初中数学-能将矩形的周长和面积同时加倍吗教学课件设计

《能将矩形的周长和面积同时

加倍吗？》

五四制《数学》九年级第上册综合与实践

设计意图：出示本节基本问题和研究方向，同时让学生在活动中提升兴趣。并为后面研究矩形方法做铺垫。探究实验：

请同学在方格纸中画出一个周长为4的正方形A，再画出周长为8的正方形B。探究活动1:正方形的“倍增”问题问题1：两个正方形的周长和面积有什么关系？探究活动1:正方形的“倍增”问题问题2：你能再画用出正方形C使其面积是正方形A面积的2倍吗？它的周长与A的周长有什么关系？这三个正方形有什么关系？设计意图：

得到周长面积的关系，体会正方形的相似，为后续问题的拓展提供基本经验。探究活动1:正方形的“倍增”问题问题3：是否存在一个正方形，它的周长和面积分别等于已知正方形的周长和面积的2倍？如何证明呢？不存在设计意图：

让学生从特例中得到猜想，并思考从特殊到一般证明的必要性。aa22a4a22a2a如何证明呢？结论：不存在这样的正方形.探究活动1:正方形的“倍增”问题

不存在一个正方形，它的周长和面积分别等于已知正方形的周长和面积的2倍。设计意图：经历用字母表示边长并证明的过程，体会从特殊到一般的方法。aa22a4a22a2a如何证明呢？探究活动1:正方形的“倍增”问题

不存在一个正方形，它的周长和面积分别等于已知正方形的周长和面积的2倍。想一想：我们是怎样研究正方形的倍增问题的？设计意图：总结对正方形的探究方法和步骤，为矩形的探究提供范例。探究活动1:正方形的“倍增”问题延伸思考：想想我们学过的几何图形有哪些？它都像正方形一样周长和面积不能同时倍增吗？圆、正多边形矩形、菱形、平行四边形正方形推广减弱条件设计意图：利用相似对正方形从中得出的结论进行推广，获得发现知识的经历。同时初步感知获得新结论的方法，将确定的结论推广类似的问题中；对否定的结论，可以减弱限制条件探究。探究活动2:矩形的“倍增”问题任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？想一想：类比对正方形的方法，我们该怎样开始研究矩形的问题呢？我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样?设计意图：让学生类比正方形思考矩形的研究方法，体会研究问题的一般步骤。探究活动2:矩形的“倍增”问题解:如果矩形的长和宽分别为2和121？？所求矩形周长为12面积为4.所求矩形是否存在呢？原矩形周长为6面积为2.设计意图：为学生用方程的方法进行研究进行铺垫探究活动2:矩形的“倍增”问题解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.四人小组利用表格合作研究，并把成果在组内交流已知矩形所求矩形所求矩形所求矩形长2宽1周长6面积2124124(1)从周长是12出发,看面积是否是4;如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得

x(6-x)=4.即x2-6x+4=0.因为0，则这个方程有解,所以说明这样的矩形存在.解这个方程得:结论:存在这样的矩形探究活动2:矩形的“倍增”问题(2)从面积是4出发,看周长是否是12.解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,得

x+4/x=6.即x2-6x+4=0.因为0，则这个方程有解,所以说明这样的矩形存在.解这个方程得:探究活动2:矩形的“倍增”问题结论:存在这样的矩形探究活动2:矩形的“倍增”问题（3）已知矩形的长为2，宽为1，则周长为6，面积为2，加倍后的矩形周长为12，面积为4.设加倍后的矩形长为x，宽为y，则：结论:存在这样的矩形探究活动2:矩形的“倍增”问题解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.反思交流：1.三种方法的共同之处---并总结一元二次方程方程是解决存在性问题的常用方法。2.方程需要解出具体的解吗?已知矩形所求矩形所求矩形所求矩形长2宽1周长6面积2124124探究活动2:矩形的“倍增”问题Oxy246642图1

归纳：最终都要转化成一元二次方程求解（4）对于长和宽分别为2和1的矩形，我们已经得到了结论，但是否对所有矩形都成立呢？探究活动3:延伸拓展、提升规律你还能举出一个其他矩形的例子吗？四人小组合作探究1.请小组长任意给定一个矩形的长、宽（数不要太大）2.其他同学验证其周长和面积能否同时倍增3.并轮流把方法和结果在小组内展示探究活动3:延伸拓展、提升规律已知矩形所求矩形长宽周长面积由特殊到一般设计意图：完整经历对一个特殊矩形的研究过程，固化知识与方法。已知矩形所求矩形长m宽n周长2(m+n)面积mn探究活动3:延伸拓展、提升规律任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？如果矩形的长和宽分别为m和n4(m+n)2mn2(m+n)-xX［设计意图］概括总结出此类问题的一般证明方法，弥补实验和归纳的缺陷与不足。把详细的证明过程用多媒体展示，增强学生思考问题的严谨性。由特殊到一般分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得

x[2(m+n)-x]=2mn.即x2-2(m+n)x+2mn=0.因为0，则这个方程有解,所以说明这样的矩形存在.解这个方程得:结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.探究活动3:延伸拓展、提升规律结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.探究活动3：反思质疑、提升认识你还有什么疑问吗？1.开始我们研究过正方形不能倍增，而后面又得出结论任意矩形都存在“倍增”矩形，这个矛盾吗？2.刚才研究特殊矩形的时候，同学们说不需要解方程，只需判断有解就可以，但如果解是负数怎么办？设计意图：

让学生在质疑与反思中提升对问题的认识，同时养成思维习惯.活动4：课堂小结、归纳提升1、知识2、思想方法1.正方形不能倍增2.任意矩形存在倍增矩形1.从特殊到一般2.数形结合3.转化延伸思考，提出问题

1、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍？课后作业，小组为单位并提交研究报告。

2、任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？设计意图：让学生自己提出问题，课题学习延伸到课堂之外.板书设计能将矩形的周长和面积同时加倍吗1.知识2.思想与方法正方形从特殊到一般圆形矩形平形四边形正多边形菱形推广减弱条件教学反思：