高三第一轮复习-导数地应用

导数的应用一、知识要点：

1.函数的单调性:⑴设函数y=f(x)在某个区间可导,

若f'(x)>0，则f(x)为增函数；若f'(x)<0，则f(x)为减函数.一、知识要点：

1.函数的单调性:⑵求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：①确定函数f(x)的定义区间;=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根;②求,令③把函数f(x)的间断点(包括f(x)的无定义的点)

的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;④确定f(x)在各区间内的符号,根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小区间内的增减性。一、知识要点：

2.可导函数的极值设函数f(x)在点x0附近的所有的点都有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),则称f(x0)为函数的一个极大(小)

值,称x0为极大(小)值点。⑴极值的概念⑵求可导函数f(x)极值的步骤：①求导数②求方程=0的根

在上述根的左右的符号,如果在根的左侧为正(负),右侧为负(正),那么函数y=f(x)在这个根处取得极大(小)值。③检验一、知识要点：

3.函数的最大与最小值⑴设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大最小值,可分两步进行:①求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。⑵若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a)

为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。二、例题选讲上是单调函数。

例1(2000年全国高考题)设函数其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在区间

分析：求,当x∈

时,看变化范围。

例1（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。二、例题选讲例2.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。二、例题选讲二、例题选讲例4.（2000年江西卷）用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。分析:实际应用问题应先建立数学模型，注意自变量的取值范围，若出现三次以上或带有根号的函数或三角函数，可考虑求导来解决。解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为

(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m则3.2–2x>0,x>0,得0<x<1.6.例4.(2000年江西卷)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。设容器体积为ym3,则y=x(x+0.5)(3.2–2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6)y'=-6x2+4.4x+1.6,令y'=0得x=1或x=-4/15(舍去），∴当0<x<1时，y'>0,当1<x<1.6时，y'<0,

最大容积为1.8m3。∴在x=1处，y有最大值，此时高为1.2m,二、例题选讲例5（2003年江苏卷）已知a>0,n为正整数，⑴设⑵设

，对任意n≥a,证明:证明:(1)因为所以(2)对函数求导数:证明:∴即对任意例5（2003年江苏卷）已知a>0,n为正整数，⑵设

，对任意n≥a,证明:三、小结：1.证函数f(x)在(a,b)内单调,可以用函数的单调性定义,也可以用导数来进行判别.前者较繁，后者较易.要注意若f(x)在(a,b)内个别点上满足:=0(或

不存在,但f(x)连续)，<0),函数仍然在

(a,b)内单调,即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点.如f(x)=x3.>0(其余点满足2.函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大(小)值可有若干个，而且有时极小值可以大于它的极大值。=0可以是不必要条件。=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，

在x0两侧的导数异号是x0为极值点的充分条件。对于连续函数

(不一定处处可导)的情况三、小结：3.函数的最大值、最小值表示函数f(x)在一个区间的情况，连续函数f(x)在闭区间[a,b]

上必有一个最大值和最小值。但f(x)在(a,b)

上就不一定有最大(小)值。三、小结：=0的解为最值点。

4.在实际应用问题中，利用导数求f(x)在(a,b)

的最大值时，=0的解只有一个时，由题意最值确实存在，就是使；/宁波网站建设twc91tvu灵的小沙弥，更是时时处处细心地照料着耿老爹。每当耿老爹叫他“小直子”的时候，他就高高兴兴地答应！问他哥哥和姐姐哪里去了，他就想方设法地搪塞过去，并且尽量地说一些笑话什么的逗耿老爹开心。如此，耿老爹真就把小沙弥当成自己的小儿子耿直了，一天到晚不愿意让小沙弥离开半步。95第四十七回瓷都深巷好房东|（兄妹三人到瓷都，既失爹爹又少银；廉价租房先栖身，所幸深巷好房东。）三天之后的下午，太阳落山之前，耿正兄妹三人真得走到了景德镇。想起来父子们前年在汉口镇上首次落脚创业，以及去年汉口镇上遭遇洪灾之后被迫过江在白幺爹家暂住时，兄妹三人还都是在爹爹羽翼呵护之下的幼雏呢！然而四天前的碧山溃坝，使他们猝不及防地一瞬间痛失了爹爹。眼下，兄妹三人疲惫地走在陌生的景德镇街道上，迎着来来往往一张张陌生的面孔，他们只能“打掉了牙齿往肚子里咽”，强忍着眼泪向前走哇！此时的耿正心里很明白，他们永远也不再可能得到爹爹的呵护和教诲了。作为兄长的他，必须接替爹爹的责任，带着十五岁的妹妹和年仅十岁的弟弟走好今后的路了黄昏时分，兄妹三人临时入住了一家临街的小客栈。在小客栈里吃了简单的晚饭后，耿正找掌柜的打听当地的房屋租赁手续和价格。掌柜的是一个五十多岁的爽快人，直言对耿正说：“那要看你们是想租赁什么样的房子了。临街的好房子有的是，但房租不便宜。如果想要省钱的话，可以去前面那一大片儿居民区里看一看。那里巷子深，而且都是一个一个的平房小院儿，你们可以租赁一个院子，也可以租一间或者几间房子，和主人家同院儿居住。依我看哪，你们如果不是想着临街做生意的话，在深巷子里租房子还是挺划算的呢！”耿正听到掌柜的如此爽快有理的分析后，感激地说：“多谢您的一番好意！我们并没有本钱做生意的，只是想找个栖身之所也就是了。那就听您的，我们明儿个就去那一片儿居民区看一看吧！”掌柜的摆摆手，豪爽地说：“谢个啥啊，一句话的事儿。”随后，掌柜的又大致说了说那一片儿的房价，看耿正要起身告辞了，还不忘记叮嘱一句：“越往巷子里边走，租金的价格就越低！你要尽量与房主讨价还价噢！”耿正再次谢过