高中数学学习点拨初中高中教材衔接内容

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精初中高中教材衔接内容李娜娜张贵江近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法,掌握不好,现归纳如下,与同学们共享.第一讲十字相乘法我们在前面研究了这样的二次三项式，那么对于,这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？我们来观察又有在我们学习乘法运算时有：因此在分解因式中有注意观察上式的系数。对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式,它的常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解为（x+a)（x+b),也就是令p=a+b,q=ab时，用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。例1：分解因式：(1）（2）分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同,这样就分解出来了.解:（1）原式=(x—2）(x—3）（2）原式=（x+3）(x—7）例2：分解因式(1）（2）分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如（1）可以看作关于的二次三项式（2）可以看作关于（a+b）的二次三项式。解：（1）原式(2）原式=（a+b-1）(a+b—3)例3:分解因式(1）（2）分析:当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母，如（1）可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2)应先进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。解：（1）原式=(x—2y）(x-y）（2）原式例4:分解因式：(1）（2）分析：当二次项系数不是1时,数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。解:（1)原式=(x-3）（2x—1)（2）原式例5:分解因式（1）（2）分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式,应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解：（1)原式(2）原式注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解。第二讲一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础,其内容非常丰富,本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．1、概念：方程ax2+bx+c=0（a≠0）称为一元二次方程．2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．3、对于方程ax2+bx+c=0(a≠0）,△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根,即当△=0时,方程有两个相等的实数根,即当△＜0时,方程无实数根．练习：1、只含有_____个未知数,并且未知数的最高次数是_____的整式方程叫做一元二次方程,它的一般形式是__________。⒉一元二次方程的二次项系数α是______实数。⒊方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2－4ac≥0）的两个根，x2=_____。⒋一元二次方程的解法有______，______,______，_______等,简捷求解的关键是观察方程的特征,选用最佳方法。⒌应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（b2－4ac≥0)时,第一步是把方程的常数项移到等号的右边，得ax2+bx=－c；第二步把方程两边同除以a，得x2+；紧接方程两边同时加上_____，并配方得________。⒍对于实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)△=b2－4ac称为此方程根的判别式且有如下性质:（1)△>0二次方程有两个________实数根；(2)△=0二次方程有两个________实数根；(3）△〈0二次方程________实数根。这些性质在解题中主要的应用如下:(1)不解方程判断_________的情况；（2）求方程中的参数值、范围或相互关系；（3）判定二次三项式在实数范围内________分解因式。⒎（1)若一元二交方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=_____，x1x2=_______.（韦达定理）（2）若x1,x2是方程x2+px+q=0的二根，则p=______，q=_______，以实数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________.⒏根与系数关系主要应用是：（1）求作________方程；(2）求含有根有关代数式的值；（3)确定字母系数_______以及字母系数之间关系.(4)验根，求根式确定_______符号.(5）解特殊方程式_________.⒐注意根与系数式关系与根的判别式配合使用。【学法指要】例1.解方程：x2－3x+2=0思路分析1：此方程左边是二次三项式,它引起我们联想二次三项式的因式分解──十字相乘法,可在这条道路上探索，找到解题思路.思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知a=1，b=－3，c=2，由此可知应用求根公式可解.观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方程的标准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法，求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为熟悉”这种重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当你遇到新问题时,不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外,还要静心回忆一下，通过问题解决,我们学习了什么？如本例，我们学习了用因式分解法，求根公式法解一元二次方程，又学习了“转化"思想,继续探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我们获取知识，提高数学素养的重要途径之一.如本例，经过探索，观察可发现a+b+c=1+（－3)+2=0，它的根是x1=1，x2=2是不是a+b+c=0它们必有一个根是1呢？另一个根是常数项呢?再选几例进行探索.解方程：（⒈）x2+5x－6=0（⒉）2x2－3x+1=0（⒊）199x2－2000x+1=0…⒈的方程解为x1=1x2=－6⒉的方程解为x1=1x2=⒊的方程解为x1=1x2=由以上可以发现，当a+b+c=0→x1=1,x2=,这一重要发现给我们解所类方程提供十分简捷的方法──观察法。下面提供几例，给读者练习.解方程：⒈x2－14x+13=0⒉1949x2－1999x+50=0⒊x2－（4+)x+3+=0⒋x2－2000x+1999=01.已知m,n为整数，关于x的三个方程:x2+（7－m）x+3+n=0有两个不相等的实数根；x2+（4+m)x+n+6=0有两个相等实数根;x2－(m－4）x+n+1=0没有实数根。求m,n的值。依题意有：（答案学生写出）由(3)得4n=m2+8m－8代入（1),（2）并化简，得解得∵m为整数,∴m=2∴n=3162－4n=400－28∴4n=－116,∴n=－29∵m=4，n=－29满足m4－4n≥0∴m=4,n=－29第三讲一元二次方程的根与系数的关系

例1：已知，、是关于x的一元二次方程的两根.求证：分析:由求根公式计算一下，可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。证明:由求根公式有：,∴注：韦达定理当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x的方程时，，也很常用。例2:已知：、是方程两个实数根。求:①②③④⑤⑥⑦

分析:题目所求的式子都可以称为对称式，即交换与的位置代数式的形式不变,这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利用韦达定理代入后，可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常见的。解：∵两根为∴①②③④⑤⑥⑦

例3:已知：α、β是方程的两根，且（α-1）（β-1)=3，求m的值分析：解这种求字母值的问题时，需考虑题目对字母的几点限制,①是二次项系数不为0；②是方程有实根的条件,即判别式；③是由已知带来的信息。综合①②③找到公共解集，才能确定字母的值.解:由题意可得：∴∴∴∴m的值为2或例5：已知关于x的方程的根为2和—2，求的两根。分析：由方程①的根系关系可以确定m与n的值，这样可以得到方程②，再解方程即可得到方程两根解：∵关于x的方程的两根为2和—2∴∴∵即∴x(x—4)=0∴或例6：m为何值时，的两根均为正分析:两根均为正，即，由此可以得到m的取值范围,但注意检验，看是否满足判别式.解：由题意可列：∴∴∴∴时,原方程两根均为正。注：此类问题还会有两根均为负,一正一负根，有一根为0，两根互为相反数，两根互为倒数，有两根均大于1等多种形式，望同学多积累解题经验.1．已知：、是方程的两个实数根，分别求出下列各式的值。①、②、③、④、⑤、⑥⑦、⑧2．已知方程的一个根是2，求它的另一根及k的值。3．已知两个数的和等于8，积等于-9，求这两个数4．求作一个方程，使它的根是方程的两根的平方的负倒数参考答案：1．①、②、③—3、④、⑤、⑥13、⑦-1、⑧2．设方程的另一个根是x,则∴,∴k=-73．设这两个数为a、b则a、b为方程的两根，则a=-1,b=9或a=9，b=-14．设、是方程的两根,∴，，设、是新方程的两根则∴∴第四讲立方和与立方差公式(一)（公式1：（a+b）(a-b)=a2—b2，公式2:(a±b)=a2±2ab+b2,公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式．语言叙述略)(a+b）（a2—ab+b2)=a3+b3．（a-b）(a2+ab+b2)=a3-b3．特点:1(都是两个因式相乘，一个是二项式，一个是二次三项式，结果都是二项式，而且是立方的形式)2（两等式中对应的项只有符号不完全相同，字母和指数都相同,左边的两个因式中只有一个负号，右边两项的符号同左边二项式的符号相同）1．填空,使之符合立方和或立方差公式：（1）(x-3）（

)=x3—27；(2）(2x+3）（

)=8x3+27;（3）（x2+2）（

)=x6+8；(4)（3a-2）（

)=27a3—8．2．填空，使之符合立方和或立方差公式：（1）(

)（a2+2ab+4b2)＝______；(2)（

）(9a2-6ab+4b2)=______；3．运用立方和与立方差公式计算:(1）（y+3（y2-3y+9)；

（2）(c+5）（25—5c+c2(5）(x2-y2)(x4+x2y2+y4)．计算时同学们要注意两点:1．两步审查——对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式判断公式中的a与b,又从乘式的三项式看是否符合公式的使用条件,然后再运用公式．2．记清运算结果是积的形式-—a与b的立方和或立方差．第五讲二次函数配方法求最值1、二次函数大致图象：

已知函数，在直角坐标系中画出它的大致图象

已知函数,在直角坐标系中画出它的大致图象2、二次函数经配方得:xYYOOx的图象：xYYOOx

xx3、应用二次函数图象，利用配方法求函数最