考前导数解答题(教师版)

考前导数解答题（教师版）1.（本小题满分15分）已知函数，，（）．（1）求函数的极值；（2）已知，函数，，判断并证明的单调性；（3）设，试比较与，并加以证明．解析：（1），令，得．当时，，是减函数；当时，，是增函数．∴当时，有极小值，无极大值．（2）==，由（1）知在上是增函数，当时，，即，∴，即在上是增函数． （3），由（2）知，在上是增函数，则，令得，．2.（本小题满分16分）已知函数（不同时为零的常数），导函数为.（1）当时，若存在使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围.解析：（1）当时，==，其对称轴为直线，当，解得，当，无解，所以的的取值范围为．（2）因为，法一：当时，适合题意当时，，令，则，令，因为，当时，，所以在内有零点．当时，，所以在（内有零点．因此，当时，在内至少有一个零点．综上可知，函数在内至少有一个零点．法二：，，．由于不同时为零，所以，故结论成立．(3)因为=为奇函数，所以,所以，又在处的切线垂直于直线，所以，即．（3）设，，则，设，∴，∴，即在上单调递增，又，故在上有唯一零点，设为，则，因此，当时，，∴在上单调递减；当时，，∴在上单调递增，因此，由于，∴，则．设，则，令，则，∴，故．5．（本小题满分12分）设（），曲线在点处的切线方程为（）(1)求、的值；(2)设集合，集合，若，求实数的取值范围．解析：(1)，由题设，∴，又切点为在切线上，∴(2)，∵，∴，，即，设，即，，①若，在上为增函数，，这与题设矛盾；②若方程的判别式，当，即时，.在上单调递减，，即不等式成立，当时，方程，设两根为，，，当,单调递增，，与题设矛盾，综上所述，．6．(本小题满分15分)已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)当时，.令f(x)<0，解得，所以f(x)的单调减区间为．(2)，由题意知消去，得有唯一解．令，则，所以在区间，上是增函数，在上是减函数，又，，故实数的取值范围是．(3)设，则点处切线方程为与曲线：联立方程组，得，即，所以点的横坐标．由题意知，，，若存在常数，使得，则，即存在常数，使得，所以解得，．故时，存在常数，使；时，不存在常数，使．7．(本小题满分14分)已知a为实常数，函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同的零点①求实数a的取值范围；②求证：，且（其中e为自然对数的底数）解析：（I）的定义域为．其导数．①当时，，函数在上是增函数；②当时，在区间上，；在区间上，．所以在是增函数，在是减函数.（II）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，所以，解得，此时，，且，令，则，所以在，上单调递增，所以，即所以的取值范围是，②证法一：.设..当时，；当时，；所以在上是增函数，在上是减函数.最大值为.由于，且，所以，所以.下面证明：当时，.设，则.在上是增函数，所以当时，.即当时，由得.所以.所以，即，，.又，所以，.所以.即.由，得.所以，.②证法二：由（II）①可知函数在是增函数，在是减函数.所以.故第二部分:分析:因为,所以.只要证明:就可以得出结论下面给出证明：构造函数：则：所以函数在区间上为减函数.,则,又于是.又由(1)可知.即8．(本小题满分15分)已知函数，.（1）设.①若函数在处的切线过点，求的值；②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.解析：（1）由题意，得，所以函数在处的切线斜率，又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得.（2）方法一：当，可得，因为，所以，①当时，，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而.②当时，由，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数在上有最小值为，令，解得，所以.综上所述，.方法二：当，①当时，显然不成立；②当且时，，令，则，当时，，函数单调递减，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，由题意知.（3）由题意，，而等价于，令，则，且，，令，则，因，所以，所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即.(本小题满分12分)已知函数()．（1）求函数的极值;（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．解析：函数的定义域为，，令，解得，列表－－0+单调递减单调递减极小值单调递增由表得函数的单调减区间为，，单调减区间为；所以极小值为＝，无极大值.（2）当时，对任意，不等式恒成立；当时，在两边取自然对数，得，当时，，当，不等式恒成立；如果，，，不等式等价于，由(1)得，此时，不等式不恒成立.当时，，则,不等式等价于,由(1)得，此时的最小值为，得.综上：的取值范围是.10.(本小题满分12分)已知函数和（其中），，．（1）求的取值范围；（2）方程有几个实根？为什么？解析：（1）∵，，∴，∴．，即，∴．①当，即时，上式不成立．②当，即时，．由条件，得到．由，解得或．由，解得或．m的取值范围是或．（2）有一个实根．，即．记，则．∵，，．∴△＞0，故有相异两实根．易知，x1，x2分别是函数Q（x）的极大值和极小值点，，∴显然，，∴，∴，∴．于是．而为三次函数的极小值点，故与x轴只有一个交点．∴方程只有一个实根．11．（本小题满分15分）已知函数，．（1）当时，求函数的极大值；（2）求函数的单调区间；（3）当时，设函数，若实数满足：且，，求证：．解析：函数的定义域为．（1）当时，，，令得．列表：x+0↗极大值↘所以的极大值为．（2）．令，得，记．（ⅰ）当时，，所以单调减区间为；（ⅱ）当时，由得，①若，则，由，得，；由，得．所以，的单调减区间为，，单调增区间为；②若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为；③若，则，由，得；由，得．的单调减区间为，单调增区间为．综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，，单调增区间为；当时，单调减区间为，单调增区间为．（3）（）．由得．∵，∴(舍)，或．∵，∴．由得，因为，所以（*）式可化为，即．令，则，整理，得，从而，即．记．，令得（舍），，列表：+↘↗所以，在单调减，在单调增，又因为，所以，从而．12．（本小题满分14分）已知函数，对一切正整数，数列定义如下：，且，前项和为.（1）求函数的单调区间，并求值域；（2）证明；（3）对一切正整数，证明：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2).解析：（1）定义域R，，，．函数的单调增区间为，单调减区间为法一：，，当时，，时，为减函数，；当时，；函数的值域为．法二：当时，,当时，,,,函数的值域为法三：判别式法（略）（2）设,设，则，则，.当时，恒成立．当且仅当时，令，当且仅当时，当时，由（１）,当时，无解时，，当时，在无解．综上，除外，方程无解，．（3）eq\o\ac(○,1)显然,又,，，所以，若，则矛盾.所以eq\o\ac(○,2)法一：法二：，13．（本小题满分16分）设函数f(x)＝(x+1)lnx－a(x－1)在x＝e处的切线与y轴相交于点(0，2－e)．（1）求a的值；（2）函数f(x)能否在x＝1处取得极值？若能取得，求此极值；若不能，请说明理由．（3）当1<x<2时，试比较EQ\F(2,x－1)与大小．解析：（1）＝lnx+EQ\F(1,x)+1－a依题设得EQ\F(f

(e)－(2－e),e－0)＝(e)，即e+1－a(e－1)－(2－e)＝e，解得a＝2．（2）不能．因为＝lnx+EQ\F(1,x)－1，记g(x)＝lnx+EQ\F(1,x)－1，则g′(x)＝EQ\F(x－1,x2)．①当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，+∞)是增函数，所以g(x)>g(1)＝0，所以>0；②当0<x<1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，1)是减函数，所以g(x)>g(1)＝0，所以>0．由①②得f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以x＝1不是函数f(x)极值点．（3）当1<x<2