福建省龙岩市湖洋中学2022年高三数学理联考试题含解析

福建省龙岩市湖洋中学2022年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.cos2xdx=（）A．B．1C．2D．参考答案：A考点：定积分．专题：计算题．分析：由于cos2x的一个原函数为sin2x故根据牛顿﹣莱布尼茨公式即可求解．解答：解：cos2xdx=sin2x=（sin﹣sin0）=．故选A．点评：本题主要考查了定积分的计算．解题的关键是要能求出被积函数的一个原函数然后再根据牛顿﹣莱布尼茨公式求解．2.已知函数g（x）的导函数g'（x）=ex，且g（0）g'（1）=e，（其中e为自然对数的底数）．若?x∈（0，+∞），使得不等式成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（3，+∞） D．（﹣∞，4﹣e）参考答案：B【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由g'（x）=ex，可设g（x）=ex+c，再由g（0）g'（1）=e可得g（x）＜成立，分离出参数m后可得m＜x﹣ex+3，令h（x）=x﹣ex+3，则问题可转化为：m＜h（x）max，利用导数可求得h（x）max．【解答】解：∵函数g（x）的导函数g'（x）=ex，∴g（x）=ex+c，又∵g（0）g'（1）=e，∴（1+c）e=e?c=0，∴g（x）=ex，∵?x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜成立，∴?x∈（0，+∞），使得m＜x﹣ex+3成立，令h（x）=x﹣ex+3，则问题可转化为：m＜h（x）max，对于h（x）=x﹣ex+3，x∈（0，+∞），由于h′（x）=1﹣ex（+），当x∈（0，+∞）时，∵ex＞1，+≥2=，∴ex（+）＞1，∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3，∴m＜3；故选：B．3.设集合若，则的范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0且a≠1）对?x∈（0，]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B．[，1） C．（0，] D．[，]∪（1，+∞）参考答案：B【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】先求出f（x）在x＞0的解析式，不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，]恒成立，转化为loga≤loga，分类讨论即可．【解答】解：函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x∴f（﹣x）=﹣f（x），设x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=﹣x2﹣x，∴f（x）=x2+x，∵不等式f（x）﹣x≤2logax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，]恒成立，∴x2+x﹣x≤2logax（a＞0，a≠1）对?x∈（0，]恒成立，∴x2≤logax2，∴（）2≤loga（）2，∴loga=≤loga，当a＞1时，≤，解得a≤，此时无解，当0＜a＜1时，≥，解得a≥，此时≤a＜1，综上所述a的取值范围为[，1）．故选：B．5.设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，）参考答案：C【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，利用函数的性质，我们可将0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为m＜恒成立，结合正弦型函数的性质结合分析法，我们可得在0≤θ≤时的最小值，进而将恒成立问题转化为最值问题，得到实数m的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，∴不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0可化为f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）即f（msinθ）＞f（m﹣1）即msinθ＞m﹣1即m＜在0≤θ≤时恒成立∵0≤θ≤时，1﹣sinθ的最大值为1，故的最小值为1故m＜1即实数m的取值范围是（﹣∞，1）故选C6.若是内一点,,则为的A.内心

B.外心

C.重心

D.垂心参考答案：C略7.为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结构如下：参照附表，得到的正确结论是（A）在犯错误的概率不超过0.1﹪的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”（B）在犯错误的概率不超过的0.1﹪的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”（C）最多有99﹪的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”（D）最多有99﹪的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”参考答案：A由公式可计算，即，所以在犯错误的概率不超过0.1﹪的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，答案选A.8.把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.设集合，，若，则（

）A．{－1,0,2}

B．{0,1,2}

C．{0,2}

D．{－1,0,1,2}参考答案：A由题意，则，解得，所以集合，所以，故选A．

10.已知双曲线与椭圆有共同的焦点，则的值为

（

）A．50

B．24

C．-50

D．-24参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中，x的值是

(

）A．19

B．20

C．21

D．22参考答案：C12.已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．13.若，，，且（）的最小值为，则

.参考答案：4【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式.【试题分析】因为，所以，当时，取等号，又因为的最小值为9，即，所以，故答案为4.14.已知R上的不间断函数满足：（1）当时，恒成立；（2）对任意的都有。奇函数满足：对任意的,都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围

。参考答案：15.已知在三棱锥A-BCD中，，，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为

．参考答案：16π取BD的中点E，连接AE，CE，取CE的三等分点为O，使得CO=2OE，则O为等边△BCD的中心.由于平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD，CE⊥BD，所以平面ACE⊥平面ABD.由于AB2+AD2=BD2，所以△ABD为直角三角形，且E为△ABD的外心，所以OA=OB=OD.又OB=OC=OD，所以O为三棱锥A-BCD外接球的球心，且球的半径.故三棱锥A-BCD外接球的表面积为.

16.圆上的点到直线的最大距离为

.参考答案：

【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】首先不愿和直线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步利用点到直线的距离求出结果．【解答】解：圆的参数方程，转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1直线的参数方程：，转化成直角坐标方程为：x﹣y+1=0则：（1，0）到直线x﹣y+1=0的距离为：d=则：圆上点到直线的最大距离为：故答案为：【点评】本题考查的知识要点：圆和直线的参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线距离公式的应用，属于基础题型．17.命题“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是__________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．（Ⅰ）若直线与曲线交于两点，求的值；（Ⅱ）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．参考答案：（1）；（2）.

考点：1、极坐标方程化为直角坐标的方程；2、参数方程化普通方程及三角函数求最值.19.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；（2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增，∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题．20.已知ABCD是正方形，直线AE⊥平面ABCD，且AB=AE=1，（1）求异面直线AC，DE所成的角；（2）求二面角A﹣CE﹣D的大小；（3）设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH⊥平面ACE？若存在，求出点H的位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求向量的夹角的余弦值，再求异面直线所成的角；（2）先求出两个平面的法向量，再利用向量坐标运算求二面角的余弦值，可求得二面角；（3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣），再根据PH⊥平面ACE，确定m、n的值，根据的坐标表示确定H的位置．【解答】解：（1）建立空间直角坐标系如图：∵AB=AE=1，四边形ABCD为正方形，∴A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．=（1，1，0），=（0，﹣1，1），cos==﹣，故异面直线AC，DE所成的角为；（2）取DE的中点P，则P（0，，），连接AP，∵直线AE⊥平面ABCD，∴AE⊥CD，又四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，∴AP⊥平面CDE，∴为平面CDE的法向量；∵BD⊥AC，AE⊥BD，∴BD⊥平面ACE，∴为平面ACE的法向量，=（0，，），=（﹣1，1，0），cos==．故二面角A﹣CE﹣D为．（3）假设在平面ABE内存在点H，设H（m，0，n），=（m，﹣，n﹣），∵PH⊥平面ACE，AC?平面