2021年辽宁省抚顺市矿山公司高级中学高三数学理模拟试卷含解析

2021年辽宁省抚顺市矿山公司高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数在上可导，则“”是“为函数的极值”的（

）A.充分不必要条件

B.充要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C由“”不可以推出“为函数的极值”，同时由“为函数的极值”可以推出“”，所以“”是“为函数的极值”的必要不充分条件．故答案选C．2.若变量满足约束条件，则的最大值为

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知点B（1，0），P是函数y=ex图象上不同于A（0，1）的一点．有如下结论：①存在点P使得△ABP是等腰三角形；②存在点P使得△ABP是锐角三角形；③存在点P使得△ABP是直角三角形．其中，正确的结论的个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型．【分析】利用导数法，可判断出线段AB与函数y=ex图象在（0，1）点的切线垂直，进而可判断出三个结论的正误，得到答案．【解答】解：∵函数y=ex的导函数为y′=ex，∴y′|x=0=1，即线段AB与函数y=ex图象在（0，1）点的切线垂直故△ABP一定是钝角三角形，当PA=AB=时，得△ABP是等腰三角形；故①正确，②③错误故正确的结论有1个故选：B【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的导数及三角形形状判断，难度不大，属于基础题．4.函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：B5.下列说法正确的是

（

）

A.命题“使得”的否定是：“”B.“”是“在上为增函数”的充要条件C.“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件D.命题p：“”，则p是真命题参考答案：B略6.设，其中，则函数在内的零点个数是（

）A．0

B．

1

C.

2

D．与有关参考答案：B由，知在上单调递增，，，根据零点存在定理可得在零点的个数只有个，故选B.

7.阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是(

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.（5分）（2015?浙江模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．①当0＜CQ＜时，S为四边形②截面在底面上投影面积恒为定值③存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：C【考点】：棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：对选项逐个进行检验即可，对于①：得到0＜DT＜1，可以容易得到S为四边形；对于②则找其投影三角形即可；对于③，则需要找线面垂直关系即可；对于④，则需补图完成．解：设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT=2PQ?DT=2CQ．对于①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1，所以截面S为四边形，且S为梯形，故①正确；对于②，截面在底面上投影为△APC，其面积为，故②错误；对于③，存在某个位置，使得截面S与平面A1BD垂直，故③正确；对于④，右补充一个正方体后，得到S与C1D1的交点R满足C1R=，故④正确；故选：C．【点评】：本题重点考查了空间几何体的结构特征、空间中点线面的位置关系等知识，对于中点问题的处理思路是：无中点，取中点，相连得到中位线．属于中档题．9.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为A．4 B．5

C．6

D．7参考答案：B10.已知向量的夹角为，且，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.参考答案：612.已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为参考答案：或圆的圆心坐标（1，2），半径为过点的直线被圆截得的弦长为，∴圆心到所求直线的距离为：，（i）当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足圆心到直线的距离为1．（ii）设所求的直线的向量为，所求直线为：，即，∴，所求直线方程为：，故答案为：或．13.已知双曲线的一条渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为

参考答案：略14.已知在中，，，动点位于线段上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为

．参考答案：因为，，所以,所以当且仅当时取等号，因此,所以向量与的夹角的余弦值为

15.已知则的值是

。参考答案：16.若，则a的取值范围是．参考答案：＜a＜或a＜﹣1略17.在半径为3的球面上有A、B、C三点，球心O到平面ABC的距离是，且，，则B、C两点间的球面距离为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝x2－ax＋2＋lnx。(1)若f(x)在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；(2)当a＝3时，f(x)在[en，＋∞)(nZ)上存在两个零点，求n的最大值。参考答案：19.已知直线l是经过点且与抛物线相切的直线.（1）求直线l的方程；（2）如图，已知点是x轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线E的另一个交点分别是P，Q，求证：直线PQ与l平行.参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）先由题意可得直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，根据判别式为0，即可求出斜率，得到直线方程；（2）先由题意得到，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，与抛物线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，进而计算，即可得出结论成立.【详解】解：（1）显然直线的斜率存在且不为，设直线的方程为：与联立，消去整理得，，令，即，解得，所以，直线的方程为.（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线的方程为，与联立，消去整理得，则，从而，将换成，得，，所以，直线与平行.【点睛】本题主要考查直线与抛物线综合，通常需要联立直线与抛物线方程，结合判别式、斜率公式等求解，属于常考题型.20.（本小题满分12分）

已知f(x)=xlnx.

（I）求f(x)在[t，t+2]（t>0）上的最小值；

（Ⅱ）证明：都有。参考答案：（Ⅰ）解：，令.当单调递减；当单调递增.…………（2分）因为，（1）当0＜t＜时；（2）当t≥时，所以

………（6分）（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，的最小值是，（当且仅当x=时取到最小值）问题等价于证明，设，则，易得，（当且仅当x=1时取到最大值）从而对一切，都有成立.

………………（12分）

21.（12分）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=5，sinBsinC=，求△ABC的面积S．参考答案：【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（I）化简已知等式可得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，即可解得cosA的值，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．（II）又由正弦定理，得?sin2A═．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，即可解得c的值，由三角形面积公式即可得解．解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．﹣﹣﹣﹣（2分）解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣（4分）因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）又由正弦定理，得sinBsinC=sinA?sinA=?sin2A═．﹣（8分）解得：bc=，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA，又b=5，所以c=4或c=﹣﹣﹣﹣（10分）所以可得：S=bcsinA=bc?=bc=5或S=﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．22.（本小题满分12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．参考答案：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；