2022年安徽省滁州市三界中学高三数学理月考试题含解析

2022年安徽省滁州市三界中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为

A.所有实数的平方都不是正数

B．有的实数的平方是正数

C．至少有一个实数的平方是正数

D．至少有一个实数的平方不是正数参考答案：D略2.如图是七位评委为甲、乙两名比赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，若a1=a2，则m=（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：A【考点】茎叶图．【分析】根据样本平均数的计算公式，代入数据得甲和乙的平均分，列出方程解出即可．【解答】解：由题意得：79+84×5+90+m=77+85×5+93，解得：m=6，故选：A．3.在ABC中，若对任意的，都有，则

（

）

A.一定为锐角三角形

B.一定为钝角三角形

C.一定为直角三角形

D.可以为任意三角形参考答案：C4.极坐标方程表示的圆的半径是（

）． A． B． C． D．参考答案：D极坐标方程，两边同乘，得，化为直角坐标方程：，整理得，所表示圆的半径，故选．5.已知椭圆的中心为，右焦点为、右顶点为，直线与轴的交点为，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.将集合用列举法表示，正确的是

（

）A． B． C． D．参考答案：B略7.在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是

(

)A．；

B．；

C．；

D．参考答案：D8.以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量，则概率等于

（

）A． B． C．

D．参考答案：B9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C.10.已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为，为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力若则可为

（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知sin（﹣α）=，则cos（π﹣α）=

．参考答案：﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后把cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=，∴cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12.已知函数的最小正周期为，则（A）函数的图象关于点（）对称（B）函数的图象关于直线对称（C）函数的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称（D）函数在区间内单调递增参考答案：13.三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，则它的体积是-------------。参考答案：14.

的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中常数项为

参考答案：答案：-16015.已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为．参考答案：0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，从而可得g（x）在其定义域上单调递增；再由g（0）=0+1=1，从而判断．【解答】解：∵g（x）=xf（x）+1，∴g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，故g（x）在其定义域上单调递增；∵y=f（x）为R上的连续可导函数，∴函数g（x）=xf（x）+1在R上连续；又∵g（0）=0+1=1，∴函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0；故答案为：0．【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判定定理的应用．16.，则a＋b=

参考答案：317.如题15图所示，过抛物线的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线作垂线，垂足为，已知四边形的面积分别为15和7，则的面积为

。参考答案：提示：首先证，然后有题意有两式作积得解这个方程得

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分15分）已知（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，设关于的方程的两个根为、，若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.

参考答案：解：(1)a=1时，，-------2分，过点的切线方程为y=

----------4分（2），

∵在区间上是增函数，∴对恒成立，即

对恒成立

设，则问题等价于，

∴

--------9

（3）由，得，

∵

∴是方程

的两非零实根，

∴，从而，

∵，∴.

∴不等式对任意及恒成立

对任意恒成立对任意恒成立

设，则问题又等价于

即的取值范围是-----15分19.几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：年龄[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45）受访人数56159105支持发展共享单车人数4512973（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

年龄低于35岁年龄不低于35岁合计支持

不支持

合计

（2）若对年龄在上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在，若g（x）在上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，即a≤﹣xlnx﹣x2在；（2）g（x）==+﹣，x∈，求导g′（x）=+﹣=，设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，由h′（x）=0，解得：x=e，当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，显然h（1）＞h（e2），若g（x）在上存在极值，则或，当，即1＜a＜时，则必定存在x1，x2∈，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，x（1，x1）x1（x1，x2）x2（x1，e2）h（x）﹣0+0﹣g′（x）﹣0+0﹣g（x）↓极小值↓极小值↓当1＜a＜时，g（x）在上的极值为g（x1），g（x2），且g（x1）＜g（x2），由g（x1）=+﹣=，设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，则φ′（x）=lnx＞0，∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，当且仅当x=1时，取等号；∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，当1＜a＜，g（x）在上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，当，即0＜a≤1时，则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，此时，g（x）在上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，当0＜a≤1时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，综上可知：当0＜a＜时，g（x）在上存在极值，且极值都为正数，20.在中,内角所对的边长分别是,已知(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长

参考答案：略21.在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数，）。

（I）求C1的直角坐标方程；

（II）当C1与C2有两个公共点时，求实数的取值范围。参考答案：略22.已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a＜e，求得单调区间和最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．

当a=1时，f′（x）=．

由f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；

（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）==．

由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．

（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．

因为＞e﹣1．所以a＞．

②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时