广东省珠海市夏湾中学高二数学理上学期期末试卷含解析

广东省珠海市夏湾中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将最小正周期为3π的函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期为3π=，求得ω=，∴函数f（x）=cos（x+φ+）．再把f（x）的图象向左平移个单位，得到偶函数y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）图象，则满足题意的φ的一个可能值为﹣，故选：B．2.在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.已知为第二象限角，，则（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：A略4.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D5.已知命题p、q，如果?p是?q的充分而不必要条件，那么q是p的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据逆否命题的等价性即可得到结论．【解答】解：∵?p是?q的充分而不必要条件，∴根据逆否命题的等价性可知，q是p的充分而不必要条件，故选B．6.一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的倍，则圆锥的高与球半径之比为（）A．16：9 B．9：16 C．27：8 D．8：27参考答案：A【考点】球内接多面体．【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与底面半径之比．【解答】解：V圆锥=，V球=，V圆锥=V球，∵r=R∴h=R∴h：R=16：9．故选A．【点评】本题是基础题，考查圆锥的体积、球的体积的计算公式，考查计算能力．7.已知命题：，则（

）

A.

B.C.

D.

参考答案：C8.等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点（n，Sn）在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】等差数列的前n项和，等价于二次函数，根据二次函数的图象和性质即可到答案．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，∴Sn=na1+×d=n2+（a1﹣）n，∴点（n，Sn）在曲线y=x2+（a1﹣）x，∵d＜0，∴二次函数开口向下，∵对称轴x=﹣＞0，∴对称轴在y轴的右侧，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的求和公式以及二次函数的性质，属于基础题．9.

直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A10.若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点，并且P点与右焦点的连线垂直轴，则线段OP的长为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知A、B是椭圆+=1的两个顶点，C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD面积最大值是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】四边形ABCD面积=S△ABD+S△ABC，AC是固定的直线，可判断两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，此时h1，h2最大，面积最大时，利用导数求出D（2，）再利用对称性得出C（﹣2，），|AC|=5，最后利用点到直线的距离，求出即可．【解答】解：∵A、B是椭圆+=1的两个顶点，∴A（4，0），B（0，3），∴直线AB的方程为：3x﹣4y﹣12=0，当如图两条平行直线与AB平行时，切点为C，D，此时四边形ABCD面积最大值：S=AC（h1+h2），kAC=y=3，y′==x=2，y=，D（2，）根据对称性可知：C（﹣2，），|AC|=5h1=，h2=，S=AC（h1+h2）=××=【点评】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置故关系，利用数形结合的思想判断出最值的位置，再利用导数求解，即可得需要的点，用公式求解即可．12.给出下列命题①“a＞b”是“a2＞b2”的充分不必要条件；②“lga＝lgb”是“a＝b”的必要不充分条件；③若x，y∈R，则“|x|＝|y|”是“x2＝y2”的充要条件；④△ABC中，“sinA＞sinB”是“A＞B”的充要条件．其中真命题是

▲

．（写出所有真命题的序号）参考答案：③④略13.已知直线和平面，若，则与的位置关系是

．参考答案：14.若=，=，则=_________；参考答案：略15.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，,则角A=.

。参考答案：略16.若对任意，都有成立，则实数a的取值范围用区间表示为：______________参考答案：[,3+]【分析】分类讨论与时，函数在区间上的最小值，建立不等式，即可求解实数a的取值范围，得到答案．【详解】由题意，当时，在区间上单调减函数，且，不满足题意；当时，二次函数图象对称轴为，若，则，函数在区间上的最小值为，即，解得，取；若，则，函数在区间上的最小值为，解得，取；当时，二次函数的图象的对称轴为，函数在区间上的最小值为，解得，此时不存在；综上可知，实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中根据二次函数的图象与性质，合理分类讨论，，求得函数的最小值，建立不等式上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17.，则a＝________.参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设、分别是椭圆的左、右焦点.,（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（2）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：解析：（1）易知

设P（x，y），则

，，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4（2）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k直线l的方程为

由方程组依题意

当时，设交点C，CD的中点为R，则又|F2C|=|F2D|

∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立，

所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|19.已知动圆P与圆F1：（x+1）2+y2=1外切，与圆F2：（x﹣1）2+y2=9内切．动圆P的圆心轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为．（1）求E的方程；（2）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（1）确定PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|，可得曲线E是长轴长2a=4，焦距2c=2的椭圆，且b2=a2﹣c2=3，即可求E的方程；（2）分类讨论，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线MA，MB的斜率之积为，即可证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标【解答】解（1）设动圆P的半径为r，由已知|PF1|=r+1，|PF2|=3﹣r，则有|PF1|+|PF2|=4，化简得曲线E的方程为=1．（2）由曲线E的方程得，上顶点M（0，），记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知，x1≠0，x2≠0．若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为x=x1，故y1=﹣y2，因此，kMA?kMB==﹣=，与已知不符，因此直线AB的斜率存在．设直线AB：y=kx+m，代入椭圆E的方程=1，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，①因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根x1，x2，所以x1+x2=﹣，x1?x2=，又kAM=，kMB=由kAM?kBM=得4（kx1+m﹣）（kx2+m﹣）=x1x2，即（4k2﹣1）x1x2+4k（m﹣）（x1+x2）+4（m﹣）2=0，所以4（m2﹣3）（4k2﹣1）+4k（m﹣）（﹣8km）+4（m﹣）2?（3+4k2）=0，化简得m2﹣3+6=0，故m=或m=2．结合x1x2≠0知m=2，即直线AB恒过定点N（0，2）．20.已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；（3）在（2）的条件下，设，已知数列为递增数列，求实数的取值范围.参考答案：（1）（2）（3）(1)由得，解得或21.（12分）已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率e=，右焦点与圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心重合．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设F1、F2是椭圆G的左焦点和右焦点，过F2的直线l：x=my+1与椭圆G相交于A、B两点，请问△ABF1的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标，可得椭圆半焦距c，结合离心率求得a，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（Ⅱ）画出图形，由题意可得，当最大时，△ABF1内切圆的面积也最大，联立直线方程和椭圆方程，求出A，B的坐标，代入三角形面积公式，然后利用换元法结合基本不等式求得最值．【解答】解：（Ⅰ）圆C：x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心为（1，0）．设椭圆G的方程，则，得a=2．∴b2=a2﹣c2=22﹣1=3，∴椭圆G的方程；（Ⅱ）如图，设△ABF1内切圆M的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABF1的面积等于△ABM的面积+△AF1M的面积+△BF1M的面积．即=．当最大时，r也最大，△ABF1内切圆的面积也最大．设A（x1，y1）、B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则．由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，解得，．∴．

令，则t≥1，且m2=t2﹣1，有．令，由f（t）在[1，+∞）上单调递增，得f（t）≥f（1）=4．∴．即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得，这时所求内切圆的面积为．∴存在直线l：x=1，△ABF1的内切圆M的面积最大值为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，