数学分析傅立叶级数习题

/第十五章傅里叶级数一．填空题1.设是周期为的函数.在上的表达式为.则的傅里叶系数.2.若在上按段光滑.则在上的傅里叶级数.3.设则此函数的傅里叶级数在处收敛于.4.设.则此函数的傅里叶级数在处收敛于.5.设.则此函数的傅里叶级数在处收敛于.6.是以为周期的连续函数.且在上按段光滑.则.二．选择题1.下列说法正确的是〔若是以为周期的函数.且在上可积.则的傅里叶系数中的.若是以为周期的函数.且在上可积.则的傅里叶系数中的.若是以为周期的偶函数.且在上按段光滑.则在上可展开成余弦级数.若是以为周期的奇函数.且在上按段光滑.则在上可展开成正弦级数.2.设是周期为的函数.在上的表达式为.则下列说法错误的是〔在上可以展开成傅里叶级数.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶系数.3.设函数满足.则该函数的傅里叶级数具有性质〔4.设是周期为的函数.在上的表达式为.则下列说法正确的是〔的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于-.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处均收敛于.5.将在上展开成余弦级数.则下面关说法错误的是〔的傅里叶展式在处收敛于-.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于.的傅里叶展式在处收敛于.6.若将函数在内展成正弦级数.则下列说法正确的是〔的正弦级数展式在处收敛于.当时.展成的正弦级数收敛于本身.在内不能展成余弦级数三．判断题1.是上的正交函数系.<>2.若是以为周期的函数.且在上按段光滑.则在上的傅里叶级数收敛于本身.〔3.若在上按段光滑.则在上可以展成傅里叶级数.〔4.函数是在上的周期函数.且在上按段光滑.则在上可以展成正弦级数.〔5.函数的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值.<>6.设函数则此函数的傅里叶级数在处收敛于.<>7.是上的正交函数系.<>8.在上不能展成余弦级数.<>9.在上不能展成正弦级数.<>10.若级数收敛.则级数在整个数轴上一致收敛.<>四．计算题1.〔1将在上展开成傅里叶级数；〔2利用展开式证明：2.将在上展开成傅里叶级数.3.〔1将在上展开成余弦级数；〔2根据展开式求4.将在上展开成正弦级数.5.求〔是常数在上的傅里叶展开式.五．证明题1.设在上可积或绝对可积.若对.成立.证明：.2.设周期为的可积函数在的傅里叶系数为.函数的傅里叶系数为.且.证明：.3.根据在的余弦级数展开式证明.4.已知帕萨瓦尔等式为.〔为的傅里叶系数.利用证明.5.已知.利用逐项积分法证明在的傅里叶级数为第十六章——第十七章一、判断题1、设平面点集.则为其内点。<>2、若累次极限与存在且相等.则重极限必存在。<>3、若累次极限存在.则累次极限也存在。<>4、若重极限存在.则累次极限与必存在。<>5、若函数在有界集上连续.则在上有界。<>6、若函数在闭域上连续.则在上有界。<>7、若函数在点处沿任何方向的方向导数都存在.则在点处可微。<>8、若函数在点处的偏导数.都存在.则在点处连续。<>9、若函数在点处的偏导数.都存在.则在点处可微。<>10、若函数在点处可微.则函数在点处的偏导数.都存在。<>11、若函数在点处可微.则在该点处连续。<>12、若在其定义域的内点处连续在和在都连续<>13、若在其定义域的内点处连续在和在都连续<>14.若函数在点处沿任何方向的方向导数都存在.则在点处偏导数存在。15.若在点处偏导数存在.则函数在点处沿x轴正向和负向的方向导数都存在.且互为相反数.二、选择题1、若对任何k都成立.则必有<><A>在处连续<B>在处有偏导数<C><D>不一定存在2、连续是可微的<><A>充分非必要条件<B>必要非充分条件<C>充分必要条件<D>无关条件3、二元函数在处可微的充分条件是〔〔A在处连续；〔B.在的某邻域内存在；〔C当时.是无穷小；〔D。4、设函数,则在点处〔〔A连续且偏导数存在；〔B连续但偏导数不存在；〔C不连续但偏导数存在；〔D不连续且偏导数不存在。5、设存在.则=〔〔A〔B0〔C2〔D6、函数的定义域是〔〔A；〔B；〔C；〔D。7、设.在点处.下列结论〔成立。〔A有极限.且极限不为0〔B不连续〔C〔D可微8、设函数有.且..则=〔〔A〔B〔C〔D9、设函数满足方程及条件.则<A><B><C><D>10、二元函数在点处的两个偏导数.存在是在该点连续的〔<A>充分条件非必要条件<B>必要条件非充分条件<C>充分必要条件<D>既非充分条件又非必要条件11、设函数在点附近有定义.且..则〔成立。<A><B>曲面在点处的法向量为<C>曲线在点处的切向量为<D>曲线在点处的切向量为12、已知为某个函数的全微分.则〔<A><B>0<C>1<D>213、下列命题正确的是〔<A>若在处可微.则在该点处连续；<B>若在处可微.则存在；<C>若在处都存在.则在处连续；<D>若在处的二阶偏导数都存在.则在处连续。14、下列论述正确的是〔<A>的极值点必是的驻点；<B>的驻点必是的极值点；<C>可微函数的极值点必是的驻点；<D>可微函数的驻点必是的极值点。15、函数在点沿方向的方向导数等于〔<A><B><C><D>16、极限之值为〔<A><B>不存在<C><D>17、设有二阶连续偏导数.则=〔<A><B><C><D>18、若.存在.则在点处<><A>一定不可微<B>一定可微<C>有意义<D>无意义19、设二元函数在点处的两个偏导数.则点一定是函数的〔<A>极大值点<B>极小值点<C>极值点<D>驻点20、函数的定义域为〔<A><B><C><D>21、设.则=〔<A><B><C><D>;22、函数在原点沿方向的方向导数=〔<A><B><C><D>23、设在处的偏导数存在.则=〔<A><B><C><D>24、函数的定义域是〔<A>;<B>;<C>;<D>;25、已知函数在点的某个领域内连续.且则下列四个选项中正确的是〔<A>点不是的极值点<B>点是的极大值点;<C>点是的极小值点<D>根据所给条件无法判断点是否为的极值点26、设的偏导数连续.可导.则必有〔<A>;<B>;<C>;<D>27、设.则〔<A><B><C><D>28..曲线在点处的切线与y轴的夹角为〔A.B.C.D.29.设在点处取得极小值.则函数在处<>A.取得极小值B.取得极大值C.取得最小值D.取得最大值30.函数在点处沿曲线在此点的内法线方向的方向导数为〔A.BC.D.31.设可微函数在点处取得极小值.则下列结论正确的是〔A.在处的导数等于0B.在处的导数大于0C.在处的导数小于0D.在处的导数不存在32.设函数在点<0,0>附近有定义.且.则〔A.B.曲面在点的法向量为C.曲线在点的切向量为D.曲线在点的切向量为三、填空题1、设平面点集.则<><>。2、设平面点集.则____,______。3、设.则_____。4、。5、设.则。6、函数在点〔0.0处沿的方向导数=。7、设.则=。8、设.则。9、在处的梯度为。10、设具有二阶连续导数.则。11、若在点处存在一阶、二阶连续偏导数.且=0..则当时.必是的极值点。12、设.且当时..则13、设.则=14、函数的连续点的集合为15、函数的定义域是16、设函数..则17、设.则=18、椭球面在点〔1.1.1处的切平面方程是19、曲线在点〔１.１.１处的切线方程是。20、空间曲线在任意点处的切线的切向量21、设是可微函数.且..曲面通过点.则曲面在这点的法线方程是22、设.其中可微.则23、设都是由方程确定的具有连续偏导数的函数.则24、设.其中是二元连续函数.则四、计算题1、设均为连续可微函数..求。2、设.求3、求函数在点沿A指向点的方向的方向导数。4、求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。5、在椭圆上求一点.使其到直线的距离最短。6、设求。7、设.具有连续偏导数.求。8、已知函数.其中具有二阶连续导数.求的值9、求在区域上的最大值和最小值。10、计算。11、设具有连续导数..求。12、在椭圆的第一象限部分上求一点.使得该点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积最小.并求面积的最小值13、设.且所有函数均具有连续的偏导数.求。14、设.其中具有连续偏导.求,15、设.求〔7分16、设是由方程组所确定的隐函数.求,17、设.而.其中二阶可导.求18、设.其中具有一阶连续偏导数.具有一阶连续导数.求、五、证明题1、证明：不存在2、证明：不存在3、设.证明：在点处连续且偏导数存在.但不可微。4、证明：函数在点处连续且偏导数存在.可微5、设可微.与是上的一组线性无关向量.试证明：若.则常数6、函数有一阶连续偏导数.对任意.有.证明曲面上任一点处的法线与直线垂直第18-19章一、判断题1.平面曲线上任一点处的切线被坐标轴所截取的线段为定长.〔2.方程在原点的邻域内不一定能确定隐函数〔3.在上不一致收敛.〔4.设函数组与互为反函数组.且它们的雅可比行列式存在.则互为倒数.〔5．若含参量的反常积分在上绝对收敛.且在上连续.则在上连续.〔二、填空题1.已知.则..2.若.则.3.在<1,1,1>的切平面方程.4.已知函数.求=.5.求含参量积分的导数.6.设.求.7.由方程所确定隐函数.在点P<1,2,-2>处的全微分.8.含参量反常积分在上一致收敛.9.对任何正数函数和函数之间的关系=.10.利用函数定义.=.三、选择题1.隐函数定理中的四个条件是隐函数存在的〔条件.A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.不必要不充分2.反函数组的偏导数与原函数组的偏导数之间的关系为〔.A.B.C.D.3.〔.A.B.C.3D.4.在点<2.1>的切线方程为<>.A.B.C.D.5.关于含参量非正常积分的一致收敛.不正确的是<>.A.在上一致收敛B.在上一致收敛C.在上一致收敛D.在上一致收敛6.方程所确定的曲线在<0,0>点的切线斜率为〔A．-1B.1C.0.5D.-0.57.函数.则的值是〔A.B.C.D.8.方程在原点〔0,0的某邻域内必可确定隐函数的形式为〔A.B.C.两种形式都能D.两种形式都不能椭圆上横坐标与纵坐标相等的点的切线斜率为<>A.-2B．-0.5C.0.5D.2四、解答题求方程组所确定的隐函数组的偏导数求下面的方程组所确定的隐函数组的导数：方程在点<0,1,1>的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？设.其中为由方程所确定的隐函数.求.已知.求.证明对任意常数.球面与锥面是正交的已知.计算积分.已知.求．求对于有..利用该公式计算〔其中应用．证明已知试证13.讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性．<1>在上一致收敛；〔2在上关于的一致收敛性．〔3在上一致收敛．〔4在中的一致收敛性．14.讨论下列含参变量的广义积分在指定区间的一致收敛性．1在上一致收敛吗？2在上一致收敛吗？3在上一致收敛吗？4在上一致收敛吗？5在上一致收敛吗？15.求下列极限<1>；<2>；〔3〔4．16.1设.求．2设.其中可导.求．3设.求．17.应用含参变量积分性质计算12第二十章曲线积分一选择题1．设是连接..的折线.则〔〔A0〔B〔C〔D22．设为椭圆.并且其周长为S.则=〔〔AS〔B6S〔C12S〔D24S3．设以...为顶点的正方形周边.为逆时针方向.则〔〔A1〔B2〔C4〔D04．设是抛物线,增加的方向为正向.则和〔〔A〔B〔C〔D5．设L为.则曲线积分＝〔．A．０；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．２π6.设L为从A〔0.0到B〔4.3的直线.则曲线积分〔A.；B.；C.；D.7．设为取正向的圆周.则〔A.；B.；C.；D.以上答案都不对。8．曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系<>ABCD9设是平面可求面积的有界闭区域的边界.则的面积可表示为〔A.B.C.D.二填空题1．设平面曲线为下半圆周.则曲线积分。2．设是由点O<0,0>经过点A<1,0>到点B<0,1>的折线.则曲线积分3．设设是由原点O沿到点A.则曲线积分。4．设是由点到的线段.则=5.设为取正向的圆周.则曲线积分＝6.设是抛物线上从点〔1.1到点〔4.2的一段弧则.7.设为三顶点分别为〔0.0、〔3.0、〔3.2的三角形的边界正方向.则曲线积分=8设为椭圆其周长为,则9已知曲线.则10．为圆周.计算对弧长的曲线积分=三计算题1,计算.其中曲线C分别为1直线.2抛物线.3立方抛物线.都是有原点〔到点。2.计算其中L是抛物线yx2上从点<00>到点<24>的一段弧3．已知曲线弧.计算。4．设是曲线上从点〔1,1到点〔2,2的一段弧.计算5．求.其中为圆周.6．计算.其中L为球面被平面所截得的圆周。7．计算第一类曲线积分.其中L为双纽线。8．.其中为按逆时针方向绕椭圆周。9．计算,其中为圆周.直线在第一象限内所围成的扇形的边界。10．计算,其中是,顺时针方向11．计算.其中为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.12．利用曲线积分求下列星形线<>这个平面曲线所围成图形的面积:。第二十一章重积分一、判断题1、若函数在有界闭区域D上有界.则在D上必然可积。〔2、在区域上有。〔3、二元函数在某点的两个累次极限存在.则在该点的重极限必存在。〔4、积分在球面坐标下其体积微元将变成。〔5、在区域上有。〔二、填空题1、交换二重积分次序=2、3、由椭圆.所围区域的面积为4、设密度均匀的平面薄板方程为半椭圆.则其重心为三、选择题1、设.若.则〔A1BCD2、设.为D在第一象限部分.则下列各式中不成立的是〔ABCD3、设则〔ABCD4、将交换积分次序后为〔A.B.C.D.5、设.则更换积分次序后<>A.B.C.D.6、设.则改变积分次序后<>ABCD7、设是平面可求面积的有界闭区域的边界.则的面积可表示为〔A.B.C.D.8、设有空间有界闭区域..则有〔A、B、C、D、9、设D为平面上一个闭区域,L是包围了区域D的边界正向曲线.则D的面积为<>A.B.C.D.四、计算题1、计算二重积分.其中D是由圆周所围区域.2、计算二重积分.其中。3、求.其中。4、计算如下积分.5、计算：,其中L为任一闭区域的边界线.6、应用Green公式计算〔的方向取逆时针方向,其中〔1原点不在所围成的闭区域的内部和边界上；〔2原点在所围成的闭区域的内部.7、计算.其中是由曲面与为界面的闭区域。8、计算.其