40=2,AB=V3,ZADC=如图，DE//CF,且OE

O

=3,CF=4,ZDCF=J,且平面4BCZ)_L平面C0EF.

(I)求证：AC_L平面CDEF；

(II)求四棱锥F-ABCD的体积.

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19.如图所示，在四棱锥E-ABCO中，四边形A3CD是直角梯形，AB=AE=BC=%Z)=1,

BC//AD,ABCD,NBAD=90°,N为。E的中点.

(1)求证：NC〃平面EAB；

(2)求二面角A-CN-D的余弦值.

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20.如图，在多面体ABC3E尸中，四边形ABC。、四边形AC五E均为菱形，ZBAD=ZEAC

=120°.

(1)求证：平面BZ)F_L平面ACFE；

(2)若BE=DE,求二面角C-BF-E的余弦值.

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21.如图所示，在三棱锥A3CD中，AB=BC=BD=2,AO=2g,/CBA=NCBD=与点、

E,尸分别为AD,8。的中点.

(I)求证：平面AC£)_L平面8CE；

(II)求四面体CDEF的体积.

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22.如图，在棱长为3的正方体中，过顶点Qi作平面a交A4i于E点，交BBi于F点，使

得AiE=l,BF=1.

(I)求证：AC〃平面a；

(II)求点。到平面a的距离.

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23.已知△48C,AB=BC,ZCBA=60°,沿着边C8把△ABC进行翻折，使平面ABC与

平面。BC垂直，△QBC可由△ABC翻折得到.回答下列问题.

(I)直线4c与平面A3。所成角的余弦值；

(II)二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如图，四棱锥P-ABC。，底面四边形4BCO为梯形，且满足A£>=1,AB=CD=3,BC

=4且AQ〃BC,PQJ_底面ABCC.设平面以。与平面PBC的交线为/.

(I)求/与平面POC所成的角；

(II)已知PO=1,求平面%B与平面尸。C所成的锐二面角的余弦值.

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25.如图，在三棱台4BC-A'B'C'中，已知平面ABB'A'_L平面ABC,ACJ_BC,Z

CBA=四边形A88'A'是等腰梯形，AB=2A'B'=2BB',E,尸分别为A8,A'

6

C'的中点.

(1)求证：£F±AC；

(2)求直线EF与平面ACC'A'所成角的正弦值.

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26.如图，△ABC为正三角形，半圆。以线段BC为直径，O是比上的动点(不包括点8,

C),平面ABC_L平面BCD

(1)是否存在点。，使得BOLAC?若存在，求出点。的位置：若不存在，请说明理由.

(2)若/C8C=30°,求二面角。-AO-C的余弦值.

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27.如图，/XABC是正三角形，D,E,尸分别是线段AB,BC,4c的中点，现将△AO尸和

△CEF分别沿着。F,EF折起，使得4,C两点在P点重合，得到四棱锥P-BEFQ.

(1)证明：平面平面BEFD-,

(2)设正三角形ABC的边长为4,求三棱锥尸-PBE的体积.

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28.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面A8CD为正方形，△必。为等边三角形，平面以。

_L平面PCD.

(I)证明：直线C£＞，平面B4O；

(II)若48=2,Q为线段PB的中点，求三棱锥Q-PC。的体积.

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29.如图，在四棱锥P-ABC。中，AD//BC,AD1.AH,并且BC=24O=2AB=2,PM=g~,

点P在平面ABC。内的投影恰为BD的中点M.

(I)证明：平面PCD；

(II)求点A到平面PCD的距离.

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30.如图，在四棱锥尸-A8c。中，己知用"L平面ABC£),且四边形ABC。为直角梯形，Z

7T

48。=/&4。=务AD=2,AB=BC=\.

(1)当四棱锥P-4BCQ的体积为1时，求异面直线AC与P。所成角的大小;

(2)求证：C£>J_平面R1C.

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31.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB=BC=BD=2,AO=2百，NCBA=NCBD=3,

点、E,尸分别为AO,8。的中点.

(1)求证：EF〃平面ABC；

(II)求平面8CE与平面ACF所成锐二面角的余弦值.

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32.如图，在四棱锥P-ABC£)中，AD//BC,ADLAB,并且BC=24D=248,点P在平

面ABCD内的投影恰为BD的中点M.

(I)证明：^)，平面尸3。；

(II)若PM=AD,求直线刑与CO所成角的余弦值.

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33.如图，在三棱锥P-ABC中，以_L底面ABC,△ABC是边长为2的正三角形，侧棱PB

71

与底面所成的角为二.

4

(1)求三棱锥P-ABC的体积V；

(2)若3为PB的中点，求异面直线以与CC所成角的大小.

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34.如图1,在三棱柱ABC-AiBiCi中，已知AB_LAC,AB=AC=\,AA[=2,且441，平

面ABC,过A],Ci，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）.

（1）求异面直线BG与A4i所成角的大小（结果用反三角函数表示）；

（2）求四棱锥8-ACGA1的体积和表面积.

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35.如图，在矩形A8CO中，将△ACO沿对角线AC折起，使点。到达点后的位置，且AE

LBE.

(1)求证：平面ABE_L平面ABC；

3夕一

(2)若BC=3,三棱锥8-AEC的体积为求点E到平面ABC的距离.

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36.如图，在直三棱柱ABC-AIBICI中，△ABC是正三角形，点。在棱上，且8Bi=

3Bi£>,点E为BC的中点.

(1)证明：平面AiDE_L平面BCC1B1；

(2)若BBi=3&,AB=2,求点C到平面4OE的距离.

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37.如图所示，在直三棱柱ABC-4B1G中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

=CB=CG=2.点。，Di分别是棱AC,Ai。的中点.

(1)求证：D,B,Bi，四点共面；

(2)求直线BC\与平面OBBi。所成角的大小.

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38.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形,A8〃C。,CD=2AB=4,AD=乘,

△SCO是等腰直角三角形，SC=SD,SA=3.

(I)证明：平面SCOJ_平面4BCL＞；

(II)若平面SAD与平面SCB的交线为I,求二面角C-I-D的余弦值.

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39.如图，在矩形ABCD中，将△AC。沿对角线AC折起，使点。到达点E的位置，且AE

VBE.

(1)求证：平面ABE_L平面ABC；

(2)若EB=夕，三棱锥B-AEC的体积为了，求二面角E-AC-8的余弦值.

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40.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，P,Q分别是A4”C8上一点，且AP=2%i，CQ

=2QB.

(1)证明：AQ〃平面CPBi；

(2)若三棱柱48C-4B1G为直三棱柱，且A4i=3,BC=BA=V15,AC=2百，求点

B到平面CPBi的距离.

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41.如图，在四棱锥P-A8C。中，底面A8C。是正方形，AB=2,叨，平面43C£>,PB

与底面ABC。所成的角为45°,过A。的平面分别与PB,PC交于点E,F.

(I)求证：EFVDC-,

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42.在四棱柱ABCC-AiBiCiOi中，四边形ABC£)是平行四边形，AAi=AC=l,ZABC=

30°,BC=2,平面AB8iA|_L平面ABC。，M,N分别为AiC,A8的中点.

(I)求证：MN〃平面AiBCi；

(II)若cos/AiCB=华,求二面角C-MN-0的余弦值.

4

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43.如图所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，平面AC。AiJ_平面ABC,AAilAC,AAi=AB=

BC=2,D,。分别为AC,4cl的中点，且NBAC=30°.

(I)求证：DDilBC；

(II)求二面角fii-DA\-Ci的余弦值.

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44.如图，四棱锥P-A8CD的底面为正方形，PC=PA=^PD=V5AD.E,尸分别是鬼,

PO的中点.

(I)证明：EF_L平面PCD；

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如图，在四棱锥P-A8CO中，等边三角形巾。所在平面与梯形A8CD所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD^2,DC=近，点G为△以。的重心，AC与BD交于点M.

(1)求证：GM〃平面PCC；

(2)求点C到平面P8Z)的距离.

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46.如图，直三棱柱AS。-ABC中，A8=AC=1,Z.BAC=J,AiA=4,点M为线段AiA

的中点.

（1）求直三棱柱AiBiG-ABC的体积；

（2）求异面直线与Bi。所成的角的大小.（结果用反三角表示）

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47.如图，已知直角梯形ABC。，BC//AD,BC=CD=2,AD=4,NBCD=90°,点、E为

A。的中点，现将三角形ABE沿BE折叠，得到四棱锥A-BCCE,其中N4EO=120°,

点〃为4D的中点.

(1)求证：A'B〃平面EMC；

(2)若点N为BC的中点，求四面体AMNB的体积.

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48.如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，点O,E分别为AC,%的中点，其

中PA=PB=4y/2,PC=AC=4.

(1)证明：平面BDEL平面ABC；

V6

(2)若点F是线段AC上异于点D的一点，直线AE与平面BEF所成角的正弦值为:

4

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49.如图，在四棱锥尸-A8CD中，四边形ABC。是梯形，AB//CD,AB±BC,且雨

=BC=CD=1,AB=2,PC=y/3.

(1)证明：平面PAD,

(2)求直线AO与平面PBC所成角的正弦值.

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50.在四棱锥P-ABC。中，PA=PC=2,底面ABC。是菱形，AB=2显,NABC=60°.

(I)求证：AC±PB；

(II)求四棱锥P-ABCD的体积.

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2023年北京市高考数学总复习：立体几何

参考答案与试题解析

1.如图，在三棱锥P-ABC中，D,E,F分别为棱AC,PC,AB的中点，已知出LAC,

PA=2®BC=2,EF=2.

(I)证明：平面以平面ABC；

(II)若AC=2,ACLBC,M为8C的中点，求PM与平面ABC所成角的正弦值.

【解答】解：(I)证明：VD,E,F分别为AC,PC,AB的中点，PA=2y[3,BC=2,

：.DE//PA,DE=^PA=V3,DF=|fiC=1,

；EF=2,：.EF2=DE1+DF2,：.DELDF,

'：PALAC,DE//PA,：.DELAC,

"：ACnDF=D,：.ABC,

'.,DE//PA,；.%_L平面ABC,

平面办B,平面%BJ_平面ABC.

(II)：AC=2,AC1.BC,M为8c的中点，

...以A为原点，过点4作8C的平行线为x轴，AC,AP所在直线分别为)，轴，z轴，建

立空间直角坐标系，

则尸(0,0,2V3),M(1,2,0),A(0,0,0),

MP=(-1,-2,2遍)，平面ABC的法向量蔡=(0,0,1),

设PM与平面ABC所成角为0,

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则P例与平面ABC所成角的正弦值为:

\MPm\_2/32国

sin0=

|A^|-|n|8~VT'

2.如图，在四棱锥S-ABC£＞中，底面ABC。为矩形，△SAO为等腰直角三角形，SA=SD

=2y[2,AB=2,户是BC的中点，二面角5-AO-8的大小等于120°.

（1）在4。上是否存在点E,使得平面SEFL平面ABCQ,若存在，求出点E的位置；

若不存在，请说明理由；

（2）求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.

【解答】解：（1）在线段月。上存在点E满足题意，且E为AO的中点.

如图，连接ERSE,SF,

•.•四边形ABCO是矩形，.•.ABLA。，

又E、尸分别是A。、8C的中点，

：.EF//AB,ADA.EF,

•.♦△SAD为等腰直角三角形，SA=SD,E为49的中点，

：.SE±AD,

'：SEQEF=E,SE、EFu平面SER

，AOJ_平面SEF,

：ADu平面ABCD,平面SEF_L平面ABCD,

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故AD上存在中点E,使得平面SEF1.平面ABCD.

(2)由(1)知，SE±AD,EFVAD,

.../5£7;1为二面角5-4。-8的平面角，即/S£F=120°.

以E为原点，E4、EF所在的直线分别为x、y轴，作及，平面A8C。，建立如图所示的

空间直角坐标系，

在等腰Rt/XSAQ中，SA=S£>=2&，：.AD=4,SE=2,

：.S(0,-1,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-73),SC=(-2,3,-V3),

设平面SBC的法向量为旌(x,y,z),则卜.呼=°,即［2x+3y-K：=0,

In-SC=0l-2x+3y-V3z=0

令y=l,则x=0,z=V3,.,.n=(0,1,V3),

设直线SA与平面SBC所成角为e,

TT

ttSA-n1-3J2

则sin0=|cos<54n>|=|一-尸17一一乂m=彳'

|SA|-|n|V4+1+3X2'

V2

故直线SA与平面SBC所成角的正弦值为一.

3.如图，三棱锥E-BC。中，△ECO为正三角形，平面EC。，平面BCD,BC=DC=号BD

=2,M,N分别是线段EO和BO的中点.

(I)求点C到平面BDE的距离；

(II)求直线EN与平面MCB所成角的正弦值.

【解答】解：(I),••平面EC。，平面8C£>,且△ECO为正三角形，CD=2,

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，点E到平面BCD的距离为百，

•••BC=£»C=易5。=2,...△BCO是等腰直角三角形,

1

S^BCD=2^C9DC=2.

在△B£>£中，BE=BD=26,DE=2,

**•S^BDE=2X2Xy/7=V7.

设。到平面的距离为d,

■:VE-BCD=VC-BDE，

xV3x2=/xdxV7,解得d=

2A/21

故点C到平面BDE的距离为7一.

y

(ID以C为原点，CD、CB所在的直线分别为X、y轴，作Cz_L平面BCD,建立如图

所示的空间直角坐标系，

…3遮=

贝！|3(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,—),E(1,0,V3),N(1,

22

1,0),

—>->3T

：.EN=(0,1,一百)，CM=(-,0,——)，CB=(0,2,0),

22

L-(373

设平面MBC的法向量为三=(x,y,z),则,中=°,即尹+三2=°,

CB=0\2y=0

令1=1,则y=0,z=-V3,An=(1,0,—V3),

设直线EN与平面MBC所成角为0,

TT

…TTENn33

则sinO=|cosVEN,n>|=|—~~—1=5^7=7,

\ENi\n\zxz-

3

故直线EN与平面MBC所成角的正弦值为一.

4

4.如图，在三棱柱ABC-4BICI中，平面AiACCi,平面ABC,ZiABC和△AMC都是正

三角形，。是A8的中点

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(1)求证:BCi〃平面AiOC；

(2)求直线A8与平面。CCi所成角的正切值.

【解答】(1)证明：连接AG，交AiC于E,连接。E,

"/四边形AiACG是平行四边形，

；.E是AG的中点，

是A8的中点，：.DE//BC\,

•.,QEu平面AiQC,BCiC平面AiQC,

；.8Ci〃平面ARC.

(2)解：取4c的中点0,连接40,BO,

'.,△ABC和△4AC都是正三角形，；.AiO_LAC,BOLAC,

•.・平面4AC。_L平面ABC,平面AiACCiCl平面ABC=AC,

；.A1O_L平面ABC,：.AiOLBO,

以0为原点，OB、OC、OAi所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

,_y/31

设AC=2,则A(0,-1,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(―,一分0),C\(0,

2,V3),

：.AB=(遮，1,0),CD=-邑0),Dg=(一芋V3),

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枭一|y=0

亍电=0,即

设平面DCC\的法向量为几=(x,y,z),则

n-DC1=0-^-x+fy+V3z=o

令x=3,则尸g,z=-1,：.n=(3,V3,-1),

-*tAB'Yt3yf3^~>/3

设直线AB与平面DCC\所成的角为仇则sin9=|cos<AB,n>\=|，一=|—^===|=

|AB||n|2x79+3+1

2/3

再，

tan0=2V3,

故直线AB与平面DCCi所成角的正切值为2旧.

5.如图，在等腰直角三角形AOP中，已知A=/，AD=3,B,C分别是”，DP上的点，

E是8的中点，KBC//AD.现将△PBC沿3c折起，使得点P在平面A8C。上的射影

(1)若B,C分别是AP、。尸的中点，求证：平面必CJ_平面尸CD

(2)请判断是否存在一种折法，使得直线PB与平面ABCD所成角的余弦值是直线PB

与平面以E所成角的正弦值的噂倍？若存在，求出A8的长；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)证明：•.•点尸在平面A8CO上的射影为点A,

.•.出J_平面4BCD,

：C£>u平面ABC。，：.PALCD,

,/等腰Rt^ADP,且C为。P的中点，

J.ACLCD,

'：PAnAC=A,PA,ACu平面以C,

...CO_L平面PAC,

又CQu平面PCD,.•.平面布C_L平面PCD

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(2)解：：雨工平面ABC。，

.♦.NABP为直线PB与平面ABC。所成的角，设其大小为a,则cosa=^

过点B作BM_LAE,交4E于点M,连接PM,

；出_1_平面48c。，：.PA1.BM,

又AEC/^=A,AE,用u平面必E,

平面PAE,

：.NBPM为直线PB与平面PAE所成的角，设其大小为B，则sinp=资，

：直线尸8与平面ABCO所成角的余弦值是直线PB与平面以E所成角的正弦值的督倍,

.".cosa=^|^sinp,BPAB=,

设A8=f(0Vf<3),则BM=息,DE=1cD=1p£>=孝r,

设/ABM=/OAE=。，

DEAD

在△4£>£：中，由正弦定理知,

sin^DAEsin^AED

叵t3

2_____X.得sin0=T^-TCOSO,

sine-si(苧-o)'。-r

n4

Vsin20+cos20=1,且8W(0,-)

2

•_6-t

••Qcos9=',

J2t2-12t+36

；.BM=/t(6T),

J2t2-12t+36

又BM=

V，b

t(6-t)5化简整理得，2»+L3=0,解得f=l或一|(舍负),

V2t2-12t+36—y/26，

故当AB=1时，直线PB与平面ABC。所成角的余弦值是直线P8与平面以E所成角的

正弦值的、一倍.

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6.在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZBAC=90°,AC=AB=AA\=2,设点M,N,P分别是

AB,BC,B\C\的中点.

(I)证明：441〃平面PMN；

(ID若。为44上的动点，试判断三棱锥尸-QMN的体积是否为定值？并说明理由.

【解答】(I)证明：•••点M,N,P分别是AB,BC,BiCi的中点，；.PN〃CCi，

又•.,/L4i〃CCi，：.AA\//PN,

仁平面PMN,PNu平面PMN,

；.A4〃平面PMN；

(II)解：如图，连接AN,AP,

根据等体积法可知，VP-QMN=VQ-PMN，

由(I)可知，AAi〃平面PMN,

又。为A41上的动点，VQ.PMN=VA-PMN—Vp.AMN>

即Vp-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=@x2x之=亍

...若。为A4上的动点，则三棱锥P-QMN的体积定值去

4

Q

1

7.在多面体ABCCjAiBi中，四边形A881Al为菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,ACi=AiA,

AB1B\C,NBiBA=60°,平面平面ABC.

(1)在棱A8上是否存在点。，使得AB,平面8|0C?若存在，请给予证明；若不存在,

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请说明理山.

(2)求二面角C\-AC-B的正弦值.

【解答】解：(1)在棱AB上存在点0(。为棱AB的中点)，使得A3,平面810c.

理由如下：

连接ABi，•.•四边形ABBMi为菱形，且NB|BA=60°,

/XAB\B是等边三角形，

又。为AB的中点，：.Bi0±AB,

,：ABVB\C,B]0nBiC=Bi,囱0<=平面BiOC,BiCu平面BiOC,

平面B\OC.

(2)由(1)知，4B_L平面BiOC,：.AB10C,

又平面AB814_L平面ABC,平面ABB\A\n平面ABC^AB,

，OCJ_平面ABBiAi，0C1B10,

以。为坐标原点，OB,OC,。曲所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

取81cl的中点E,连接4E.CE,由题意知几何体ABC-AiBiE是三棱柱，

取AlBi中点£),连接OE,贝IJ*41的，

设A4i=2,则0(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B\(0,0,V3),Ai(-

2,0,V3),

；.oZi=0%i+B%+4,1=0B1+20A+20C=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,V3),

ACi(-2,2,V3),A=(1,1,0),ACt=(-1,2,V3),

设平面AC。的法向量蔡=(x,y,z),

则把号x+y=0，取x=l,得蔡=(1,-1,遮),

m•ACr=-%+2y+V3z=0

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平面ABC的一个法向量7=(0,0,1),

设二面角Ci-AC-B的平面角为0,

贝ijcosB=建,sin0=]_(鲁=手.

Vio

二二面角Ci-AC-B的正弦值为行.

8.在四棱锥P-ABCQ中，侧面胡。，底面A8CO,PA=AD=DC=6,AC=6瓜AB=3,

CD〃平面%8,ZB4D=60°.

(I)求证：平面PCOJ_平面PBC；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

【解答】解：(I)证明：•.,AO=OC=6,AC=6鱼，：.AD2+DC2=AC2,：.ADLDC,

♦.•侧面以。_L底面ABCD,侧面以。C底面ABCD=AD,

，C£>1■平面雨。，平面小。，J.CD1PD,

取尸C和。C的中点分别为M和M连接MN,BM,

贝|JMN〃P。，:.CDJLMN,

CD〃平面以8,C。〃平面ABCD,平面以BCI平面ABCO=4B,

J.CD//AB,

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,:AB=ND=3,，四边形ABNO为平行四边形，

：.BN//AD,：.CD±BN,

,：BNCMN=N,，CD_L平面BMN,

平面BMN,ACDIBM,

；C£)_L平面PAD,且B4u平面PAD,

C.ABLPA,即B为直角三角形，PB=V62+32=375,

,:PB=BC,且M是PC的中点，：.PC1BM,

'：PCHCD=C,平面PC。，

平面尸BC,平面PCO_L平面P8C.

(II)在△用。中，'：PA=AD=6,/必。=60°,

△以。为等边三角形，PD=6,

取A£>的中点0,连接PO,...POLAO,JLPO=V62-32=3>/3,

•平面网£>_1平面4BC£),平面以。Cl平面ABC3=A£),，PO_L平面ABC。,

过点P作交BC于点H,连接04,

则/PHO即为三面角P-BC-D的平面角，

,:PD=CD=6,CDLPD,...△PCC为等腰直角三角形，

PC=y/CD2+PD2=V62+62=6企，

•.•由(I)知尸B=BC=3b，M为PC的中点，：.BMLPC,

在RtABMC中，BM=<BC2-MC2=J(3通尸一(3位尸=38，

在APBC中，SAPBC=BMxPC=gPH•BC,

解得PH=噌，

P0百

则nms,m“/PHUe°=而=亚3=71.0，

・・・RtZ\P〃O中，NPHO为锐角，

；・cos/PHO=乎，

V6

・・・二面角P-BC-D的余弦值为下.

4

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9.如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，且平面S4），平面ABCD,M,

N分别为棱A。，BC的中点，SA=SD,SAA.SD,P,Q为侧棱S£＞上的三等分点（点尸

靠近点S）.

（1）求证：PN〃平面MQC；

（2）求多面体MPQCN的体积.

【解答】证明：（1）如图，连接ND交CM于点R,连接。R,

在正方形A8C。中，N分别为AO,BC的中点，.•.四边形MNC。为矩形,

得R为ND的中点，

又。为PO的中点，〃。已

；QRu平面PNC平面例QC,

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〃平面MQC；

解：(2)连接SM,为AO的中点，SA=SD,SA±SD,

：.SM-i-AD,且5用=乂£>=1,

又平面SAO_L平面ABCD,平面SA。。平面ABCD^AD,

，SM_L平面48CD

121，1，22

••VP-MNC=@S^MNCxwSM=2X2xlx2x2xl=^.

・・,平面SAD_L平面ABCD,平面SAOG平面A8C£)=AD,CDA.AD,

・・・CD_L平面SAO.

又在RtZ\SM。中，SD=y[2SM=V2,SP=PQ=QD,

:.S“QM=2^ASMD»

Vc-PQM=3^APQMXCD=wX^SASMDXCD=wX/X*XlXlx