湖南省长沙市沩山中学高三数学文联考试题含解析

湖南省长沙市沩山中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数其中表示不超过的最大整数，如=-2，=1，=1，若直线与函数y=的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D作出函数的图像，又易知过定点（-1,0）.由图可知，当直线介于直线与直线之间时，其与函数y=的图象恰有三个不同的交点.易知，，由于两点都不在函数y=的图象上，所以直线可与直线重合，但不得与直线重合，即.故选D.2.已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是A． B． C． D．【解析】因为向量与向量的夹角为，所以，即，所以，即，选B.参考答案：因为向量与向量的夹角为，所以，即，所以，即，选B.【答案】B3.已知函数在定义域上是单调函数,若对任意，都有,则的值是（

）A．5

B．6

C．7

D．8参考答案：B4.给出如下三个命题：①四个非零实数依次成等比数列的充要条件是；②设，且

，若，则；③若，则是偶函数．其中不正确命题的序号是（

）A．①②③

B．①②

C．②③

D．①③参考答案：答案：B5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若=24，=18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．72参考答案：C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S5．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，=24，=18，∴，解得a1=2，d=4，∴S5=5×2+=50．故选：C．6.已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为A1-2i

B2-4i

C

D

1+2i参考答案：A7.、已知直线平面，直线平面，给出下列命题：①；②；③；④，其中正确命题的序号是A、①②③

B、②③④

C、②④

D、①③参考答案：D8.已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P－ABC的体积为

（

）

A．5

B．10

C．20

D．30参考答案：B略9.直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1 B． C． D．参考答案：B【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x的值．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．【点评】可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．10.

若函数与的图象的交点为（），则所在的区间是（

）A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，4）参考答案：答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设，的二项展开式中含项的系数为7，则____．参考答案：12.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，且有，则此鳖臑的外接球O（A、B、C、D均在球O表面上）的直径为__________；过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为__________.参考答案：3

π【分析】判断出鳖臑外接球的直径为，由此求得外接球的直径.根据球的截面的几何性质，求得过的平面截球所得截面面积的最小值.【详解】根据已知条件画出鳖臑，并补形成长方体如下图所示.所以出鳖臑外接球的直径为，且.过的平面截球所得截面面积的最小值的是以为直径的圆，面积为.故答案为：3

π【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查球的截面的性质，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力，属于基础题.13.已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF1F2＝30°，则该双曲线的离心率为______．参考答案：14.在锐角中，角的对边分别是，若的面积为，则

；

参考答案：15.将a，b都是整数的点（a，b）称为整点，若在圆x2+y2﹣6x+5=0内的整点中任取一点M，则点M到直线2x+y﹣12=0的距离大于的概率为_________．参考答案：略16.若f（x）+∫01f（x）dx=x，则．参考答案：考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．解答：解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是利用求导求出f（x）．17.已知x，y满足条件的最大值为＿＿＿＿参考答案：4作出可行域如图，是三条直线围成的三角形区域．又，作直线，向下平移此直线，当过点（2，0）时，取得最大值2，所以的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)是否存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，最小值为g(x)=g(1)＝1.（2）(2)g()＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()，当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g()．(3)满足条件的x0不存在．证明如下：假设存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立，即对任意x>0，有lnx<g(x0)<lnx＋(*)，但对上述x0，取x1＝eg(x0)时，有lnx1＝g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x0>0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．19.设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51.假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响.

（I）求p的值；（II）设试验成功的方案的个数为，求的分布列及数学期望E.参考答案：解析：（I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为

由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.所以，，从而，令

………6分

（II）解：ξ的可取值为0，1，2.……………7分

……………………10分所以ξ的分布列为ξ012P0.490.420.09ξ的数学期望……12分20.D．选修4-5：不等式选讲已知x、y、z均为正数．求证：＋＋≥＋＋．参考答案：D．因为x、y、z都是正数，所以＋＝≥．……3分同理可得＋≥，＋≥．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋．……10分

21.

已知椭圆）的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴直线，与椭圆C相交于A、B两点．

(I)求椭圆C的方程；

(II)已知O是坐标原