四川省凉山市泸沽中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

四川省凉山市泸沽中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知（其中以为常数且），如果,则的值为

（

）

A．－3

B．－5

C．3

D．5参考答案：C略2.如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1=1．在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长．则当点P运动时，|HP|2的最小值是(

) A．21 B．22 C．23 D．25参考答案：B考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：建立空间直角坐标系，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，得出HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，利用空间直角坐标系求出MP2的最小值即可．解答： 解：建立空间直角坐标系，如图所示，过点H作HM⊥BB′，垂足为M，连接MP，则HM⊥PM，∴HP2=HM2+MP2；当MP最小时，HP2最小，过P作PN⊥CC′，垂足为N，设P（x，4，z），则F（1，4，3），M（4，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；∵PN=PF，∴=x，化简得2x﹣1=（z﹣3）2；∴MP2=（x﹣4）2+（z﹣3）2=（x﹣4）2+2x﹣1=x2﹣6x+15≥6，当x=3时，MP2取得最小值，此时HP2=HM2+MP2=42+6=22为最小值．故选：B．点评：本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目．3.已知非空集合、、都是全集的子集,且,则(

).

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D4.若向量＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“||＝5”的

(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A5.在中，已知是边上的一点，若，，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B因为,所以,又,所以。6.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：，选D.考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．7.已知平面向量夹角为，且，，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：8.如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：答案：D解析：如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面积是，选D.9.已知函数的图像如图，且，则有

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.如图，在中，已知，则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与圆相交所截的弦长为__________参考答案：略12.设函数则a的取值范围是

.参考答案：13.如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为

.

参考答案：考点：双曲线的综合应用．【名师点睛】在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解．14.在△ABC中，，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧），当变化时，线段CD长的最大值为__________．参考答案：3试题分析：设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，当时等号成立．考点：解三角形15.已知集合，其中，表示和中所有不同值的个数．设集合，则

参考答案：5略16.已知过抛物线＜的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2,则|BF|=

.参考答案：2略17..已知随机变量～,且,则_________.参考答案：0.4【分析】随机变量～,根据正态分布曲线的特征，可以知道曲线关于对称，所以通过，可以求出，根据对称性可以求出的值.【详解】因为随机变量～，所以正态分布曲线关于对称，因此有,.【点睛】本题考查了正态分布，正确掌握正态分布曲线的性质，是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，和是边长为2的正三角形，且平面平面，平面，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面和平面所成的二面角的余弦值。参考答案：略19.（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，已知⊙与⊙相交于、两点，过点A作⊙的切线交⊙O2于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点、，与相交于点.（I）求证：；（II）若是⊙的切线，且，，求的长．参考答案：解：（I）∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.····································································（II）设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12

①∵AD∥EC，∴＝，∴＝

②由①、②解得(∵x>0，y>0)∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O2的切线，∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.

20.在中，分别是角的对边，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且的面积为，求的值.参考答案：（I）由及正弦定理，得（），∴，∴或．（II）∵，,∴，∴的面积，∴.①由余弦定理，，即．②由①×3＋②，得，故．略21.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=，S10=40．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n+1anan+1（n∈N*），求数列{bn}的前2n项的和T2n．参考答案：考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a2=，S10=40计算即得结论；（Ⅱ）通过bn=（﹣1）n+1anan+1（n∈N*）写出T2n的表达式，利用相邻两项的差为定值提取公因式计算即得结论．解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则，解得，故an=1+（n﹣1）=n+；（Ⅱ）T2n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2na2n+1=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1a2n+1）=﹣（a2+a4+a6+…+a2n）=﹣（2n2+3n）．点评：本题考查求数列的通项、前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．22.如图，有一块扇形草地OMN，已知半径为R，∠MON=，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A、B在弧MN上，且线段AB平行于线段MN（1）若点A为弧MN的一个三等分点，求矩形ABCD的面积S；（2）当A在何处时，矩形ABCD的面积S最大？最大值为多少？参考答案：【考点】扇形面积公式．【分析】（1）作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S；（2）设∠AOB=θ（0＜θ＜），求出AB，EH，可得矩形ABCD的面积S，再求最大值．【解答】解：（1）如图，作OH⊥AB于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，∴∠AOB=，…∴AB=24sin，OH=12cos，OE=DE=AB=12sin，∴EH=OH﹣OE=12（cos﹣sin）