吉林大学研究生 数值计算考试题型答案

1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取=0.7410抛物线插值：=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取=3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0,求证:解：取，4.证明n次Lagrange插值多项式基函数满足解：取则=0所以即证5.分别求满足习题1和习题2中插值条件的Newton插值(1)2.00.69312.20.78850.4772.30.83290.444-0.11=0.693+0.477(x-2)-0.11(x-2)(x-2.2)0.693+0.0477-0.0011=0.7419(2)0123132-1-2/3553/25/63/106.给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton插值多项式,并由此计算f(0.596)的值0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解：F2F3F4F5F60.40.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.80.888111.275730.358930.197330.91.026521.384100.433470.18634-0.022001.051.253821.515330.524920.228630.088460.16394f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9)所以f(0.596)=0.631957.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值0.40.50.60.70.389420.479430.564640.64422解：前插：取节点：0.50.60.70.50.479430.60.564640.085210.70.644220.07958-0.00563(0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)，

h=0.1取t=0.7891(0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714即sin(0.57891)=0.54714后插：取节点0.40.50.60.40.389420.50.479430.090010.60.564640.08521-0.0048(0.6+th)=0.56464+0.08521*t-*t(t+1)，h=0.1取t=-0.2109(0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.54068628.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式，拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。(a)1.01.11.31.51.92.11.841.962.212.452.943.18解：（1）一次最小二乘拟合多项式，做法如题一，，，，=1.2196，该一次最小二乘拟合多项式为：（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：，把表中的数值代入得：，解得该二次最小二乘拟合多项式为：（3）三次最小二乘拟合多项式，设三次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：，把表中的数值代入得：，解得：该三次最小二乘拟合多项式为：(b)4.04.24.54.75.15.55.96.36.87.1102.56113.18130.11142.05167.53195.14224.87256.73299.50326.72解：（1）一次最小二乘拟合，做法如题一，，，，，该一次最小二乘拟合多项式为：（2）二次最小二乘拟合多项式，设二次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：，把表中的数值代入得：，解得该二次最小二乘拟合多项式为：（3）三次最小二乘拟合多项式，设三次最小二乘拟合多项式为：，由教材分析知，系数满足如下正规方程组：，把表中的数值代入得：，解得：该三次最小二乘拟合多项式为：9.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形求积公式计算积分所需的步长h，使得精度达到。解：（1）复化梯形公式故（2）复化辛浦生公式故（3）复化中矩形求积公式故求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求(保留四位小数)。答案：是精确成立，即得求积公式为当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。已知13452654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式，并求的近似值（保留四位小数）。答案：差商表为一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-103.已知-2-101242135求的二次拟合曲线，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为4、已知区间[0.4，0.8]的函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差尽量小，即应使尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点最好，实际计算结果，且5.利用矩阵的LU分解法解方程组。答案：解：令得，得.6.已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。7.ex，用复化梯形公式，求近似值有5位有效数字解：当0<x<1时，ex，则，且有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差.由，只要即可，解得所以，因此至少需将[0,1]68等份。7.取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。解：又故截断误差。8.数值积分公式形如试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：，9.已知数值积分公式为：，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：显然精确成立；时，；时，；时，；时，；所以，其代数精确度为3。10.以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.722755511.(10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。或利用余项：，，12.取5个等距节点，分别用复化梯形公式和复化辛普生公式计算积分的近似值（保留4位小数）。解：5个点对应的函数值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111----------------------------------------------------------（2分）(1)复化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：复化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：13.已知，给出以这3个点为求积节点在上的插值型求积公式解：过这3个点的插值多项式基函数为故所求的插值型求积公式为14.确定求积公式的代数精度，它是Gauss公式吗？证明：求积公式中系数与节点全部给定，直接检验依次取，有本题已经达到2n-1=5。故它是Gauss公式。15.给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取，，则，，则，从而。若取，，，则，，，则，从而。16.给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。[解]设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，，，近似线性插值多项式为，所以总误差为，从而17.求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。[解]设，则，再由，，可得：解得。从而。18.给定数据表：，1246741011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。19.如下表给定函数：，0123436111827试计算出此列表函数的差分表，并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式。[解]构造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多项式为：。20.用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。192531384419.032.349.073.397.8[解]由。。又，，，故法方程为，解得。均方误差为。21、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）00.91.93.03.95.0距离s（米）010305080110[解]设直线运动为二次多项式，则由。，。又，，，故法方程为，解得。故直线运动为。28.单原子波函数的形式为，试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：X0124y2.0101.2100.7400.450[解]对两边取对数得，令