2023年初升高暑假衔接之高一数学1.2 集合间的基本关系（习题作业）含解析

2023年初升高暑假衔接之高一数学1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．下列与集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．3．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（

）A．1 B．2C．3 D．44．给出下列关系式:①；②⊆；③；④，其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．46．若集合,则（

）A． B． C． D．7．已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．168．若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（

）A．6 B．8 C．9 D．109．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．1510．已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．811．已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．12．集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．1613．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．14．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（

）A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集15．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024二、多选题16．下列关系式正确的为（）A． B．C． D．17．已知集合，则以下关系正确的是（

）A． B． C． D．18．下列说法正确的有（

）A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则19．下列各组中表示相同集合的是（

）A．B．C．D．20．已知集合，，若，则实数的值为（

）A． B．C． D．21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（

）A．B．若，则C．集合是无限集D．集合的子集共有4个22．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（

）A． B．C． D．且23．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有A． B． C． D．三、填空题24．满足的集合M共有___________个.25．已知集合，且，则实数a的值是_________．26．设，，，若，则______．27．已知，，且，则a的取值范围为_________．28．给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．四、解答题29．设集合，，且．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数．30．已知(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？(2)若，求实数的取值范围．31．设集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，求的非空真子集个数；（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.32．已知，，，求的取值范围.33．（1）已知集合，当，求的值；（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．34．已知集合，，(1)若集合，求实数的值；(2)若集合，求实数的取值范围.35．已知集合为非空数集，定义：(1)若集合，请直接写出集合：(2)若集合，且，求证：；36．已知集合.(1)判断8，9，10是否属于集合A；(2)集合,证明：B是A的真子集.37．已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.38．已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，知集合与集合都是奇数集，利用集合与集合间的关系，即可求出结果.【详解】因为集合，集合，所以集合与集合都是奇数集，所以，故选：C.2．下列与集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.【详解】由解得或，所以，C正确；选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C3．下列各式：①，②，③，④，⑤，其中错误的个数是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知，故①错误；由集合与集合的关系可知，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B．4．给出下列关系式:①；②⊆；③；④，其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据元素与集合的关系的定义，可知①正确；根据空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，可判断②正确；集合与集合间的关系：与，而不是与，可判断③错误；根据集合中元素满足：互异性，无序性，确定性，可判断④正确.【详解】对于①，根据元素与集合的关系知，，所以①正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以②正确；对于③，集合与集合间的关系是包含与不包含的关系，所以是错误的，故③错误；对于④，根据集合中元素的无序性和集合相等的定义知，，所以④正确.故选：A.5．有下列四个命题：①；②③若，则；④集合有两个元素；⑤集合是有限集.；其中正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据空集的概念和性质得到①正确，根据元素和集合的关系得到②正确；举出反例得到③错误；求出，得到④错误；求出，判断⑤正确.【详解】①因为是任何集合的子集，所以，①正确；②是的一个元素，故，②正确；③若，满足，，故③错误；④，集合有1个元素，故④错误；⑤集合，故是有限集，⑤正确.故选：C6．若集合,则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合,判断元素是否在集合内即可选出结果.【详解】解:因为,所以.故选：D7．已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当中有元素时，，当中有元素时，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合有，共11个.故选：A.8．若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】集合的所有“2元子集”为，，，，，共6个.故选：A.9．设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【分析】求得集合，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.故选：B10．已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.【详解】∵a∈M，6-a∈M，M⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：一个元素时，为{3}；两个元素时，为{1，5}，{2，4}；三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；四个元素时，为{1，5，2，4}；五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C11．已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合的包含关系得集合之间元素的关系，列方程求解即可.【详解】，，，或，解得或或，故实数组成的集合为.故选：C.12．集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．【详解】集合，,，故有个子集.故选：D．13．已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解出集合A，根据，分类讨论求出实数.【详解】.因为，所以，，.当时，关于x的方程无解，所以；当时，是关于x的方程的根，所以；当时，是关于x的方程的根，所以.故实数的取值构成的集合为.故选：D14．设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（

）A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断.【详解】解：对于集合，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集；当时，，且，可得不是的子集；综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故选：B.15．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024【答案】B【分析】由集合的子集个数的运算及简单的合情推理可得；这些总和是.【详解】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B【点睛】本题主要考查了集合的子集及子集个数，简单的合情推理，属于中档题.二、多选题16．下列关系式正确的为（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误；对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误；对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确；对于D.空集是任何集合的子集，故D正确.故选：CD．17．已知集合，则以下关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断即可.【详解】因为，所以，，故A正确；，故B错误；，故C错误，D正确.故选：AD.18．下列说法正确的有（

）A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则【答案】BCD【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D.【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；空集是任何集合的子集，则，故B正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确.故选：BCD.19．下列各组中表示相同集合的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.【详解】对于A，集合M，P含有的元素相同，只是顺序不同，由于集合的元素具有无序性，因此它们是相同集合，A是；对于B，因为，则，因此集合M，P都表示所有偶数组成的集合，B是；对于C，，即，C是；对于D，因为集合M的元素是实数，集合P中元素是有序实数对，因此集合M，P是不同集合，D不是.故选：ABC20．已知集合，，若，则实数的值为（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由集合与集合的关系，对选项依次辨析即可.【详解】对于A，时，，有，故选项A正确；对于B，时，，有，故选项B正确；对于C，时，，有，故选项C正确；对于D，时，，集合不满足集合元素的互异性，故选项D不正确.故选：ABC.21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（

）A．B．若，则C．集合是无限集D．集合的子集共有4个【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及，的含义，即可求解．【详解】对于A：是指不含任何元素的集合，故A错误；对于B：若，则，故B正确；对于C：有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；对于D：集合元素个数为2个，故集合的子集共有个，故D正确．故选：BCD．22．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（

）A． B．C． D．且【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断.【详解】对于选项A，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项A正确；对于选项B，方程，因式分解得，解得或，所以，不满足，所以选项B错误；对于选项C，方程，因式分解得，解得，所以，满足，所以选项C正确；对于选项D，因为，所以是方程的解，所以方程变形为，因为，所以方程无解，所以方程有唯一解，所以，满足，所以选项D正确；故选：ACD.23．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有A． B． C． D．【答案】ABD【分析】将分别表示成两个数的平方差，故都是集合中的元素，再用反证法证明.【详解】∵，∴.∵，∴.∵，∴.若，则存在使得，则和的奇偶性相同.若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.三、填空题24．满足的集合M共有___________个.【答案】7【分析】根据集合的基本关系，可得集合M包含，且集合M是的真子集，即可得出集合M的个数.【详解】由题意可得，,所以集合M包含，且集合M是的真子集，所以或或或或或或,即集合M共有个.故答案为：25．已知集合，且，则实数a的值是_________．【答案】-3【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果.【详解】因为，，，所以是方程的解，即，解得.经检验，符合题意，所以.故答案为：.26．设，，，若，则______．【答案】0或【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.【详解】当时，，满足，则；当时，，满足，则；故答案为：0或27．已知，，且，则a的取值范围为_________．【答案】【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，集合，当时，即，解得，此时满足，当时，要使得，则或，当时，可得，即，此时，满足；当时，可得，即，此时，不满足，综上可知，实数的取值范围为.故答案为：.28．给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【分析】根据题意，要使S的三个元素构成的集合中不含好元素，只要这三个元素相连即可，所以找出相连的三个数构成的集合即可．【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有，共有6个.故答案为：6．四、解答题29．设集合，，且．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求集合A的子集的个数．【答案】(1){或}(2)【分析】（1）按照集合是空集和不是空集分类讨论求解；（2）确定集合中元素（个数），然后可得子集个数．（1）当即时，，符合题意；当时，有，解得．综上实数的取值范围是或；（2）当时，，所以集合的子集个数为个．30．已知(1)当时，写出集合的所有子集，共有多少个？(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于的不等式，求解即可.（1）当时，,所以集合的子集有，所以共有8个子集.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围为．31．设集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，求的非空真子集个数；（3）当时，不存在元素使与同时成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）254（3）【分析】（1）对集合B分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当时，，再求的非空真子集个数；（3）分和两种情况讨论得解.【详解】（1）当，即时，，满足.当，即时，要使成立，只需即.综上，当时，的取值范围是.（2）当时，，∴集合的非空真子集个数为.（3）∵，且，，又不存在元素使与同时成立，∴当，即，得时，符合题意；当，即，得时，或解得.综上，所求的取值范围是.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．已知，，，求的取值范围.【答案】【解析】先求解出集合，然后根据分别考虑和的情况，由此求解出的取值范围.【详解】因为，所以，所以，当时，满足，此时，所以；当时，若，则有，所以，综上可知：，即.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，其中涉及分类讨论的思想，难度一般.根据集合的包含关系求解参数范围时，一定要注意分析集合为空集的情况.33．（1）已知集合，当，求的值；（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）分，，三种情况，分别求得的值，再代入验证集合中的元素是否满足互异性可得答案；（2）先求得集合，借助数轴可得的取值范围．【详解】（1）若，则，，不合题意；若，则或-2，当时，，当时，，不合题意；若，则或-2，都不合题意；因此，所以．（2），，∴借助数轴可得，的取值范围为．【点睛】易错点点睛：由已知集合间的关系，元素与集合间的关系求参数的值时，注意将求得的参数的值代入集合中验证：集合中的元素是否满足互异性.34．已知集合，，(1)若集合，求实数的值；(2)若集合，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)或【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值；（2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可.（1）易知集合，由得：或，解得：.（2）（1）当时满足；（2）当时①当即时，满足，.②当即时，，不满足.③当即时，满