合情推理与演绎推理课件

合情推理与演绎推理课件第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期日

内容结构

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理一般包括合情推理和演绎推理．在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期日2.1合情推理与演绎推理第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期日本节知识结构推理合情推理（或然性推理）演绎推理（必然性推理）归纳（部分到整体、特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期日2.1.1合情推理第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期日归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程：

3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．偶数＝奇质数＋奇质数6＝3+3，⑴一个偶数（不小于6）总可以表示成两个奇质数之和；⑵没有发现反例。8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1000＝29+971，…第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期日归纳推理的定义:

由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期日例如：金受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀所以，所有的金属受热后都体积膨胀。第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期日例如：磨擦双手（S1）能产生热（P），敲击石头（S2）能产生热（P），锤击铁块（S3）能产生热（P），

磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动；所以，物质运动能产生热。第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期日例:观察下图,可以发现1+3+…+(2n－1)=n2．1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期日归纳推理的一般步骤：⑶检验猜想。⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期日类比推理“火星上是否有生命”第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期日【例2】如图，利用类比推测球的有关性质圆球

圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦

与圆心距离相等的两条弦长相等圆的周长C=圆的面积S=球心与截面圆（不经过球心的截面圆）圆心的连线垂直于截面圆。与球心距离相等的两个截面圆面积相等；与球心距离不等的两个截面圆面积不等；与球心距离较近的截面圆面积较大。球的表面积球的体积第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期日

由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理的定义:简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好的老师」数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期日类比推理的一般步骤：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶检验猜想。第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期日类比推理举例第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期日例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间

中四面体性质的猜想．第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期日直角三角形3个面两两垂直的四面体∠C＝90°3个边的长度a，b，c

2条直角边a，b和1条斜边c∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°4个面的面积S1，S2，S3和S

3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试

给出空间中四面体性质的猜想．第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期日合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理的应用数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期日第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期日1.复习:

前面学习了归纳推理和类比推理这两种合情推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理．第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期日1.所有的金属都能导电,2.一切奇数都不能被2整除,4.全等的三角形面积相等所以铜能够导电.因为铜是金属,所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,3.三角函数都是周期函数,所以tan是周期函数因为tan是三角函数,2.判断下列推理是否是合情推理第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期日从一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法，称为演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期日1.所有的金属都能导电,所以铜能够导电.因为铜是金属,2.三角函数都是周期函数,所以tan是周期函数因为tan是三角函数,大前提小前提结论大前提小前提结论２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断.第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期日2.三段论是演绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情况;(3)结论根据一般原理,对殊情况做出的判断.特M是P，S是M，所以，S是P。☆用集合论的观点看,三段论的依据是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.MSa第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期日1.所有的金属都能导电,所以,铜能够导电.铜是金属,2.个位数字是0或5的正整数必是5的倍数2375的个位数是5所以，2375是5的倍数第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期日例1.已知lg2=m,计算lg0.8解（1）lgan=nlga(a>0)lg8=lg23所以lg8=3lg2（2）lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)lg0.8=lg(8/10)所以，lg0.8=lg8-lg10=3lg2-1大前提小前提结论大前提小前提结论第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期日练习：1.把下列推理恢复成完全的三段论:(1)因为,所以(2)函数的图象是一条直线.第三十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期日练习2.如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证：ED=AF.ABDCEF证:(1)同位角相等,两直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA且DF∥EA,(小前提)所以,DF∥EA.(结论)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)第三十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期日练习3.指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因;(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数;(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.第三十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期日演绎推理错误的主要原因（1）大前提不成立；（2）小前提不符合大前提的条件第四十页，共四十二页，编辑于20