几何体内切球与外接球

专题：与球有关的内切与外接问题1结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么?O

用一个截面去截一个球，截面是圆面。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。球面被不过球心的截面截得的圆叫球的小圆。2023/6/17球与正方体结论1：正方体的外接球的球心其体对角线的中点．球的体积和表面积

例2.已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积.AC′o解答：正方体的一条对角线是球的一条直径，所以球的半径为如图1所示，正方体,设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则.中截面设为1球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O例1

甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，

丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()

A.1:2:3 B. C. D.ABCDD1C1B1A1O中截面正方形的对角线等于球的直径。.球内切于正方体的棱ABCDD1C1B1A1O对角面设为1球的内接正方体的对角线等于球直径。球外接于正方体练习：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比

.ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O14例1棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．

B．

C．

D．

长方体与球结论2：长方体的外接球的球心其体对角线的中点．长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径1.已知长方体的长、宽、高分别是、、1，求长方体的外接球的体积。变题：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=3,PB=4,PC=5，求这个球的表面积和体积。沿对角面截得：ACBPO18(2)(2014·银川模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为()A. B.56π

C.14πD.64π(2)选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则得令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32＝14，所以所以S球＝4πR2＝14π.例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()

A.3(10π) B.4π C.3(8π) D.3(7π)球的体积和表面积

例3已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.ABCOMABCOM正棱柱与球结论3：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．[审题视点]

[听课记录]结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．四、公式法

例、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为

。6．(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(

)A.

B．2

C.

D．3正四面体与球途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．练习:一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB

4лCD6л

解法2构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为，选A35【类题试解】如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合,则形成的三棱锥的外接球的表面积为

.【巧妙解法】由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.如图所示,把正四面体放在正方体中,显然,正四面体的外接球就是正方体的外接球.因为正四面体的棱长为1,所以正方体的棱长为,所以外接球直径2R=所以R=,所以外接球的表面积S球=答案:

ABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径解法2：途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．P`A`B`C`三、补形法途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成

长方体或正方体三、补形法变式题、已知球O的面上四点A、B、C、D，

则球O的体积为

。1、三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为

．642、在三棱锥中，,，则三棱锥外接球的表面积

.DACB·●●O●●BDAMR结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．例题:一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB

4лCD6л●●C

解：设四面体为ABCD，为其外接球心。

球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。连结BA·●●O●●BDAMR50[例1]四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为________．A3.结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心例7、三棱锥A-BCD中，BA⊥AD，BC⊥CD，且AB=1，AD=，则此三棱锥外接球的体积为

.例8、沿矩形ABCD的对角线AC折起，形成空间四边形ABCD，使得二面角B-AC-D为120°，若AB=2，BC=1，则此时四面体ABCD的外接球的体积为

.BCAO1ODRR2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，（为长方体的体对角线长）。长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．四面体与球的“接切”问题典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法67因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为。此时，则有解得：这个解法是通过利用两心合一的思路三角形内切圆半径求法例2、已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4，BD=9，CE=5例3、已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C是直角,三边长分别是a,b,c.求⊙O的半径r.

ABC●┗┏┓ODEF┗（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系13求直角三角形内切圆的半径求一般三角形内切圆的半径(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为a,b,c.求内切圆⊙O的半径r.●ABC●O●┗┓ODEF┗（C为三角形周长，r为内切圆半径二、内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。将内切球的球