大学物理第三版课后习题答案详解

大学物理习题及解答

习题一

drdrdvdv

1-1IArI与/r有无不同？d，和d/有无不同?d/和dt有无不同?其不同在哪里?试

举例说明.

解：（1）1AH是位移的模，Ar是位矢的模的增量，即=上一。|,

4=1引TH.»

drdrd£

=

（2）心是速度的模,即d/=Hdt.

dr

山只是速度在径向上的分量.

drdr.dr

—=——r+r—

•.•有r=M（式中另叫做单位矢）,ijiijdtdtdt

dr

式中出就是速度径向上的分量，

dr与

...dtdf不同如题i-i图所示.

隹I同=1雪曳

（3）忖八表示加速度的模，即1由1,由是加速度。在切向上的分量.

•••有丫=旷六亍表轨道节线方向单位矢），所以

—dv=—dvT一+Vd——r

dtdtdt

dv

式中dt就是加速度的切向分量.

dr—df

—与—

（山dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）

1-2设质点的运动方程为X=X（Q,y=y（o,在计算质点的速度和加速度时，有人先求

,drd2r

出==旧+丫2,然后根据旷=山，及a=d/而求得结果；又有人先计算速度和加速度

的分量，再合成求得结果，即

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有尸=k+0,

_drdx-dy-

V=一:=—i+—j

山dtd/

222

_drdxvd^-

a--~-=:——IH----J

d/2d/2d/2

drd-r

v=-a=--

d/dr2

drd2rdr

—JEJ-

其二，可能是将由d/误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模，

d2r

而只是速度在径向上的分量，同样，山？也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

d2r

0径-MF丁]

的一部分L''」。或者概括性地说，前二种方法只考虑了位矢尸在径向（即

量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢7及速度日的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3一质点在X0V平面上运动，运动方程为

£

X=37+5,y=2t2+3f-4.

式中/以s计，X,V以1n计.（1）以时间/为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出，=1

s时刻和，=2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算f=0s时刻到/=4s

时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算，=4s时质点的速度；（5）计算,=

0s至*=4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4s时质点

的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成

直角坐标系中的矢量式）.

-1,_

r=（3/+5）/+（-/2+3/-4）；

解：（1）2m

（2）将/=1,/=2代入上式即有

斤=87-0.5；m

5=117+”m

Lv=弓一元=3；+4.5；m

（3）V"=5j-4；,r,=17F+16j

=Ari\-r12/+20；产「_i

V=——=-0

Ar4-04

v=—=37+（/+3）Jms-1

（4）由

v=3/+77m-s-1

则4

v=3f+3*4=37+7]

⑸•••0

-=1?m-s

△t44

dv_

a=—=ljm-s2

(6)dt

这说明该点只有丁方向的加速度，且为恒量。

1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示.当人

以％(m・的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.

解：设人到船之间绳的长度为/，此时绳与水面成e角，由图可知

I2=h2+s2

将上式对时间，求导，得

根据速度的定义，并注意到。§是随/减少的，

d/&s

=-

•_丫绳二一d五z二%'n船3d7/

ds_Idl_I_%

即V°"d/sdt5V°cos。

lv0(/+S2产

或船=7=-S—

将"船再对/求导，即得船的加速度

，d/_/d5

八dv船d/dz„-船、，

v

°=Fdt=-------s-2o=-------s--j-------%

/l\2

(-S+—)%)22

_s_____nvo

-s2-s3

2-2

1-5质点沿％轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6X,。的单位为m-s'x的单位

为m.质点在》=0处，速度为10m-s，试求质点在任何坐标处的速度值.

dvdvdxdv

a=—=--------=v—

解：・.•d/dxdtdx

分离变量.tdp=adx=（2+6x2）dx

—v2=2x+2x3+c

两边积分得2

由题知，x=0时，％T°,.”=50

•v=2-x/x3+x+25m-s-1

1-6已知一质点作直线运动，其加速度为。=4+3/m-s”,开始运动时，x=5m,

求该质点在/=10s时的速度和位置.

dv..

a=—=4+3/

解：：山

分离变量，得du=(4+3/)d/

，32

v=4/+-/+c.

积分，得2

由题知，/=0,%=°,G=0

v=4/+-/2

故2

dx3

v=——=4/+-/2

又因为由2

dx=(4t+—t2)dt

分离变量，2

c213

x=2t-+-z+c2

积分得

由题知/=0,x。=5,...=5

x=2t2+-Z3+5

故2

所以f=10s时

32,1

vl0=4xl0+-xl0=190m-s-

x=2xio2+-X103+5=705m

102

1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为白=2+3/，8式中以弧度计，，以秒

计，求：（1）t=2s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45°

角时，其角位移是多少？

解：

⑴，=2s时,aT=R(3=lxl8x2=36m・s"

222-2

an=R(o=lx(9x2)=1296ms

tan45°=—=1

（2）当加速度方向与半径成45°角时，有4

即二珅亦即（9/）2=18/

22

6=2+3/=2+3x==2.67rad

则解得9于是角位移为9

1L2

----bt

1-8质点沿半径为R的圆周按5=2的规律运动，式中S为质点离圆周上某点的弧

长，心,6都是常量，求：（1"时刻质点的加速度；（2）/为何值时，加速度在数值上等于"

解：⑴dt°

dv

67=—=

rd/

v24)2

a--二

nRR

2

则IR

加速度与半径的夹角为

ci—Rb

(p=arctan—=-------r

an(%-4厂

（2）由题意应有

b2

即

.•.当6时，a=6

1-9半径为R的轮子，以匀速“。沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点8的运动方程为

X=R（初-sinty/）,J=R（1-COS创），式中&=%/R是轮子滚动的角速度，当B与

水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为X轴正方向；（2）

求B点速度和加速度的分量表示式.

解：依题意作出下图，由图可知

、、、、、、、、0、、、、、、、、、

题l-9图

B0

x=匕/一2Rsin—cos—

°22

=v0/一Rsin8

=R((ot-Rsincot)

y=27?sin—sin—

22

=R(l_cos0)=R(1-coscot)

(2)

dx„、

vx=—=-COS69/)

<

v=-=7?sincot)

」vd/

o2dv

ax=R(vsincot=--

“d/

2dv

a=RCDCOSO/=--

'vdz

l-io以初速度％=2om-s-i抛出.小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角,

求：(D球轨道最高点的曲率半径2；(2)落地处的曲率半径火2.

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.

题l-lO图

(I)在最高点，

V)=vx=v0cos60°

a„\=g=10ms-2

P\

u；(20xcos600)2

w-

=10m

⑵在落地点,

V=V=-I

2020m.S

=gxcos60°

而

¥(20)2

Pl--oVIll

10xcos60°

l-ll飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为万=0.2rad-S<,求，=2s时边缘

上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.

解：当/=2s时，69==0.2X2=0.4rad-s-1

则v=Reo=0.4x0.4=0.16m•

222

an=Reo—0.4x(0.4)=0.064m,s-

2

aT=Rp=0.4x0.2=0.08m.s-

a=小a；+片=7(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s-2

1-12如题1-12图，物体Z以相对8的速度丫=J拓沿斜面滑动，V为纵坐标，开始时

幺在斜面顶端高为〃处，8物体以“匀速向右运动，求“物滑到地面时的速度.

解：当滑至斜面底时，y=h,则%二J防，A物运动过程中又受到B的牵连运动影响,

因此，力对地的速度为

1-13一船以速率4=30km・hi沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率匕=40km・h’

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？

解：(1)大船看小艇，则有%1=弓一片，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)

0=arctan—=arctan—=36.87°

方向北偏西匕4

(2)小船看大船，则有弓2=/1-5，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法，得

vi2=50kmh-1

方向南偏东36.87°

1-14当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2m的甲板上，篷高4m但

当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3m,如雨滴的速度大小为8m•

求轮船的速率.

解：依题意作出矢量图如题1T4所示.

。船地

题1-14图

V南=U雨船+U船

由图中比例关系可知

U船=丫雨=8m-s”

习题二

2-1一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为g的物体，另一边穿在质量为机2的圆

柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳

子以匀加速度"下滑，求加I机2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦

力（绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计）.

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为4,其对于加2则为牵连加速度，又知加2

对绳子的相对加速度为"，故加2对地加速度，由图（b）可知，为

又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力丁，由牛顿定律，

有

mlg-T=m]a]②

T-m2g=m2a2③

联立①、②、③式，得

一/2）g+加24

a\二■

mx+m2

（,

m1-m2）g-mxa

mx+m2

于=T=町-2（2g4'）

mx+m2

讨论（1）若"=°,则%=%表示柱体与绳之间无相对滑动.

⑵若"=2g,则T=/=°,表示柱体与绳之间无任何作用力，此时如，加2均作自由

落体运动.

2-2•个质量为。的质点，在光滑的固定斜面（倾角为上以初速度「运动，"。的方向

与斜面底边的水平线平行，如图所示，求这质点的运动轨道.

解：物体置于斜面上受到重力机g,斜面支持力".建立坐标：取"。方向为X轴，平行斜

面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.

题2-2图

x=vf

X方向：工=0o①

F=mgsina-ma②

Y方向：vv

/=0时歹=0匕,二°

1・2

y--gsmat

由①、②式消去/,得

尸;gsinai

2%

2-3质量为16kg的质点在％作平面内运动，受一恒力作用，力的分量为人=6N,fy=

-7N,当/=0时，x=y=Q,匕=-2m・s'，%=0.求

当，=2s时质点的(1)位矢；(2)速度.

A632,

aY=—=—=-m-s

解：“m168

fy~7-2

a=—=——m-s

,vm16

(1)

A35i

+14龙=-2+/2=-彳m-s-

A-77

L=匕⑷+1%成=——x2=——m-s

>>°>168

于是质点在2s时的速度

5-7-।

v=——i—jm-s

48

(2)

13-1-7一

=(-2x2+-x-x4)/+1(—)x4/

28216

137r

=-----1T—/m

48

2-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力人心为常数)作用，.=0时质点的

小

速度为%,证明(1)/时刻的速度为丫=丫胆；(2)由0至“的时间内经过的距离为

小吗(竺)’,

x=(k)[1-em].(3)停止运动前经过的距离为k；(4)证明当‘=叼化时速

度减至%的e,式中卬为质点的质量.

-kvdv

a=-----=—

答：(1)：mdt

分离变量，得

dv-kdt

Vm

「业=[-kdt

即J,oy«bm

In—=IneM

%

k

mt

v=vQe

x=jvd/=J7’山=^^(1-e

⑵k

(3)质点停止运动时速度为零，即1—8,

£=[=第1

故有

m

⑷当廿左时，其速度为

-立典_1Vn

w

v=voe*=voe=—

e

j_

即速度减至%的e.

2-5升降机内有两物体，质量分别为g，加2,且〃?2=2加i.用细绳连接，跨过滑轮，绳子

2_

不可伸长，滑轮质量及切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速。=5g上升时，求：⑴

%和加2相对升降机的加速度.(2)在地面上观察叼，僧2的加速度各为多少？

解：分别以"优加2为研究对象，其受力图如图(b)所示.

⑴设%相对滑轮(即升降机)的加速度为"，则唐2对地加速度a2=a'-a.因绳不可伸长,

故叫对滑轮的加速度亦为"，又叫在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以叫在水平

方向对地加速度亦为。'，由牛顿定律，有

-T-m2("-d)

T=m{a

1

题2-5图

联立，解得'=g方向向下

(2)加2对地加速度为

=a,-a_——g

2方向向上

叫在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度,即"绝="相+0牵

.ax=J储2+《2=Jg2+.=与g

0-arctan—=arctan—=26.6°

。2,左偏上.

2-6-质量为机的质点以与地的仰角6=30°的初速"。从地面抛出，若忽略空气阻力，求质

点落地时相对抛射时的动量的增量.

在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,

而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为3。°,则动量的增量为

Ap=mv-mv0

由矢量图知，动量增量大小为何%I,方向竖直向下.

2-7一质量为团的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞.并在抛出

1s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过

程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒？

解：由题知，小球落地时间为°6s.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大

小为h=g/=0-5g,小球上跳速度的大小亦为匕=0-5g.设向上为y轴正向，则动量的

增量

酝;加丹一加^方向竖直向上，

大小|绿|=mv2一（一加%）=mg

碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用.另外，碰

撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒.

2-8作用在质量为101^的物体上的力为/=（1°+2。1此式中，的单位是s,（1）求4s后,

这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的抻量.（2）为了使这力的冲量为200N・s,

该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度一6/m-s'的物体,

回答这两个问题.

解：（1）若物体原来静止，则

瓯=伊/=f（10+2。2=56kg-m-s看沿％轴正向，

A-、P\c於一1；

Avj=——L=5.6m-si

m

/j=酝=56kg•m•s-7

若物体原来具有一6m-sT初速，则

p0=-mvQ,p=mJ/。+f—d/）=-wv0+[Fdt

》m小于是

^2=P-P0=［户由=酝।

同理，△%=AG,72=7i

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大,

那么物体获得的动量的增量（亦即冲量）就一定相同，这就是动量定理.

（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即

/=［（10+2/）d/=10/+/

亦即t2+10/-200=0

解得1=10s,“=20s舍去）

2-9一质量为加的质点在工帆平面上运动，5位置矢量岁

r-acQSCOti+6sin的

71

t-----

求质点的动量及，=0到2（y时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量.

解：质点的动量为

p=mv=mcD（-asma）ti+bcoscotj）

71

t-----

将1=0和2。分别代入上式，得

px=mcobjp2=-mcoai

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

I=/^p=p2-pi=-mco（ai+bj}

2-10一颗子弹由枪口射出时速率为丫。111。“，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为

F=（a-bt）N（a,b为常数）,其中，以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,

试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质量.

解：（1）由题意，子弹到枪口时，有

E=("6/)=0,得b

（2）子弹所受的冲量

I-出=at-^bt2

t_a

将一7代入，得

2b

（3）由动量定理可求得子弹的质量

Ia2

m=—=------

%2他

2-11-炮弹质量为机，以速率v飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药

使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的左倍，如两者仍沿原方向飞行，试证

其速率分别为

证明：设一块为叫则另一块为相2,

mx-km2及叫+吗=m

kmm

mxm?

于是得k+1k+1①

又设叫的速度为%,机2的速度为匕，则有

T12----mv2

2②

mv=加产］+m2v2③

联立①、③解得

v2=(k+l)v-kv{④

将④代入②，并整理得

2T.、2

嬴=(…

于是有

将其代入④式，有

又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取

证毕.

2-12设心=7,-6/N.（1）当一质点从原点运动到〃=-3,+4/+16km时，求户所作

的功.（2）如果质点到，一处时需0.6s,试求平均功率.（3）如果质点的质量为1kg,试求动能

的变化.

解：（1）由题知，%为恒力，

,=F-r=（7/-6；）-（-3/+4；+16^）

=-21-24=-45J

（2）△/0.6

（3）由动能定理，3=/=-45J

2-13以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在

铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm,问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打

击铁钉时的速度相同.

解：以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，则铁钉所受阻力为

题2-13图

f=-ky

第一锤外力的功为4

4=]/3=卜处=105=4①

式中/'是铁锤作用于钉上的力，/是木板作用于钉上的力，在山-»°时，『=-于.

设第二锤外力的功为42,则同理，有

4=砂;--

②

由题意，有

2

A2=A[=△(-^wv)=y

③

k_k

即2~2

=五

所以，y2

于是钉子第二次能进入的深度为

△y=%-必=V2-1=0.414cm

2-14设已知一质点(质量为机)在其保守力场中位矢为厂点的势能为Ep(r)=《/'',试求

质点所受保守力的大小和方向.

L、d£(r)nk

F(r)=———=-----

解：dr产

方向与位矢尸的方向相反，即指向力心.

2-15一根劲度系数为尢的轻弹簧Z的下端，挂•根劲度系数为％2的轻弹簧8,8的下端

一重物C,C的质量为加，如题2-15图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性

势

能之比.

解：弹簧4、8及重物°受力如题2T5图所示平衡时，有

题2-15图

FA=FB=Mg

又FA=

FB=k2k2

所以静止时两弹簧伸长量之比为

%=七

AX2h

弹性势能之比为

Ep二5k.二.

EJ-23

2-16(1)试计算月球和地球对机物体的引力相抵消的一点。，距月球表面的距离是多少?地

球质量598X10"kg,地球中心到月球中心的距离3.84X101,月球质量7.35X10"g,

月球半径1.74X10m.(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，

那么它在P点的势能为多少？

解：(1)设在距月球中心为厂处"月引=尊引，由万有引力定律，有

加“地

G背二G

依-4

经整理，得

R

,7.35x1()22

=55.98x1()24+,7.35x1()22x348x砂

=38.32xlO6m

则P点处至月球表面的距离为

h=r—r月=(38.32-1.74)xlO6=3.66xl07m

(2)质量为1kg的物体在。点的引力势能为

M也

EP=-G—^--G

r(…

-6.67x10"X7'35X10^-6.67X10-"X5.98xl024

3.83xl07(38.4—3.83)x107

：1.28x106j

2-17由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为叼和加2

的滑块组成如题2T7图所示装置，弹簧的劲度系数为左，自然长度等于水平距离8C,唐2

与桌面间的摩擦系数为〃，最初叼静止于/点，AB=BC=h,绳已拉直，现令滑块落

下外,求它下落到B处时的速率.

解：取8点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有

22

-/jm2gh=—(W1+m2)v-[migh+—A：(A/)]

式中X为弹簧在/点时比原长的伸长量，则

M=AC-BC=(41-Y)h

联立上述两式，得

[2（加]—〃加2）gh+A：/??（后一

ymy+m2

2-18如题2-18图所示，一物体质量为2kg,以初速度%=3m・s'从斜面力点处下滑，它

与斜面的摩擦力为8N,到达8点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系

数和物体最后能回到的高度.

解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原

长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

mv

-frs=~~+机gssin37。J

2

—mv+mgssm31°-frs

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有关数据，解得

左=1390N-m」

再次运用功能原理，求木块弹回的高度〃'

2

-frs'=mgs'sin370-----kx

代入有关数据，得

则木块弹回高度

"=s'sin370=0.84m

题2-19图

2-19质量为"的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2T9图所示.质量为加的

小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从

静止开始，求小木块脱离大木块时的速度.

解：能从河上下滑的过程中，机械能守恒，以优，加，地球为系统，以最低点为重力势

能零点，则有

1,1,

=-mv2+-MV2

22

又下滑过程，动量守恒，以加，加为系统则在机脱离又瞬间，水平方向有

mv-MV=0

联立，以上两式，得

2MgR

]l(m+M)

2-20一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向

互相垂直.

证：两小球碰撞过程中，机械能守恒，有

即①

题2-20图(a)题2-20图(b)

又碰撞过程中，动量守恒,即有

mv0=mvx+mv2

亦即/=G+%

由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以“。为斜边,

故知G与q是互相垂直的.

2-21一质量为团的质点位于(西，乂)处，速度为质点受到一个沿％负方向

的力/的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩.

解：由题知，质点的位矢为

r=xj+yj

作用在质点上的力为

7--/F

所以，质点对原点的角动量为

Zo=rxmv

=+yj)xm(vJ+vyj)

=(Xjwvv-yxmvx}k

作用在质点上的力的力矩为

而o=尸x『=(xj+必力x(-#)=y#

2-22哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为八=8.75X10%时的速

率是％=5.46X10'm•s',它离太阳最远时的速率是匕=9.08X10、•s'这时它离太

阳的距离々多少？(太阳位于椭圆的一个焦点。)

解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所