概率论与数理统计第二章随机变量及其分布详解演示文稿

概率论与数理统计第二章随机变量及其分布详解演示文稿当前第1页\共有196页\编于星期五\2点优选概率论与数理统计第二章随机变量及其分布当前第2页\共有196页\编于星期五\2点为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规实数对应起来，将随机试验结果数量化。律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与当前第3页\共有196页\编于星期五\2点第一节随机变量随机变量概念的产生引入随机变量的意义随机变量的分类当前第4页\共有196页\编于星期五\2点一、随机变量概念的产生在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.当前第5页\共有196页\编于星期五\2点1.有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；四月份哈尔滨的最高温度；每天进入一号楼的人数；昆虫的产卵数；当前第6页\共有196页\编于星期五\2点2.在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.

当前第7页\共有196页\编于星期五\2点这种对应关系数学上理解为定义了一种实值单值函数.e.X(e)R定义1设随机试验的样本空间在Ω上的实值单值函数，称是定义为随机变量。随机变量的定义(简记为r.v.)

把样本点发生的概率转化为随机变量取得某个数字的概率，一般事件发生的概率转化为数字集合的概率。样本点←→数字当前第8页\共有196页\编于星期五\2点随机变量定义在样本空间Ω上,定义域可以是数也可以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。2.随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定的概率；而普通函数却没有。随机变量函数和普通函数的区别1.定义域不同这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样！当前第9页\共有196页\编于星期五\2点

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母

x,y,z,u,v,w等.随机变量通常用大写字母X,Y,Z,U,V,W等表示当前第10页\共有196页\编于星期五\2点

有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.二、引入随机变量的意义如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量.

事件{收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}{X1}{X=0}

当前第11页\共有196页\编于星期五\2点随机变量非离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量其它三、随机变量的分类我们将研究两类随机变量：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.当前第12页\共有196页\编于星期五\2点这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点.学习时请注意它们各自的特点和描述方法.当前第13页\共有196页\编于星期五\2点例1对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。设为随机变量。即事件A：结果出现正面，样本空间同理当前第14页\共有196页\编于星期五\2点例2测量某工厂一天生产灯泡的寿命。样本空间设，其中，则X为随机变量。寿命表示一事件A，例如例3某战士射击命中率为

,设首次击中目标所需射击

次数为,则随机变量当前第15页\共有196页\编于星期五\2点解例4一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.当0.15X<1000×0.1时，报童赔钱故{报童赔钱}{X666}{报童赔钱}{卖出的报纸钱不够成本}当前第16页\共有196页\编于星期五\2点随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律当前第17页\共有196页\编于星期五\2点第二节离散型随机变量及其分布一、离散型随机变量的定义二、常用的离散型随机变量当前第18页\共有196页\编于星期五\2点

从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量.(1)X可能取的值是0,1,2;

(2)取每个值的概率分别为看一个例子：一、离散型随机变量分布律的定义定义1若随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量.当前第19页\共有196页\编于星期五\2点其中(k=1,2,…)满足：

k=1,2,…（1）（2）定义2设

xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称为离散型随机变量X

的分布律.用这两条性质判断一个函数是否是分布律当前第20页\共有196页\编于星期五\2点解依据分布律的性质P{X=k}≥0,

a≥0,从中解得即例2设随机变量X的分布律为：k=0,1,2,…,试确定常数a.当前第21页\共有196页\编于星期五\2点离散型随机变量表示方法（1）公式法（2）列表法X当前第22页\共有196页\编于星期五\2点例1某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.解X的可取值为0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示为：

X这就是X的分布律.当前第23页\共有196页\编于星期五\2点例2

设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号灯，每盏信号灯以概率允许汽车通过,变量表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）,求的分布律。解由题意可知的分布律为，则当前第24页\共有196页\编于星期五\2点将带入可得的分布律为当前第25页\共有196页\编于星期五\2点例3设一均匀的硬币抛三次为一次试验，为正面出现的次数，求随机变量的分布律。解Ω={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}则当前第26页\共有196页\编于星期五\2点例4设X为离散型随机变量，其分布律为：Xp-1011/21-2qq2解

当前第27页\共有196页\编于星期五\2点某射手连续向一目标射击，直到命中为止，解显然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,为计算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak={第k次命中}，k=1,2,…，设于是已知他每发命中的概率是p，求射击次数X的分布列.例5

当前第28页\共有196页\编于星期五\2点可见这就是所求射击次数X的分布律.若随机变量X的分布律如上式，不难验证:几何分布.则称X服从当前第29页\共有196页\编于星期五\2点Ⅰ.(0—1)分布定义1.如果随机变量的分布律为则称服从参数为的(0—1)分布。即或二、常用的离散型随机变量及其分布（0—1）分布的分布律也可写成当前第30页\共有196页\编于星期五\2点

注

服从（0—1）分布的随机变量很多，如果涉及的试验只有两个互斥的结果：，都可在样本空间上定义一个服从（0—1）分布的随机变量：当前第31页\共有196页\编于星期五\2点下面我们将介绍一个重要的离散型随机变量的分布---------二项分布当前第32页\共有196页\编于星期五\2点1.伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由它推导）①n重独立试验在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。Ⅱ.二项分布“重复”是指这n次试验中P(A)=p保持不变.“独立”是指各次试验的结果互不影响.当前第33页\共有196页\编于星期五\2点②伯努利概型设随机试验E只有两种可能结果，且将试验E独立地重复进行n次，则称这n次试验为n重伯努利试验，或称n重伯努利概型。掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”抽验产品：“是正品”，“是次品”一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的结果：A

或.这样的试验E称为伯努利试验

.当前第34页\共有196页\编于星期五\2点2.二项分布引例：某人打靶单发命中率为现独立重复射击3次，求恰好命中2发的概率。解表示“第i次命中”表示“恰好命中两次”由此可得：n重伯努利试验中,“事件恰好发生k次”,即的概率为当前第35页\共有196页\编于星期五\2点定义2如果随机变量的分布律为则称服从参数为的二项分其中布，记为容易验证二项式定理特别,当时,二项分布为这就是（0-1）分布，常记为当前第36页\共有196页\编于星期五\2点3.二项分布的分布形态若，则由此可知，二项分布的分布律(右图)先是随着到其最大值后再随着的增大而减小.这个使得达到其最大值的称为该二项分布的最可能次数。的增大而增大,达当前第37页\共有196页\编于星期五\2点当(n+1)p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]达到最大值；n=10,p=0.7kpk当(n+1)p为整数时，二项概率P{X=k}在

k=(n+1)p和

k=(n+1)p-1处达到最大值.n=13,p=0.5pkk0当前第38页\共有196页\编于星期五\2点二项分布的取值情况设.039.156.273.273.179.068.017.0024.00000123456780.273•由图表可见,当

时，分布取得最大值此时的称为最可能成功次数xP•0•1•2•3•4•5•6•7•8当前第39页\共有196页\编于星期五\2点设.01.06.14.21.22.18.11.06.02.01.002<.00101234567891011~20••xP•••••1•3•5•7•9••••0•2•4•6•8•10•20由图表可见,当时，分布取得最大值0.22•当前第40页\共有196页\编于星期五\2点当前第41页\共有196页\编于星期五\2点表示所取的3个中的次品数，，于是所求概率为解设注若将本例中的“有放回”改为“无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时只能用古典概型求解.例4已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求所取3个中恰有2个次品的概率。当前第42页\共有196页\编于星期五\2点古典概型与伯努利概型不同，有何区别？请思考：伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，（1）每次试验条件相同；（2）每次试验只考虑两个互逆结果且（3）各次试验相互独立.但有下述要求：当前第43页\共有196页\编于星期五\2点例5一大批产品中一级品率为0.2，现随机抽查20只，问20只元件中恰好有为一级品的概率为多少？解设表示20只元件中为一级品的只数，这个试验可以看作伯努利试验。当前第44页\共有196页\编于星期五\2点例6某人射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率？解

设表示击中的次数，则所以分布律则所求概率本例题的实际意义：当前第45页\共有196页\编于星期五\2点①

不可忽视小概率事件，小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.②反过来看，如果一个人射击400次，击中竟不到两次，由于很小，故怀疑“命中率0.02”是否为真，即他的命中率不到0.02。当前第46页\共有196页\编于星期五\2点例如：设发行的彩票中奖率是0.001，假定发行的彩票数量巨大，以至于不论别人是否中奖均不会改变你抽奖时的中奖率。求买n张彩票能中奖的概率pn。此外由于中奖率是千分之一，问买1000张彩票中奖概率是否接近于1？彩票中奖问题解

设表示n张彩票中中奖的票数，则即当前第47页\共有196页\编于星期五\2点则n张彩票能中奖的概率为n10002000300040005000pn0.6320.8650.9500.9820.993买3000张彩票中奖率已达到95%，再多买2000张中奖的概率仅增加了4.3%！当前第48页\共有196页\编于星期五\2点例如：保险公司有10000人参加人身意外保险。该公司规定：每人每年付公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元。若每人每年意外死亡率为0.006，试讨论该公司是否会亏本，其利润状况如何。人身保险问题分析：公司收入为120×10000=120万元解设表示10000人中意外死亡的人数，则即公司亏本意味着：死亡人数超过了120人。当前第49页\共有196页\编于星期五\2点则公司亏本的概率为解设表示10000人中意外死亡的人数，则即公司几乎不会亏本!！当前第50页\共有196页\编于星期五\2点该公司利润不少于40万元的概率为公司的利润状况解设表示10000人中意外死亡的人数，则即公司盈利几乎是必然的!！当前第51页\共有196页\编于星期五\2点由此可见日常生活中“提高警惕,防火防盗”的重要性.由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开。当前第52页\共有196页\编于星期五\2点例780台同类型设备，各台工作相互独立，发生故障的概率，有两种配备维修工人的方法：①4个人每人负责20台；②3个人共同负责80台。问那种方案好?(比较发生故障而不能及时维修的概率)解

设表示“第一个人维护的20台中同时发生故障的台数”，表示“第i个人维护的20台中发生故障而不能及时维修”，由题意可得当前第53页\共有196页\编于星期五\2点①第一个人维护的20台中发生故障而不能及时维修的概率为4个人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率当前第54页\共有196页\编于星期五\2点②设表示“80台同时发生故障的台数”则3人维护的80台中发生故障而不能及时维修的概率总之即第②种方案的工作效率高。当前第55页\共有196页\编于星期五\2点定理1（泊松Poisson定理)设是一常数，n是正整数，若，则对任一固定的非负整数证

由得当前第56页\共有196页\编于星期五\2点对于任意固定的故有当前第57页\共有196页\编于星期五\2点注：①②麦克劳林级数当前第58页\共有196页\编于星期五\2点定义1

设随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,而且概率分布为：Ⅲ.泊松分布其中，则称服从参数为的泊松分布，记注

二项分布是最重要的离散型概率分布之一，当时，即为（0—1）分布；当时，二项分布近似于泊松分布。当前第59页\共有196页\编于星期五\2点泊松分布的图形特点：当前第60页\共有196页\编于星期五\2点当n

很大，p很小时，泊松定理表明

泊松分布是二项分布的极限分布，参数=np的泊松分布二项分布就可近似看成是当前第61页\共有196页\编于星期五\2点在实际计算中,当n

20,p0.05时,可用上述公式近似计算;而当n

100,np10时,精度更好

00.3490.3580.3690.366

0.368

10.3050.3770.3720.3700.368

20.1940.1890.1860.1850.184

30.0570.0600.0600.0610.061

40.0110.0130.0140.0150.015按二项分布Possion

公式

k

n=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=np=1

当前第62页\共有196页\编于星期五\2点设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊解由题意,求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.例1当前第63页\共有196页\编于星期五\2点例2某城市有1%色盲者，问从这个城市里选出多少人才能使里面至少有一位色盲患者的概率不少于0.95？解设选出n个人，n人中色盲患者为则两边取对数所以得当前第64页\共有196页\编于星期五\2点有产品15000件，其中次品150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法1

超几何分布解法2

二项分布为次品率，X~b(100,0.01)解法3

泊松分布例3当前第65页\共有196页\编于星期五\2点近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布的应用当前第66页\共有196页\编于星期五\2点在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.①②③④⑤一个容器中的细菌数；一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；⑥⑦⑧应用场合放射性物质发出的粒子数；当前第67页\共有196页\编于星期五\2点解

(1)设需要配备N个维修工人,设X为90台设备中发生故障的台数，则X~b(90,0.01)

设同类型设备90台，每台工作相互独立，每台设备发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备发生故障可由一个人独立维修，每人同时也只能维修一台设备.问至少要配备多少维修工人，才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2)问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？附例当前第68页\共有196页\编于星期五\2点令则查附表3得N=4当前第69页\共有196页\编于星期五\2点三个人共同负责90台设备发生故障不能及时维修的概率为当前第70页\共有196页\编于星期五\2点设30台设备中发生故障的台数为

Y

~b(30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第i个人负责的30台设备发生故障不能及时维修为事件Ai

则三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件故

三个人共同负责90台设备比各自负责好！当前第71页\共有196页\编于星期五\2点作业P57：4,5，6当前第72页\共有196页\编于星期五\2点一、分布函数的概念二、分布函数的性质第三节随机变量的分布函数

当前第73页\共有196页\编于星期五\2点为X的分布函数。记作设X是一个随机变量，定义1是任意实数，称函数的值就表示X落在区间上的概率.分布函数一、分布函数的概念当前第74页\共有196页\编于星期五\2点

由定义，对任意实数上的概率，用F(x)刻画随机点落在功能式区间由于得同理，还可以写出当前第75页\共有196页\编于星期五\2点因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.当前第76页\共有196页\编于星期五\2点分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量.当前第77页\共有196页\编于星期五\2点当

x<0时，{X

x}=，故

F(x)=0例1设随机变量X的分布律为当0x<1时，

F(x)=P{X

x}=P{X=0}=F(x)=P{X

x}解X求X的分布函数F(x).当前第78页\共有196页\编于星期五\2点当1x<2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=当

x2时，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1当前第79页\共有196页\编于星期五\2点故注意右连续下面我们从图形上来看一下.当前第80页\共有196页\编于星期五\2点的分布函数图当前第81页\共有196页\编于星期五\2点解

(1)①当时，②当时，则例2设随机变量X的分布律为求(1)X

的分布函数；(2)当前第82页\共有196页\编于星期五\2点③当时，则④当时，为必然事件，则所以离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；当前第83页\共有196页\编于星期五\2点(2)当前第84页\共有196页\编于星期五\2点一般地，设离散型随机变量的分布律为由概率的可列可加性得的分布函数为当前第85页\共有196页\编于星期五\2点二、分布函数的性质⑴单调不减性：⑶右连续性：对任意实数⑵归一性：对任意实数，且，则具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。当前第86页\共有196页\编于星期五\2点试说明F(x)能否是某个r.v

的分布函数.例2

设有函数

F(x)

解

注意到函数

F(x)在

上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v

的分布函数.或者当前第87页\共有196页\编于星期五\2点解例3已知，求A、B。所以当前第88页\共有196页\编于星期五\2点例4

已知离散型随机变量X

的分布函数为求X的分布律。解

X的可能取值为3，4，5。当前第89页\共有196页\编于星期五\2点所以X的分布律为当前第90页\共有196页\编于星期五\2点例5

已知X

表示弹着点与靶心的距离，⑴击中靶上任一同心圆盘上点的概率与该圆盘面积成正比；⑵靶子半径是2米；⑶每次射击都中靶。求X的分布函数F(x)。解因为当时，不可能发生，当时，X当前第91页\共有196页\编于星期五\2点由当时，总之X的分布函数为当前第92页\共有196页\编于星期五\2点引出连续型随机变量的特点：⑴F(x)是连续函数；⑵存在非负函数，对任意实数x点有例如在上例中当前第93页\共有196页\编于星期五\2点对任意实数x有显然当前第94页\共有196页\编于星期五\2点作业P58：8,10当前第95页\共有196页\编于星期五\2点第四节连续型随机变量及其分布

一、连续型随机变量的定义二、常用的连续型随机变量当前第96页\共有196页\编于星期五\2点例：测试灯泡的寿命，用X表示灯泡的寿命；引例例：测试上课迟到情况,用X表示你到达教室的时间.特点：X的取值充满一个区间[a,b]或[a,+∞)X的取值无法一一列出；这类问题，人们关心的重点是什么？？当前第97页\共有196页\编于星期五\2点

例题人们对产品的了解是，寿命不超过500小时的概率为0.71，寿命在500到800小时之间的概率是0.22，在800到1000小时之间的概率为0.07.可画图示意，用矩形的面积表示相应的概率。o0.710.220.075008001000O2004006008001000为了更精确，无限细分下去，…，得到一条曲线当前第98页\共有196页\编于星期五\2点f(x)x图中“曲边梯形”（阴影区域）的面积即为X落在区间[a,b]上的概率.该曲线称为随机变量X的分布密度曲线.曲线对应的函数称为随机变量X的分布密度函数，记为f(x).分布密度函数f(x)完全描述了随机变量X的规律.当前第99页\共有196页\编于星期五\2点一、连续型随机变量的定义定义1.

设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负，使对任意实数x,有则称X为连续型随机变量，称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。常记为函数1.概率密度当前第100页\共有196页\编于星期五\2点2.概率密度的性质⑴非负性⑵归一性由于可由下图表示f(x)x面积为1这两条性质是判定一个函是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件。数当前第101页\共有196页\编于星期五\2点⑶对于任意实数，有这是因为这里事件并非不可能事件，但可见由，不一定能推出由，不一定能推出称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.当前第102页\共有196页\编于星期五\2点⑷对于任意的数有f(x)x连续型随机变量X落在某区间上的概率在该区间上的改变量在该区间上的积分(与端点是否在内无关)图中阴影部分当前第103页\共有196页\编于星期五\2点⑸分布函数上连续，且密度函数不唯一（在个别点的值可不同）。⑹概率密度在点处连续，则有即当前第104页\共有196页\编于星期五\2点如果把概率理解为质量，故X

的密度上的概率与区间长度之比的极限。这里，相当于线密度。区间在这一点的值，恰好是X落在这表示X落在小区间上的概率近似地等于若不计高阶无穷小，有：在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。当前第105页\共有196页\编于星期五\2点的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度.要注意的是:密度函数并不是的概率.但是这个高度越大，则X取附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线f(x)0x1在某点处

的高度当前第106页\共有196页\编于星期五\2点解例1求下列函数是否为概率密度函数是显然的；故f(x)可以作为密度函数。当前第107页\共有196页\编于星期五\2点解例2当前第108页\共有196页\编于星期五\2点例3设X是连续型随机变量，其概率密度为求⑴常数A；⑵；⑶X的分布函数。解⑴由得则当前第109页\共有196页\编于星期五\2点⑵⑶当时，当时，当前第110页\共有196页\编于星期五\2点得当时，所以由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.当前第111页\共有196页\编于星期五\2点例5设随机变量X的概率密度函数为：求随机变量X的分布函数。解根据连续型随机变量的分布函数的积分表示得当前第112页\共有196页\编于星期五\2点当前第113页\共有196页\编于星期五\2点综上得分布函数为：当前第114页\共有196页\编于星期五\2点概率密度函数图形：称为山形函数当前第115页\共有196页\编于星期五\2点分布函数的图形当前第116页\共有196页\编于星期五\2点练习

已知某型号电子管的使用寿命X为连续r.v.,其密度函数为(1)求常数c(2)计算解(1)令c=1000当前第117页\共有196页\编于星期五\2点(2)

当前第118页\共有196页\编于星期五\2点作业P58：12,14当前第119页\共有196页\编于星期五\2点二、几种常用的连续型随机变量1.均匀分布定义若随机变量X的概率密度为：则称X

服从区间[a,b]上的均匀分布，记作当前第120页\共有196页\编于星期五\2点均匀分布的密度函数的验证设，其中是其概率密度，则有由此可知确是概率密度。当前第121页\共有196页\编于星期五\2点均匀分布的分布函数当时，由于当时，当时，则分布函数为当前第122页\共有196页\编于星期五\2点xf(x)abxF(x)ba当前第123页\共有196页\编于星期五\2点因为均匀分布的概率背景说明：X取值在（a，b）中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比。与小区间的位置无关。这正是几何概型的情形当前第124页\共有196页\编于星期五\2点解依题意，

X～U[0,30]

以7:00为起点0，以分为单位随机变量，例1

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀试求他候车时间少于5分钟的概率.当前第125页\共有196页\编于星期五\2点所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3。当前第126页\共有196页\编于星期五\2点⒉指数分布若随机变量X的概率密度为：指数分布。为常数，则称随机变量X服从参数为其中的概率密度的图形指数分布的分布函数为当前第127页\共有196页\编于星期五\2点1xF(x)0xf(x)0当前第128页\共有196页\编于星期五\2点密度函数的验证当前第129页\共有196页\编于星期五\2点对于任意的0<a<b,应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似当前第130页\共有196页\编于星期五\2点解(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两.电子元件的寿命X(年）服从λ＝3的指数分布例2(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率为多少？由已知得X的概率密度为当前第131页\共有196页\编于星期五\2点由⑴、⑵结果得：指数分布具有无记忆性，即当前第132页\共有196页\编于星期五\2点若X~Ｅ(),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的“无记忆性”事实上命题当前第133页\共有196页\编于星期五\2点解(1)例3

假定一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数,求相继两次故障的时间间隔T的概率分布;设备已正常运行８小时的情况下，再正常运行10小时的概率.当前第134页\共有196页\编于星期五\2点即(2)由指数分布的“无记忆性”当前第135页\共有196页\编于星期五\2点解由题意知，其中现在X的概率密度为例4假设顾客在某银行窗口等待服务的时间(单位:分钟)X服从指数为的指数分布。若等待时间超过10分钟，则他离开，假设他一个月内要来银行5次。以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及至少有一次没有等到服务的概率当前第136页\共有196页\编于星期五\2点因此所以Y的分布律为于是当前第137页\共有196页\编于星期五\2点例5

设随机变量X服从[1，6]上的均匀分布，求一元二次方程有实根的概率。解因为当时，方程有实根，故所求概率为而X的概率密度为从而当前第138页\共有196页\编于星期五\2点⒊正态分布例：在大量重复试验中，得到一组数据，这组数据虽然有波动，但总是以某个常数为中心。偏离中心越近的数据越多；偏离中心越远的数据越少。取值呈“中间大、两头小”的格局，即取值具有对称性。此随机变量是一个服从正态分布的随机变量。当前第139页\共有196页\编于星期五\2点正态分布的重要性⑶正态分布可以作为许多分布的近似分布．⑴大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布。⑵正态分布有许多良好的性质.正态分布在十九世纪前叶由高首次露面。德莫佛最早发现了二项分布概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的斯加以推广和应用，所以通常称为高斯分布。德莫佛高斯当前第140页\共有196页\编于星期五\2点德国1993年10马克高斯在他于1809年发表的“最小二乘法”的基础上建立的正态分布方程，是概率统计中一个非常重要的工具，广泛应用于数学、物理学等领域。当前第141页\共有196页\编于星期五\2点Ⅰ.正态分布的定义定义1设连续型随机变量的概率密度为其中为常数，则称X服从参数为的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为定义2当时，X的概率密度为当前第142页\共有196页\编于星期五\2点则称X服从标准正态分布，记为的图形如下图所示以上钟形曲线叫做正态曲线，故满足以下特性。x0当前第143页\共有196页\编于星期五\2点Ⅱ.正态分布概率密度的几何形态（性质）⑴证？当前第144页\共有196页\编于星期五\2点计算（利用高数知识）令，则设，故，故代入得可以直接引用当前第145页\共有196页\编于星期五\2点⑵

曲线关于对称，，有（如下图）这表明对于任意⑶

当时，f(x)取得最大值x离μ越远，f(x)的值就越小。当前第146页\共有196页\编于星期五\2点⑷

曲线在处有拐点；曲线以轴为渐近线，⑸

若σ固定，而改变μ的值，则f(x)的图形沿x轴平行移动，但不改变其形状，因此定。（如右图）的图形的位置完全由参数μ所决当前第147页\共有196页\编于星期五\2点决定了图形中峰的陡峭程度，正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。称σ为形状参数。当前第148页\共有196页\编于星期五\2点Ⅲ.正态分布的分布函数设，X的分布函数是当前第149页\共有196页\编于星期五\2点而，即X服从标准正态分布的分布的分布函数为当前第150页\共有196页\编于星期五\2点x0x-x当x≥０时,可直接查表求当x<０时

,如右图可得

227页当前第151页\共有196页\编于星期五\2点例1解设随机变量，试求⑵.⑶.⑴.当前第152页\共有196页\编于星期五\2点Ⅳ.正态分布标准化一般地，若，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布。定理1若随机变量，则证要求的分布函数当前第153页\共有196页\编于星期五\2点标准正态分布的分布函数所以当前第154页\共有196页\编于星期五\2点结论①若，则它的分布函数可以写成②若当前第155页\共有196页\编于星期五\2点解例2设随机变量，试求：⑴，⑵⑴当前第156页\共有196页\编于星期五\2点例2设随机变量，试求：⑴，⑵解当前第157页\共有196页\编于星期五\2点已知，求解例3查表得查表得当前第158页\共有196页\编于星期五\2点公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?解设车门高度为hcm,按设计要求即因为X～N(170,62)，0.99故查表得例4即设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。当前第159页\共有196页\编于星期五\2点3σ准则时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在的区间内。这在统计学上称为准则”当由3准则知，当当前第160页\共有196页\编于星期五\2点例5

设解由图形可得当前第161页\共有196页\编于星期五\2点例6.在电压不超过200伏,在200-240伏和超过240伏三种情况下,某种元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2.假设电压求:1)该元件损坏的概率2)该元件损坏时,电压在200-240伏的概率解:设分别表示电压不超过200伏,在200-240伏,超过240伏＝“元件损坏”当前第162页\共有196页\编于星期五\2点由题意由全概公式当前第163页\共有196页\编于星期五\2点由题意由全概公式2)由贝叶斯公式例6.当前第164页\共有196页\编于星期五\2点0因为由图可知所以查表可得故则称点为标准正态分布的上α分位点。定义设，若满足条件当前第165页\共有196页\编于星期五\2点标准正态分布的上分位数z设X~N(0,1),0<<1,称满足的点z

为X的上分位数

z常用数据0当前第166页\共有196页\编于星期五\2点作业P59：15,16,17当前第167页\共有196页\编于星期五\2点第七节随机变量的函数的分布

一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布当前第168页\共有196页\编于星期五\2点本节的任务：已知随机变量X的分布，并且已知Y=g(X),要求随机变量Y的分布(分布律或分布密度)一、离散型随机变量的函数的分布当X为离散型随机变量时，Y=g(X)也是离散型随机变量，并且在X分布律已知的情况下，求Y的分布律是很容易的。当前第169页\共有196页\编于星期五\2点例1已知X

的分布律为求Y=2X－1，Z=X2＋1的分布律。解⑴故Y的分布律为当前第170页\共有196页\编于星期五\2点⑵故Z的分布律为当前第171页\共有196页\编于星期五\2点注意⒈设互不相等时，则由可得⒉当，则把那些相等的值合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加得到Y的分布律。当前第172页\共有196页\编于星期五\2点例2设某工程队完成某项工程所需时间为X(天)近似服从参数为的正态分布，奖金方法规定，若在100天内完成，则得超产奖10000元；若在若在100天至115天内完成，则得超产奖1000元；若完成时间超过115天，则罚款5000元。求该工程队在完成这项工程时，奖金额Y的分布律。解依题意当前第173页\共有196页\编于星期五\2点可见Y是X的函数，且是离散型随机变量。则Y的分布律为当前第174页\共有196页\编于星期五\2点Ⅰ.分布函数法（一般的函数都适用）⑴

先求的分布函数⑵再利用的分布函数与概率密度之间的关系求的概率密度为三、连续型随机变量的函数的分布当前第175页\共有196页\编于星期五\2点例3已知X的密度函数为为