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文档简介

3.4基本不等式：学科网第24届国际数学家大会

会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．1.你能在这个图案中找出面积间的一些相等关系或不等关系吗？BACDEFGH探究点1探究基本不等式BACDEFGH则正方形ABCD的面积是________，这4个直角三角形的面积之和是_________，设AE=a,BE=b,a2+b22ab>Z.x.x.K有可能相等吗？？？又什么时候取等于号呢？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.2.你能给出它的证明吗？特别地，我们用,分别代替可得构造条件二、应用例1、若,求的最小值.变3:若,求的最小值.变1:若求的最小值变2:若,求的最小值.发现运算结构，应用不等式问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？三、应用例2、已知,求函数的最大值.变式:已知,求函数的最大值.发现运算结构，应用不等式均值定理：已知x,y都是正数，（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值条件说明：1、函数式中各项必须都是正数.2、函数式中含变数的各项的和或积必须都是常值（定值）.3、等号成立条件必须存在.“一正二定三等”，这三个条件缺一不可.应用基本不等式求最值的条件：

a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大（a＞0，b＞0）分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.分析：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，周长确定，则2（x+y）=36，篱笆的面积为xym2.即求xy的最大值.例1(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.练习4.已知x>0,y>0,且2x+y=1,求的最小值？

2、(04重庆）已知则xy的最大值是

。高考方向标：1、当x>0时，的最小值为

，此时x=

。21

3、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函数中，最小值为2

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