2023年数学定理的教案

2023年数学定理的教案数学定理的教案1

教学目标

学问与技能：

了解勾股定理的一些证明方法，会简洁应用勾股定理解决问题

过程与方法：

在充分视察、归纳、猜想的基础上，探究勾股定理，在探究的过程中，发展合情推理，体会数形结合、从特别到一般等数学思想。

情感看法价值观：

通过对我国古代探讨勾股定理的成就介绍，培育学生的民族骄傲感。

教学过程

1、创设情境

问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。2023年在北京召开了第24届国际数学家大会。下图就是大会会徽的图案。你见过这个图案吗？它由哪些我们学习过的基本图形组成？这个图案有什么特殊的`含义？

师生活动：老师引导学生找寻图形中的直角三角形和正方形等，并引导学生发觉直角三角形的全等关系，指出通过今日的学习，就能理解会徽图案的含义。

设计意图：本节课是本章的起始课，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题。

2、探究勾股定理

观看洋葱数学中关于勾股定理引入的视频，让我们一起走进奇妙的数学世界

问题2相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在挚友家作客时，发觉挚友家用转铺成的地面图案反应了直角三角形三边的某种数量关系，请你视察下图，你从中发觉了什么数量关系？

师生活动：学生先独立视察思索一分钟后，小组沟通合作分析图形中两个蓝色正方形与橙色正方形有哪些数量关系，老师参加学生的探讨

追问：由这三个正方形的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间又有怎么样的关系？

师生活动：老师引导学生发觉正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：从最特别的等腰直角三角形入手，便于学生视察得到结论

问题3：数学探讨遵循从特别到一般的数学思想，既然我们得到了等腰直角三角形三边的这种特别的数量关系，那我们不妨大胆揣测在一般的直角三角形（在下图的方格纸中，每个方格的面积是1）中，这种特别的数量关系也同样成立。

师生活动：学生独立思索后小组探讨，难点是如何证明求以斜边为边长的正方形的面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法，求出其面积。

数学定理的教案2

中学数学正弦定理教案，一起拉看看吧。

本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧学问，使学生驾驭新的有用的学问，体会联系、发展等辩证观点，而且能培育学生的应用意识和实践操作实力，以及提出问题、解决问题等探讨性学习的实力．

本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的运用与近似计算，这是一种基本运算实力，学生基本上已经驾驭了．若在解题中出现了错误，则应刚好订正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．

本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．

三维目标

1．通过对随意三角形边长和角度关系的探究，驾驭正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

2．通过正弦定理的探究学习，培育学生探究数学规律的思维实力，培育学生用数学的方法去解决实际问题的实力．通过学生的主动参加和亲身实践，并胜利解决实际问题，激发学生对数学学习的热忱，培育学生独立思索和勇于探究的创新精神．

重点难点

教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．

教学难点：正弦定理的探究和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，推断解的个数．

课时支配

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(特例引入)老师可先通过直角三角形的特别性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而绽开正弦定理的探究．

思路2.(情境导入)如图，某农场为了刚好发觉火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A的正东方向10千米处．现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC与BC的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们须要学习一些解三角形的必要学问，今日要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此绽开新课的探究学习．

推动新课

新知探究

提出问题

1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？

2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？

3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍旧成立？

4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？

5什么叫做解三角形？

6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？

活动：老师引导学生阅读本章引言，点出本章数学学问的某些重要的实际背景及其实际须要，使学生初步相识到学习解三角形学问的必要性．如老师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不行到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的.海拔高度？这些实际问题的解决须要我们进一步学习随意三角形中边与角关系的有关学问．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．

关于随意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，老师引导学生探究其数量关系．先视察特别的直角三角形．如下图，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，依据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，则asinA＝bsinB＝csinC＝c.从而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.

那么对于随意的三角形，以上关系式是否仍旧成立呢？老师引导学生画图探讨分析．

如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，依据随意角的三角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.从而asinA＝bsinB＝csinC.

(当△ABC是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的状况，由学生自己完成)

通过上面的探讨和探究，我们知道在随意三角形中，上述等式都成立．老师点出这就是今日要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

asinA＝bsinB＝csinC

上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种状况进行证明．老师提示学生要驾驭这种由特别到一般的分类证明思想，同时点拨学生视察正弦定理的特征．它指出了随意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它特别好地描述了随意三角形中边与角的一种数量关系；描述了随意三角形中大边对大角的一种精确的数量关系．因为假如∠A＜∠B，由三角形性质，得a＜b.当∠A、∠B都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA＜sinB.当∠A是锐角，∠B是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB＞sin(π－A)＝sinA，所以仍有sinA＜sinB.

正弦定理的证明方法许多，除了上述的证明方法以外，老师激励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．

探讨结果：

(1)～(4)略．

(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．

(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的随意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的随意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需依据实际状况分类探讨．

应用示例

例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9cm，解此三角形．

活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.

此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，干脆应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可．

解：依据三角形内角和定理，得

∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.

依据正弦定理，得

b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；

c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．

点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易驾驭，假如已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．

数学定理的教案3

教学目标：

一学问技能

1.理解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程;

2.驾驭勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形;

二数学思索

1.通过勾股定理的逆定理的探究，经验学问的发生发展与形成的过程;

2.通过三角形三边的数量关系来推断三角形的形态，体验数形结合法的应用.

三解决问题

通过勾股定理的逆定理的证明及其应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题.

四情感看法

1.通过三角形三边的数量关系来推断三角形的.形态，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一关系;

2.在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人沟通合作的意识和探究精神.

教学重难点：

一重点：勾股定理的逆定理及其应用.

二难点：勾股定理的逆定理的证明.

教学方法

启发引导分组探讨合作沟通等。

教学媒体

多媒体课件演示。

教学过程：

一复习孕新，引入课题

问题：

(1)勾股定理的内容是什么?

(2)求以线段ab为直角边的直角三角形的斜边c的长：

①a=3，b=4

②a=2.5，b=6

③a=4，b=7.5

(3)分别以上述abc为边的三角形的形态会是什么样的呢?

二动手实践，检验推想

1.把打算好的一根打了13个等距离结的绳子，按3个结4个结5个结的长度为边摆放成一个三角形，请视察并说出此三角形的形态?

学生分组活动，动手操作，并在组内进行沟通探讨的基础上，作出实践性预料.

老师深化小组参加活动，并帮助指导部分学生完成任务，得出勾股定理的逆命题.在此基础上，介绍：古埃及和我国古代大禹治水都是用这种方法来确定直角的.

2.分别以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边画出两个三角形，请视察并说出此三角形的形态?

3.结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形态之间有怎样的关系吗?

三探究归纳，证明猜想

问题

1.三边长度分别为3cm4cm5cm的三角形与以3cm4cm为直角边的直角三角形之间有什么关系?你是怎样得到的?

2.你能证明以2.5cm6cm6.5cm和4cm7.5cm8.5cm为三边长的三角形是直角三角形吗?

3.如图18.2-2，若△ABC的三边长

满意

，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程.

老师提出问题，并适时诱导，指导学生完成问题3的证明.之后，归纳得出勾股定理的逆定理.

四尝试运用，熟识定理

问题

1例1：推断由线段

组成的三角形是不是直角三角形：

(1)

(2)

2三角形的两边长分别为3和4，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是多少?

老师巡察，了解学生对学问的驾驭状况.

特殊关注学生在练习中反映出的问题，有针对性地讲解，学生能否娴熟地应用勾股定理的逆定理去分析和解决问题

五类比仿照，巩固新知

1.练习：练习题13.

2.思索：习题18.2第5题.

部分学生演板，剩余学生在课堂练习本上独立完成.

小结梳理，内化新知

六1.小结：老师引导学生回忆本节课所学的学问.

2.作业：

(1)必做题：习题18.2第1题(2)(4)和第3题;

(2)选做题：习题18.2第46题.

数学定理的教案4

课题：

勾股定理

课型：

新授课

课时支配：

1课时

教学目的：

一、学问与技能目标理解和驾驭勾股定理的内容，能够敏捷运用勾股定理进行计算，并解决一些简洁的实际问题。

二、过程与方法目标通过视察分析，大胆猜想，并探究勾股定理，培育学生动手操作、合作沟通、逻辑推理的实力。

三、情感、看法与价值观目标了解中国古代的数学成就，激发学生爱国热忱；学生通过自己的努力探究出结论获得成就感，培育探究热忱和钻研精神；同时体验数学的美感，从而了解数学，喜爱几何。

教学重点：

引导学生经验探究及验证勾股定理的过程，并能运用勾股定理解决一些简洁的实际问题

教学难点：

用面积法方法证明勾股定理

课前打算：

多媒体ppt，相关图片

教学过程：

（一）情境导入

1、多媒体课件放映图片观赏：勾股定理数形图，1955年希腊发行的一枚纪念邮票，漂亮的勾股树，20xx年国际数学大会会标等。通过图形观赏，感受数学之美，感受勾股定理的文化价值。

2、多媒体课件演示flash小动画片：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，假如梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？已知始终角三角形的两边，如何求第三边？学习了今日的这节课后，同学们就会有方法解决了。

（二）学习新课问题一是等腰直角三角形的情形（通过多媒体给出图形），推断外围三个正方形面积有何关系？相传2500年前，毕达哥拉斯（古希腊闻名的哲学家、数学家、天文学家）有一次在挚友家做客时，发觉挚友家里用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。你能视察图中的地面，看看能发觉什么？对于等腰直角三角形有这样的.性质：两直边的平方和等于斜边的平方那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？请大家画一个随意的直角三角形，量一量，算一算。问题二是一般直角三角形的情形，推断这时外围三个正方形的面积是否也存在这种关系？通过这个视察和验算这个直角三角形外围的三个正方形面积之间的关系，同学们发觉了什么规律吗？通过前面对两个问题的验证，可以得到勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

（三）巩固练习1、假如一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？2、解决课程起先时提出的情境问题。

（四）小结

1、背景学问介绍①《周髀算径》中，西周的商高在公元一千多年前发觉了“勾三股四弦五”这一规律；②康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法，积求勾股法是他的独创。

2、通过这节课的学习，你会写方程了吗？你有什么收获和体会？

（五）作业练习18.1中的1、2、3题。板书设计：勾股定理：假如直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。

数学定理的教案5

复习第一步：：

勾股定理的有关计算

例1：（20xx年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．

析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：172-152=64，故正方形面积为6

勾股定理解实际问题

例2．（20xx年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平常的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．

析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF

的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，依据勾股定理，

得DE=h=220-150=70(cm)

所以彩旗下垂时的最低处离地面的'最小高度h为70cm

与绽开图有关的计算

例3、（20xx年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．

析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它绽开成平面图形，如图是正方体绽开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有变更，所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度．

在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1

所以由勾股定理得AC’=．

∴从顶点A到顶点C’的最短距离为

复习其次步：

1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避开这些错误的出现，在解题中，同学们肯定要找准直角边和斜边，同时要弄清晰解题中的三角形是否为直角三角形．

例4：在Rt△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c．

错解：因为a=6，b=10，依据勾股定理得c=剖析：上面解法，由于审题不细致，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c当成了斜边．

正解：因为a=6，b=10，依据勾股定理得，c=温馨提示：运用勾股定理时，肯定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2

例5：已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

错解：因为Rt△ABC的两边长分别为3和4，依据勾股定理得:第三边长的平方是32+42=25

剖析：此题并没有告知我们已知的边长4肯定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类探讨．

正解：当4为直角边时，依据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：42-32=7，因此第三边长的平方为：25或7．

温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类探讨．

例6：已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，bc，且c为整数，则c=．

错解：由勾股定理得c=剖析：此题并没有告知你⊿ABC为直角三角形

数学定理的教案6

一、全章要点

1、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理假如三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明常见方法如下：

方法一：，，化简可证.

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

大正方形面积为所以

方法三：，，化简得证

4、勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如;;;;8,15,17;9,40,41等

二、经典训练

(一)选择题：

1.下列说法正确的是()

A.若a、b、c是△ABC的三边，则a2+b2=c2;

B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2;

C.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2+b2=c2;

D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2+b2=c2.

2.△ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是()

A.B.C.D.

3.直角三角形中始终角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为()

A.121B.120C.90D.不能确定

4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为()

A.42B.32C.42或32D.37或33

(二)填空题：

5.斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是.

6.假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、、之间应满意，其中边是直角所对的边;假如一个三角形的三边、、满意，那么这个三角形是三角形，其中边是边，边所对的角是.

7.一个三角形三边之比是，则按角分类它是三角形.

8.若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的.平方是.

9.如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是.

10.一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是.

三、综合发展:

11.如图，一个高、宽的大门，须要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长.

12.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少?

13.如图，小李打算建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

14.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立即以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?

15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点爬到点，须要爬行的最短距离是多少?

16.中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗?

数学定理的教案7

向量证明正弦定理

表述：设三面角∠P—ABC的三个面角∠BPC，∠CPA，∠APB所对的二面角依次为∠PA，∠PB，∠PC，则Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

书目

1证明2全向量证明

证明

过A做OA⊥平面BPC于O。过O分别做OM⊥BP于M与ON⊥PC于N。连结AM、AN。明显，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM；∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。则Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/（AM×AN）=Sin∠PC/Sin∠APB。同理可证Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得证三面角正弦定理。

全向量证明

如图1，△ABC为锐角三角形，过点A作单位向量j垂直于向量AC，则j与向量AB的夹角为90°—A，j与向量CB的夹角为90°—C

由图1，AC+CB=AB（向量符号打不出）

在向量等式两边同乘向量j，得·

j·AC+CB=j·AB

∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos（90°—C）

=│j││AB│cos（90°—A）

∴asinC=csinA

∴a/sinA=c/sinC

同理，过点C作与向量CB垂直的单位向量j，可得

c/sinC=b/sinB

∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

2步骤1

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB，BC，CA为向量a，b，c

∴a+b+c=0

则i（a+b+c）

=i·a+i·b+i·c

=a·cos（180—（C—90））+b·0+c·cos（90—A）

=—asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2、

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3、

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

随意三角形ABC，作ABC的外接圆O、

作直径BD交⊙O于D、连接DA、

因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C、

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式。

3用向量叉乘表示面积则s=CB叉乘CA=AC叉乘AB

=>absinC=bcsinA（这部可以干脆出来哈哈，不过为了符合向量的做法）

=>a/sinA=c/sinC

20xx—7—1817：16jinren92|三级

记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB，BC，接着得到正弦定理其他步骤2、在锐角△ABC中，证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：随意三角形ABC，

4过三角形ABC的顶点A作BC边上的高，垂足为D、（1）当D落在边BC上时，向量AB与向量AD的夹角为90°—B，向量AC与向量AD的夹角为90°—C，由于向量AB、向量AC在向量AD方向上的射影相等，有数量积的`几何意义可知向量AB—向量AD=向量AC—向量AD即向量AB的肯定值—向量AD的肯定值—COS（90°—B）=向量的AC肯定值—向量AD的肯定值—cos（90°—C）所以csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC（2）当D落在BC的延长线上时，同样可以证得

数学定理的教案8

一、教学目标

理解并驾驭勾股定理的逆定理，会应用定理判定直角三角形;理解勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系;理解原命题和逆命题的概念，知道二者的关系及二者真假性的关系。

经验得出猜想、推理证明的过程，提升自主探究、分析问题、解决问题的实力。

体会事物之间的联系，感受几何的魅力。

二、教学重难点

勾股定理的逆定理及其证明。

勾股定理的逆定理的证明。

三、教学过程

(一)导入新课

复习勾股定理，分清其题设和结论。

提问学生画直角三角形的方法(可用尺类工具)，然后要求不能用绳子以外的工具。

出示古埃及人利用等长的3、4、5个绳结间距画直角三角形的`方法，以其中蕴含何道理为切入点引出课题。

(二)讲解新知

请学生思索3，4，5之间的关系，结合勾股定理的学习阅历明确

出示数据2.5cm，6cm，6.5cm，请学生计算验证数据满意上述平方和关系，并画出相应边长的三角形检验是否为直角三角形。

学生活动：同桌两人一组，将三边换成其他满意上述平方和关系的数据，如4cm，7.5cm，8.5cm，画出相应边长的三角形检验是否为直角三角形。

数学定理的教案9

一、学生学问状况分析

学生技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟识三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生驾驭了平行线的性质及严格的证明等学问的基础上绽开的，因此，学生具有良好的基础。

活动阅历基础：本节课主要实行的活动形式是学生特别熟识的自主探究与合作沟通的学习方式，学生具有较熟识的活动阅历.

二、教学任务分析

上一节课的学习中，学生对于平行线的判定定理和性质定理以及与平行线相关的简洁几何证明是比较熟识的，他们已经具有初步的几何意识，形成了肯定的逻辑思维实力和推理实力，本节课支配《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关学问来推导出新的'定理以及敏捷运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教学目标是：

学问与技能：(1)驾驭三角形内角和定理的证明及简洁应用。

(2)敏捷运用三角形内角和定理解决相关问题。

数学实力：用多种方法证明三角形定理，培育一题多解的实力。

情感与看法：对比过去撕纸等探究过程，体会思维试验和符号化的理性作用.

三、教学过程分析

本节课的设计分为四个环节：情境引入探究新知反馈练习课堂小结

第一环节：情境引入

活动内容：(1)用折纸的方法验证三角形内角和定理.

试验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图6-38(1))然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图(2)、(3))，最终得图(4)所示的结果

(1)(2)(3)(4)

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗?

(2)试验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，假如只剪下一个角呢?

活动目的：

对比过去撕纸等探究过程，体会思维试验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在肯定困难，因此须要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明.

教学效果：

说理过程是学生所熟识的，因此，学生能比较娴熟地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的缘由。

其次环节：探究新知

活动内容：

①用严谨的证明来论证三角形内角和定理.

②看哪个同学想的方法最多?

方法一：过A点作DE∥BC

∵DE∥BC

DAB=B，EAC=C(两直线平行，内错角相等)

∵DAB+BAC+EAC=180

BAC+C=180(等量代换)

方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA.

∵CE∥BA

ECD(两直线平行，同位角相等)

ACE(两直线平行，内错角相等)

∵BCA+ACE+ECD=180

B+ACB=180(等量代换)

活动目的：

用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培育学生的逻辑推理实力。

教学效果：

添协助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，须要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备干脆运用它们的条件，这时就须要添协助线创建条件，以达到证明的目的.

第三环节：反馈练习

活动内容：

(1)△ABC中可以有3个锐角吗?3个直角呢?2个直角呢?若有1个直角另外两角有什么特点?

(2)△ABC中，C=90，A=30，B=?

(3)A=50，C，则△ABC中B=?

(4)三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角.

(5)任何一个三角形中，至少有____个锐角;至多有____个锐角.

(6)三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度?

(7)已知：△ABC中，B=2A。

(a)求B的度数;

(b)若BD是AC边上的高，求DBC的度数?

活动目的：

通过学生的反馈练习，使老师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清晰，能否敏捷运用三角形内角和定理，以便老师能刚好地进行查缺补漏.

教学效果：

学生对于三角形内角和定理的驾驭是特别娴熟，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题。

第四环节：课堂小结

活动内容：

①证明三角形内角和定理有哪几种方法?

②协助线的作法技巧.

③三角形内角和定理的简洁应用.

活动目的：

复习巩固本课学问，提高学生的驾驭程度.

教学效果：

学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能娴熟运用三角形内角和定理进行相关证明.

课后练习：课本第239页随堂练习;第241页习题6.6第1，2，3题

四、教学反思

三角形的有关学问是空间与图形中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是探讨全部其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的学问，也是学生最为熟识且能与小学、中学学问相关联的学问，看似简洁，但假如处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：

(1)通过折纸与剪纸等操作让学生获得干脆阅历，然后从学生的干脆阅历动身，逐步转到符号化处理，最终达到推理论证的要求。

(2)充分展示学生的特性，体现学生是学习的主子这一主题。

(3)添加协助线是教学中的一个难点，如何添加协助线则应允许学生绽开思索并争辩，展示学生的思维过程，然后在老师的引导下达成共识。

数学定理的教案10

一、教学目标

1、敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题、

2、进一步加深性质定理与判定定理之间关系的相识、

二、重点、难点

1、重点：敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题、

2、难点：敏捷应用勾股定理及逆定理解决实际问题、

3、难点的突破方法：

三、课堂引入

创设情境：在军事和航海上常常要确定方向和位置，从而运用一些数学学问和数学方法、

四、例习题分析

例1（p83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得pr=12×1。5=18，pq=16×1。5=24，qr=30；

⑷因为242+182=302，pq2+pr2=qr2，依据勾股定理的逆定理，知∠qpr=90°；

⑸∠prs=∠qpr—∠qps=45°、

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识、

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试推断这个三角形的.形态、

分析：⑴若推断三角形的形态，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶依据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形

本题帮助培育学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识

数学定理的教案11

教学目标

1、学问与技能目标

学会视察图形，勇于探究图形间的关系，培育学生的空间观念．

2、过程与方法

(1)经验一般规律的探究过程，发展学生的抽象思维实力．

(2)在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的实力及渗透数学建模的思想．

3、情感看法与价值观

(1)通过好玩的问题提高学习数学的爱好．

(2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的好用性．

教学重点：

探究、发觉事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．

教学难点：

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题．

教学打算：

多媒体

教学过程：

第一环节：创设情境，引入新课（3分钟，学生视察、猜想）

情景：

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕获到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

其次环节：合作探究（15分钟，学生分组合作探究）

学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路途，充分探讨后，汇总各小组的方案，在全班范围内探讨每种方案的路途计算方法，通过详细计算，总结出最短路途。让学生发觉：沿圆柱体母线剪开后绽开得到矩形，探讨“蚂蚁怎么走最近”就是探讨两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．

学生汇总了四种方案：

（１）（２）（3）（4）

学生很简单算出：情形（１）中A→B的路途长为：AA’+d，情形（２）中A→B的路途长为：AA’+πd／2所以情形（１）的路途比情形（２）要短．

学生在情形（３）和（４）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A→B是折线，而情形（４）是线段，故依据两点之间线段最短可推断（４）最短．

如图：

（１）中A→B的路途长为：AA’+d;

（２）中A→B的路途长为：AA’+A’B>AB;

（３）中A→B的路途长为：AO+OB>AB;

（４）中A→B的'路途长为：AB.

得出结论：利用绽开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，详细视察．接下来后提问：怎样计算AB？

在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得，若已知圆柱体高为12c，底面半径为3c，π取3，则.

第三环节：做一做（7分钟，学生合作探究）

教材23页

李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，

（1）你能替他想方法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有方法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？

第四环节：巩固练习（10分钟，学生独立完成）

1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先动身，他以6/h的速度向正东行走，1小时后乙动身，他以5/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？

2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．

3．有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒有多长？

第五环节课堂小结（3分钟，师生问答）

内容：

1、如何利用勾股定理及逆定理解决最短路程问题？

第六环节：布置作业（2分钟，学生分别记录）

内容：

作业：1．课本习题1．5第1，2，3题．

要求：A组（学优生）：1、2、3

B组（中等生）：1、2

C组（后三分之一生）：1

板书设计：

教学反思：

数学定理的教案12

重点、难点分析

本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用．它可用边的关系推断一个三角形是否为直角三角形．为推断三角形的形态供应了一个有力的依据．

本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用．在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理推断三角形的形态时而出错；另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数改变，最终达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方．

教法建议：

本节课教学模式主要采纳“互动式”教学模式及“类比”的教学方法．通过前面所学的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题．在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛．通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成“情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃”，达到培育学生思维实力的目的．详细说明如下：

（1）让学生主动提出问题

利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来．这里分别找学生口述文字；用符号、图形的形式板书逆命题的内容．全部这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难．这样设计主要是培育学生擅长提出问题的习惯及实力．

（2）让学生自己解决问题

推断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里老师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发觉和探究，找到解决问题的思路．

（3）通过实际问题的解决，培育学生的'数学意识．

教学目标：

1、学问目标：

（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；

（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数.

2、实力目标：

（1）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析实力；

（2）通过勾股定理及以前的学问联合起来综合运用，提高综合运用学问的实力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获得数学学问的感受；

（2）通过学问的纵横迁移感受数学的辩证特征．

教学重点：勾股定理的逆定理及其应用

教学难点：勾股定理的逆定理及其应用

教学用具：直尺，微机

教学方法：以学生为主体的探讨探究法

教学过程：

1、新课背景学问复习（投影）

勾股定理的内容

文字叙述（投影显示）

符号表述

图形（画在黑板上）

2、逆定理的获得

（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

（2）学生自己证明

逆定理：假如三角形的三边长有下面关系：

那么这个三角形是直角三角形

强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区分

勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：

①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理

2、定理的应用（投影显示题目上）

例1假如一个三角形的三边长分别为

则这三角形是直角三角形

例2如图，已知：CD⊥AB于D，且有

求证：△ACB为直角三角形。

以上例题，分别由学生先思索，然后回答．师生共同补充完善．（老师做总结）

4、课堂小结：

（1）逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边（最大边）

（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。

5、布置作业：

a、书面作业P131＃9

b、上交作业：已知：如图，△DEF中，DE＝17，EF＝30，EF边上的中线DG＝8

求证：△DEF是等腰三角形

数学定理的教案13

教学目的：

1、学问与技能：了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论.

2、经验推断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解.

3、初步培育学生不同几何语言相互转化的实力.

重点：命题的概念和区分命题的题设与结论.

难点：区分命题的题设和结论.

教学过程

一、创设情境复习导入

老师出示下列问题：

1.平行线的判定方法有哪些?

2.平行线的性质有哪些.

学生能主动的思索老师所出示的各个问题复习巩固有关的学问点为本节课的'学习打下良好的基础.(留意:平行线的判定方法三种,另外还有平行公理的推论)

二、尝试活动探究新知

(1)老师给出下列语句

①假如两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也相互平行;

②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;

③对顶角相等;

④假如两条直线不平行,那么同位角不相等.

学生学生能由老师的引导分析每个语句的特点.思索：你能说一说这4个语句有什么共同点吗？并能耐总结出这些语句都是对某一件事情作出“是”或“不是”的推断.初步感受到有些数学语言是对某件事作出推断的。

(2)老师给出命题的定义

推断一件事情的语句,叫做命题.

(3)命题的组成.

①命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.

②命题的形成，可以写成“假如……，那么……”的形式。

真命题与假命题：

老师出示问题：

假如两个角相等，那么它们是对顶角.

假如a＞b.b＞c那么a=b

假如两个角互补，那么它们是邻补角.

三、尝试反馈理解新知

明确命题有正确与错误之分：

命题的正确性是我们经过推理证明的，这样得到的真命题叫做定理，作为真命题，定理也可以作为接着推理的依据.

1.“等式两边乘同一个数，结果仍是等式”是命题吗？它们题设和结论分别是什么？

2.命题“两条平行线被第三第直线所截，内错角相等”是正确的？命题“假如两个角互补，那么它们是邻补角”是正确吗？再举出一些命题的例子，推断它们是否正确.

四、总结拓展：老师引导学生完成本节课的小结，强调重要的学问点.

五、布置作业：习题5.3第11题.

数学定理的教案14

一、说教学内容分析

本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的干脆延拓，也是坐标法等学问在三角形中的详细运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了随意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。

本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧学问，使学生驾驭新的有用的学问，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和探讨，体验到数学发觉和创建的'历程，进而培育学生提出问题、解决问题等探讨性学习的实力。

二、说学情分析

对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，随意角的三角比等学问，具有肯定视察分析、解决问题的实力；但另一方面对新旧学问间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维敏捷性、深刻性受到制约。依据以上特点，老师恰当引导，提高学生学习主动性，留意前后学问间的联系，引导学生干脆参加分析问题、解决问题。

三、说设计思想：

培育学生学会学习、学会探究是全面发展学生实力的重要方面，也是中学新课程改革的主要任务。如何培育学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为：“学问不是被动汲取的，而是由认知主体主动建构的'。”这个观点从教学的角度来理解就是：学问不仅是通过老师传授得到的，更重要的是学生在肯定的情境中，运用已有的学习阅历，并通过与他人（在老师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，老师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。

四、说教学目标：

1、在创设的问题情境中，让学生从已有的几何学问和处理几何图形的常用方法动身，探究和证明正弦定理，体验坐标法将几何问题转化为代数问题的优越性，感受数学论证的严谨性、

2、理解三角形面积公式，能运用正弦定理解决三角形的两类基本问题，并初步相识用正弦定理解三角形时，会有一解、两解、无解三种状况。

3、通过对实际问题的探究，培育学生的数学应用意识，激发学生学习的爱好，让学生感受到数学学问既来源于生活，又服务与生活。

五、说教学重点与难点

教学重点：正弦定理的探究与证明；正弦定理的基本应用。

教学难点：正弦定理的探究与证明。

突破难点的手段：抓学问选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的学问特点入手，老师在学生主体下给于适当的提示和指导。

六、说复习引入：

1、在随意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系？是否可以把边、角关系精确量化？

2、在ABC中，角A、B、C的正弦对边分别是a，b，c，你能发觉它们之间有什么关系吗？

结论：

证明：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CB=AB边同乘以单位向量。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

《正弦定理》说教学反思

本节是“正弦定理”定理的第一节，在备课中有两个问题须要细心设计、一个是问题的引入，一个是定理的证明、通过两个实际问题引入，让学生体会为什么要学习这节课，从学生的“最近发展区”入手进行设计，寻求解决问题的方法、详细的思路就是从解决课本