解析几何100题经典大题汇编

解析几何解答题100题精选

【山东省滕州二中2012届高三上学期期中理】22:(本小题满分14分)如图，F为双曲线

22

C：三X——v=1(4>0/>0)的右焦点，尸为双曲线C在第一象限内的一点，加为左准线上

ab

一点，。为坐标原点，MP=OF,PF^AOF.

(I)推导双曲线。的离心率e与％的关系式；

(H)当4=1忖，经过点(1,0)且斜率为一。的

直线交双曲线于48两点，交y轴于点。，且

为=(百—2)丽，求双曲线的方程.

【答案】22:解：(I):加=而，.•.OFPM为平行四边形

设/是双曲.线的右准线，且与交于N点，［5^=c,

•/阿=e|丽,PF|=4网，网=PM,

：.^OF^=ePN=e(|PA/|-|wj).

,2

即/Lc=e(c—一e2-Ae-2=0.............6分

C

(II)当4=1时,得e=29:.c=2a,b=J5a

x2y2

所以可设双曲线的方程是J=1,-8分

a23a2

设直线Z8的方程是y=-a(x-l),与双曲线方程联立

得：(3-/优+2a2x-4a2=0.

由△=4。4+16/(3-42)〉。得0<。<2.

设/(%”必),8(%2，y2),则》1+X2=3^—,货X2=—.①

a-3。~一3

由已知，£>(0,a),因为方「=(、行—2)西，

所以可得%=(若-2〃2.②.......1。分

由①②得(V3—1区=,(V3-2)x1=-^―,

67-3i7-3

消去得/=2,符合△>(),

x2y2

所以双曲线的方程是^^--乙=1............14分

26

【山东济南市2012界高三下学期二月月考理】已知椭圆C的中心为坐标原点0,焦点在y

轴上，离心率e=椭圆上的点到焦点的最短距离为1-J,直线/与y轴交于点户(0,

22

m),与椭圆。交于相异两点4B,且AP=3PB.

0(1)求椭圆方程；

(2)求加的取值范围.

【答案】21.解：⑴设G8%=]⑸核。)，设c>。，由条件知c

a'-。一2'a

2

；.a=—当

3分

故C的方程为：y+~=l4分

2

(2)当直线斜率不存在时:m=±—5分

2

当直线斜率存在时：设/与椭圆C交点为力(小，%)，B(次,y2)

y=kx-\-m

・•・22得(六+2)x(z?7—1)—06分

[2X2+*4/=1

/.△=0(24加)2—4(1+2)(去一1).=4(去一2序+2)>0(*),•,7分

—2km

为十用=否5,7+28分

x}+x2=-2X2

力户=3・・,一生=3在：.<

xyx2=-3xl

—2kmnf—1

2

消去也，得3Oi+及)？+4xi及=0,A3(/I)+4^_|_2=09分

整理得4在2病+2方一42—2=0

时，上式不成立；方时，尸=：22彳,.....io分

444加-1

2—2n)11

好2=775―7>0,-\<m<——或p一<"?W1

4/一122

把^=代入（*）得-1（加<-,或!<ZM<1

：24®-l22

.".-1</«<一■^或，<加<1........11分

22

综上力的取值范围为一1V掰<一』或,<"7<1............12分

22

【山东省济南一中2012届高三上学期期末理】21.(本小题满分12分)已知椭圆E的长轴

的一个端点是抛物线_/=4底:的焦点，离心率是半

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点C(―1,0),斜率为4的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存

在点M,使南•标为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】21.解：(1)根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且

a=V5,又C=ea=xV5=~~~，故b=y/a2—c2

==6故所求方程为弓+卷=1,即x2+3_/=5............3分

3

(2)假设存在点M符合题意，设AB：歹=左(x+1),代入E:/+3y2=5得：

（342+1）n2+642丫+3氏2—5=0............4分

6k23k2-5

设4（国,必）,3（%2则再+x--——,x,x=--——6分

23左2+1123k2+1

6m+14

MA-MB=（左2+l）jqx+（k2-机）（玉+xj+左?+W2=/M2+2--210分

2W33（3公+1）

77

要使上式与K无关，则有6/〃+14=0,,解得加=-§,存在点加(一§,0)满足题意。12分

【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考理】23、(本小题满分12分

已知曲线C上的动点P到点/(2,0)的距离比它到直线x=-l的距离大1.

(I)求曲线。的方程；

77

(II)过点尸(2,0)且倾斜角为二(0<。<5)的直线与曲线C交于/,6两点，线段48的

垂直平分线加交X轴于点P,证明：|呼|-|仪1<052&为定值，并求出此定值.

【答案】23、解：(I)设动点P(xj),动点P到点E(2,0)的距离比它到直线x=-l的

距离

多lo即动点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离

则近-2)2+/=|彳+2]

两边平方(x—2)2+/=(x+2>

化简可得：_/=8x

(LI)如图，作J_/

设6的横坐标分别为吃,Xs

则|E4|=MC|=x“+[

=1FAICOSOf+y+y

=|FA|coscif+4

4

解得|E4|二「二一

1一cosa

同理|F8|=4—|尸5|cosa

4

解得|必|二--------

1+cosa

记加与的交点为E

1144

附H皿闫阳七阳与皿-用京)

_4cosa

sin2a

：.\FP\=^=-^-

coscrsin-a

4

故|尸产H叮I.cos2a=——(l-cos2a)=8

sin-a

【山东省苍山县2012届高三上学期期末检测理】22.(本题满分14分)

如图，斜率为1的直线/过抛物线。：/=2px(p〉0)的焦点F,与抛物线交于两点A,

B«

⑴若|AB|=8,求抛物线Q的方程;

(2)设P是抛物线。上异于A,B的任意一点，直线PA,PB分别交抛物线的准线于M,

N两点，证明M,N两点的纵坐标之积为定值(仅与p有关)。

【答案】22.解：设4区,乃）,8（》2，%）,⑴由条件知直线/：y=工一^..……1分

P2

y=X-----.n

由2消去y,得/0-3Px+匕=0...............2分

y2-2px4

由题意，判别式△=（—32）2-4・4二〉0.（不写，不扣分）

4

由韦达定理，x,+x2=3p,x,x2--..........................................3分

4

由抛物线的定义，||=（七++（乙+g）=32+2=4P.

从而4P=8,2p=4.所求抛物的方程为=4x............................6分

⑵，易得必匕=―/,必+%=2，..........................................7分

设尸（//0）。将％=区,/="代入直线PA的方程y-尤=乂二区（X-/）,

2P2Px}-x0

得尸/:y—汽=-P-（x-x0）..........................................9分[

必+y0

同理直线PB的方程为=—红一（x—x。）.............10分

%+为

将x=-"代入直线PA,HB的方程得

2

22

必"一夕„_y0y2-p~

九，yN~,12分

乂+为y2+汽

【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】22、（满分14分）

22

已知点大，鸟分别为椭圆。：—+4=1（。＞6〉0）的左、右焦点，点尸为椭圆上任意

ab

一点，尸到焦点名的距离的最大值为行+1，且“月鸟的最大面积为1

（1）求椭圆C的方程。

（2）点M的坐标为（；,0）,过点鸟且斜率为左的直线A与椭圆C相交于两点。对

于任意的k是否为定值？若是求出这个定值：若不是说明理由。

222I：J?WMZSXK,

【答案】22.解：⑴由题意可知：a+c=*+1，X2cXb=l,a=b+c*®

：.a=2,b2=l,c2=l

r2

所求椭圆的方程为：y+/=l

5

⑵设直线1的方程为：y=k(x-1)A(xi,y),B(x2,y2),M1,0)

---FV-=1

联立2>消去y得:(1+2/)x2-4k2x+2k2-2=0

y=k(x-l)

4k2

%+x

21+2左2

2k2-2

则\x,x2

—

A>0

——5——5————55

=MB-(X2~—,y2)MA»MB-(xj--)(x2--^)+y[y2

5z、25

=--(%,+x2)+x,x2+—+y,y2

416

7

16

_______7

对任后xe火,有跖1•A/5=---为定值.

16

【山东省青州市2012届高三2月月考理】21.（本小题满分12分）已知点片,用分别为椭圆

22

。：・+彳=1（“〉6〉0）的左、右焦点，点尸为椭圆上.任意一点，P到焦点居的距离的

ab

最大值为血+1,且“片外的最大面积为

（I）求椭圆C的方程。

（II）点”的坐标为（q,0）,过点「2且斜率为左的直线L与椭圆。相交于48两点。对

于任意的keR,南•标是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由。

【答案】21.解：⑴由题意可知：a+c=V2+1,1x2cXb=l,WVa=b2+c2

：.a=2,b2=l,c2=l

2

...所求椭圆的方程为：—+/=1.4分

2

5

(II)设直线1的方程为：y=k(x-1)A(xi,y])，B(X2,y2),M(-0)

2

X2_i

联立<了十,一消去y得:(1+2左2)x2-4k2x+2k2-2^0

y=k(x-l)

4k2

%+x

2\+2k2

则_2/_2

―1+2左2

A>0

南=(占-*必)MB^(x2-^,y2)^(x,-1\x2-1)+yty2

5、25

=-：(Z$+x)+x,x+--+yy

42216l2

7

16

_____7

对任意xeR,有为定值.................12分

16

【山东省青岛市2012届高三期末检测理117.(本小题满分12分)

已知函数)=1依2+2公+1的定义域为R,解关于x的不等式%—。2+。>0.

【答案】17.(本小题满分12分)

解：因为函数歹=yjax2+2ax+\的定义域为R,

所以。好+26+120恒成立(*).......................................2分

当。=0时，120恒成立，满足题意，................................3分

当awO时，为满足(*)必有。〉0且△=4。2-4“40,解得0<。<1,

综上可知：。的取值范围是OWaWl...............................6分

原不等式可化为(x-a)[x-(l-a)]>0

当时，不等式的解为：x<a,或x>l-a....................8分

2

当。时，不等式的解为：x^-..............................9分

22

当!时，不等式的解为：x<\-a,或x>a..................11分

2

综上，当OKa<；时，不等式的解集为：“,<。或%〉1-。｝

当a=g时，不等式的解集为：｛x|x=；｝

当!<a41时，不等式的解集为：｛x|x<l-。或x>a｝..................12分

【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测理】本小题满分12分)

V2X2

设椭圆E：2r+-y=l(a>6〉0)的上焦点是月，过点P(3,4)和片作直线P片交椭

14

圆于A、B两点,已知A(一,—).

33

(1)求椭圆E的方程；

(2)设点C是椭圆E上到直线P耳距离最远的点，求C点的坐标。

14

【答案】解：(1)由A和P(3,4)可求直线班的方程为：y=x+l..........1

分

令x=0,得y=l,即c=l..........2分

椭圆E的焦点为片(0,1)、5(0,-1),由椭圆的定义可知

2a=|4月|+|4爸|=Jd)2+《一+、《)2+｛+1)2=2贬............4分

/•a=V2,Z?=1..........5分

椭圆E的方程为片+》2=1........6分

2

B.设与直线期平行的直线/:y=X+m..............7分

2!.+%2=i

<2一，消去y得3*2+2机工+机2—2=0..........8分

y=x+/n

A=(2m)2—4x3x(w2—2)=0,即m？=3,〃=±V3........9分

要使点C到直线尸耳的距离最远，则直线L要在直线P6的下方，所以加=-6…10分

此时直线/与椭圆E的切点坐标为(^，-孚)，故C((/，-手)为所求。……12分

【山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测理】(本小题满分14分)

已知抛物线夕2=—2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A,

B两点，其中A在第二象限。

(1)求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；

(2)若京=4而，丽=否京，求4—4的值.

【答案】解：⑴山已知F（-5,0）,设A（司,必），则

圆心坐标为（生产,?），圆心到y轴的距离为................2

分

圆的半径为四=」（"一』）=纥生，................4分

22214

以线段FA为直径的圆与y轴相切。................5

分

(3)设P(0,%),B(x2,y2),山后人=4而,由立=4隹，得4>。自>0.

（/+]，乂）=4（一//（）一必），................6分

（一勺》2，一丁2）=几2（再+多%）.7分

/•X]+§■=-4七①

-y_x2=Az（xi+9②

-%=%必③10分

22

y2=_2%,必=_2%.

将③变形为为2=友2%2,必=电2再.11分

将巧=代入②，整理得再=一式12分

代入①得——+1=—.13分

^2几2

即廿4=1•14分

【山东省烟台市2012届高三期末检测理】22.（本不题满分14分）

已知在平面直角坐标系X"中，向量_/=（0,1）,A0FP的面积为2百，且57•而=/,

OM=^-OP+jo

（1）设4（/<4JL求向量而与而的夹角。的取值范围；

（2）设以原点0为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M,且

阿=《/=（百_1）/,当|可取最小值时，求椭圆的方程。

【答案】22.解:（1）由2后=g网网sin&得西.同=力!1,

c入OFFPZsin。八4A/3

又cos0=.——..•.——..=—尸,付tan。=---,.....3分

网网4V3t

因为4<t<46,所以1<tan<Q,

因为所以夹角的勺取值范围是6分

(2)设？(%,%),则丽=(%-30),丽=(c,0).

2

所以OEFP=(x0-c)c=t=(V3-l)c,所以与-JJc,

SWFP=^OF仇|=2△所以％=士生亘........8分

2c

所叫西=旧+为2=Jgc)2+("^>,2底.乎=2跖当

Vic=迪，即c=2时,5?取最小值2碗，此时,无=(2g,±2石),所以

C

OM=1(2。,2扬+(0,1)=(2,3)或

OM^(2A-2V3)+(0,1)=(21),.........12分

椭圆长轴2。=7(2-2)2+(3-0)2+&2+2)2+(3-0)2=&

所以q=4,/=12,

或2。=J(2-2)2+(T_0)2+J(2+2)2+(T_0］=1+历,

所以叫匕姮方;匕姮，

22

2222

故所求椭圆方程为二+匕=1或-L=1.............14分

16129+V17.9+V17

------1------

22

【山东省潍坊市重点中学2012届高三2月月考理】(本小题满分12分

22_______

给定椭圆C：5+4=1(。>6〉0),称圆心在原点O,半径为，桐+尸的圆是椭

ab

圆。的“准圆”。若椭圆C的一个焦点为E(JIo),其短轴上的一个端点到户的距离为JJ.

(1)求椭圆。的方程和其“准圆”方程.

(11)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线IJ使得/,,/2与椭圆c

都只有一个交点，且乙人分别交其“准圆”于点、M,N；

（1）当尸为“准圆”与丁轴正半轴的交点时，求/”，2的方程•

（2）求证：为定值.

【答案】21.解：（I）•••c=J^,a==.•.椭圆方程为=1……2分

准圆方程为V=4。........3分

（II）（1）因为准圆/+丁2=4与y轴正半轴的交点为P（0,2）,

设过点尸（0,2）且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,

y=kx+2

所以由《一,消去y,得（1+3左2）/+12米+9=0.

—+y=1

I3

因为椭圆与y=b+2只有一个公共点，

所以A=144左2一4x90+3左2）=0,解得左=±1。5分

所以方程为V=x+2,y=-x+2.,....................6分

（2）①当/”，2中有一条无斜率时，不妨设4无斜率，

因为4与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=±73,

当（方程为x=V3时，此时4与准圆交于点1）,

此时经过点（或（、回,-1））且与椭圆只有一个公共点的直线是歹=1（或＞=-1）,

即4为y=l（或丁=一1）,显然直线人人垂直；

同理可证人方程为x=一百时，直线A，/2垂直.....................7分

②当/|12都有斜率时，设点尸（》0，为），其中+九2=4.

设经过点尸（x°Jo）与椭圆只有一•个公共点的直线为夕=«X-X。）+为，

y=rx+（K）-tx0）

则《x22消去V，得（1+3/2卜2+6/30-状0）》+3（丁0一笈。）2-3=0.

山△=（）化简整理得：（3—/2）产+2》0%/+1—为2=0.............................8分

2

因为x（）2+为2=4,所以有。一/2）/+2x0y0t+（x0-3）=0.

设//的斜率分别为2,因为/”，2与椭圆只有一个公共点，

2

所以，"2满足上述方程（3-）/2+2x0y0t+（x0-3）=0,

所以％・12=—1,即人“垂直•....................10分

综合①②知：因为/]12经过点为（看,汽），又分别交其准圆于点〃,N,且/”，2垂直，所以

线段W为准圆*2+丁2=4的直径，所以W加口...................12分

【山东省潍坊市三县2012届高三12月联考理】19.如图，椭圆C：1+^=1焦点在x轴

a22

上，左、右顶点分别为A,、A,上顶点为B.抛物线G、C：分别以A、B为焦点，其顶点均为

坐标原点0,G与G相交于直线y=JIx上一点P.

⑴求椭圆C及抛物线G、Cz的方程；

⑵若动直线/与直线0P垂直,且与椭圆C交于不同两点M、N,已知点Q,0),求两•丽

的最小值.

【答案】19.解：(I)由题意，A(a,0),B(0,施)，故抛物线G的方程可设为/=4加,

C2的方程为=4向........1分

y2=4ax

由<x2=4j^y得a=4,P(8,8痣)........3分

y=叵x

22

所以椭圆3二+匕=1,抛物线G：丁2=16%抛物线C2：/=4W....5分

162

(H)由(I)知，直线0P的斜率为盘，所以直线/的斜率为一"

2

V2

设直线/方程为^=—芋x+b

*F

--1----1

由卜62，整理得5x2-8匹次+(8/—16)=0.......6分

V2入

y----x+b

[2

因为动直线/与椭圆C交于不同两点，所以△=128/-20(8/-16)>0

解得一加<6〈后........7分

8b2-16

设M（%],必）、N（%?,歹2），则再+%2=~~-b,X1%2

5

2

_zV2.V2141b.、人2b-8

X分

%歹2=（~1+6）（-x2+b）=-x}x2----—（X,+x2）+b=——8

因为诙=（匹+后,弘）,丽=（々+五,%）

所以QM-QN=（X]+近,%）（》2+行，歹2）=匹X2+拒（X|+工2）+乂为+2

9〃+166—14八

..........................10分

5

因为一所以当6=时，丽•丽取得最小值

甘曰।梏2工9/8、216/81438..

其最小值等于/（一§）+《（一§）—彳=---........12分

【山东省潍坊市三县2012届高三12月联考理】21.一条斜率为1的直线/与离心率e=的椭

2

X2V2

圆C：一+3=1（。＞力＞0）交于p、Q两点，直线/与y轴交于点R,且

ab~

OPOQ=-\PR=3RQ,求直线/和椭圆C的方程；

CXV

【答案】21.・・・e=多、历••丁、拳历才=2氏则椭圆方程为了+方=1,设/方程为：y=x+

m,P〈X\,yi）,0（及,j2）,

22

工+4=1

2b-消去y得3*+4/才+2万—2。2=0,

y=x+/n

故有1乂（方一）（方+炉）＞

A=16/2—43224=8-30

.\362＞JS7（*）

4

小+%=-§勿（1）

2

x\X2=q（nt—6）②

O

又•=—3得小也+»%=-3,

而必必=（小+加）（及+血=国尼+加（汨+尼）+/»,

44

所以2小热+%(为+也)+序=—3=可(/2一斤)—-m+/zz2=-3,.\3m~4b~=—9(3)

oo

又A(0,ni),=3,(—Xi,m—y\)=3(^,也一勿)

从而一E=3X2(4)

由(1)(2)(4)得3序=7/(5)

由(3)(5)解得层=3,勿=土1.适合(*),

・・・所求直线/方程为尸x+i或尸x—1；椭圆。的方程为/工+y々=1.

o0

【山东省阳信一中2012届高三上学期期末理】19.（16分）椭圆C：£+1=1（。>6>0）的

a2b2

左、右焦点分别是耳（-c,0）,与（c,0）,过片斜率为1的直线/与椭圆。相交于4B

两点,且卜闻，.,，忸闾成等差数列.

（1）求证：b=c；

（2）设点尸（0,-1）在线段的垂直平分线上，求椭圆。的方程.

【答案】19.解：（1）由题设，得2网=|/用+防|,

由椭圆定义|48|+|疝4+忸闾=4。,

4

所以，\AB\=—a.........................................................3分

设4（再,必）,8区,无），耳（一c,0），/：x=y—c,代入椭圆C的方程，整理得

（a2+b2）y2-2b2cy-b4=0,（*）....................2分

则=区一%）2+（弘一y2尸=2（弘一为尸=2［（弘+为产一4乃为］

'2b%4/2.,4r22r218'c2

2+22———z-^46]c+a+b1=--——--2a-,

d+/a+b(a2+h2)2L」面+/)2

于是有,”「a,4分

3o2+b2

化简，得a=a,故，b=c..........................................1分

（2）由（1）有6=c,方程（*）可化为3/一2如一/=0............1分

设48中点为“（》0，为），则汽=g（必+为）=：,

又M5,于是x°=汽一。=一日......................................2分

由|曰=|尸同知PM为Z8的中垂线，kPM=-1,

%

2

lllP(O-l),得一1=2^,解得6=3,47=18,....................2分

2b

3

故，椭圆。的方程为二+己=1........................................1分

189

【山东省枣庄市2012届高三上学期期末理】22.（本题满分14分）

已知椭圆c：1•+4=1（。>b>o）的离心率为也，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为

ab2

2五.斜率为的直线/过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平

分线与y轴相交于点M（0,m）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求m的取值范围.

（3）试用m表示AMPQ的面积S,并求面积S的最大值.

【答案】22.解：（1）依题意可得!"+'=£+1'解得。=后,。=1.

[<7-C=V2-1,

从而。2=2,〃=a?一02=1,所求椭圆方程为匕+丫2=1...............4分

2

（2）直线/的方程为歹=丘+1.

y=kx+l,

由I2可得（F+2卜2+2日-1=0.

-+x2=1,

I2

该方程的判别式△=4公+4（2+二）=8+81>0恒成立.

2k]

设P（M,凹）,Q（X2,%）,则x,+x2=万F，再/=--y—•............5分

k+2k+2

可得凹+%=左（玉+》2）+2=金].

—k2]

设线段PQ中点为N,则点N的.坐标为6分

F+2，F+2J

21k

线段PQ的垂直平分线方程为歹二产方--x+—；---

左2+2

令x=0,由题意加=—^—

7分

人2+2

又左。0,所以0＜加＜匕.......................................8分

2

(3)点M(0,m)到直线/:歹=丘+1的距离d=卜"=/」"=,

J1+左2J"左2

\PQ\=J1+左、\x]-X2\=J1+&2.+＜2)2_4中2

J公的。一2"1^1-2717F/+2

\-m仆尸+8

~^2k2+2

由m=——，可得廿=工一2.代入上式，得$依0=)2加(1一一丫,

k+2m

即S=)2加(1―加丫(0<加<；)..................................11分

设f(m)=a(l-朋丫，则/'(能)=(1-m)2Q-4m).

ifl］f'(in)>0o0<m<；,/D<0o；<m<g,

所以/（加）在（o,j