高中数学总复习第二轮专题九导数（文）.导数的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§9.2导数的应用考点核心整合1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：（1)确定函数f(x）的定义区间。(2）求f′（x)，令f′(x)=0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根.（3）把函数f(x）的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x）的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f′（x）在各小开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f（x)在每个相应小开区间内的增减性。2。求函数的极值、最值（1)求出可疑点，即f（x)=0的解x0；（2）用极值的方法确定极值；（3)在［a，b］上的最值的求法:将(a，b）内的极值与f(a）、f(b)比较,其中最大的为最大值，最小的为最小值；当f(x）在(a，b）内有一个可疑点时,若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以确定f（x）在该点处取到最大（小)值。3.函数最值与极值的区别与联系:（1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体的概念.(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值.(4）如果函数不在闭区间［a，b］上可导,则确定函数的最值时,不仅要比较该函数各导数为零的点与端点处的值，还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值。(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点，那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较.考题名师诠释【例1】已知f（x)=2x3-3(a-1）x2+1(a≥1）(Ⅰ)求其单调区间；(Ⅱ)讨论f(x）的极值。解析:由已知得f′(x）=6x[x-（a-1)］,令f′(x)=0,解得x1=0,x2=a-1。(Ⅰ）当a=1时，f′（x)=6x2，f（x）在（—∞,+∞）上单调递增.当a＞1时，f′（x）=6x［x-（a—1)］.f′（x)、f（x）随x的变化情况如下表:x（—∞，0）0（0，a—1)a—1(a—1,+∞)f′（x）+0-0+f（x)↗极大值↘极小值↗从表上可知函数f(x)在（—∞,0）上单调递增，在(0,a-1）上单调递减，在(a-1,+∞）上单调递增。(Ⅱ）由(Ⅰ)知。当a=1时，函数f(x)没有极值。当a＞1时,函数f(x）在x=0处取得极大值1，在x=a—1处取得极小值1-（a-1)3。评述：正确求导，利用导数的正负与单调性的关系进行求解，主要考查利用导数求单调区间与极值，考查分类讨论的思想方法.【例2】已知函数f(x）=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值。(1)求a、b的值及函数f（x)的单调区间；(2)若对x∈［—1,2］，不等式f(x）＜c2恒成立，求c的取值范围.解析:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′（x）=3x2+2ax+b,由f′（—)=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,得a=-，b=-2,f′(x)=3x2-x-2=（3x+2)（x-1）,函数f(x)的单调区间如下表：x（-∞,-)-(-,1)1（1，+∞）f′(x）+0—0+f(x）↗极大值↘极小值↗所以函数f（x）的递增区间为（—∞，-)与（1，+∞）；递减区间为（-,1).(2）f（x）=x3—x2—2x+c，x∈［—1,2］，且当x=-时，f（x)=+c为极大值.而f(2）=2+c，则f（2)=2+c为最大值，要使f（x）＜c2(x∈［—1，2］)恒成立，只须c2＞f(2）=2+c,解得c＜—1或c＞2.评述：本题借助于导数，重点考查了函数与不等式的综合应用,将不等式转化为函数的最值，利用导数求函数的最值，具有一定的综合性。链接·思考f′(x)=0,f(x）的单调性怎样?答：不具有单调性.【例3】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c,在x=1处取极值—2，试用b表示a和b,并求f（x)的单调区间。解析：依题意有f(1)=-2,f′(1）=0，而f′（x）=3x2+3ax+b，故解得从而f′(x)=3x2+2cx—(2c+3）=（3x+2c+3)（x-1)令f′(x)=0，得x=1或x=—.由于f(x)在x=1处取得极值，故—≠1，即c≠—3.(1)若-＜1，即c＞—3，则当x∈(-∞,-)时，f′(x)＞0；当x∈(-,1)时，f′（x)＜0;当x∈（1，+∞)时，f′（x）＞0。从而f（x）的单调区间为（-∞，-］,［1，+∞);单调减区间为［-,1］.（2）若-＞1,即c＜—3，同上可得，f（x）的单调增区间为（-∞，1］，［—，+∞）；单调减区间为[1，—].评述：本小题主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.由导数公式和已知条件利用待定系数法求出a、b、c，然后分类讨论思想由f′（x）的符号判断单调区间,最后单调区间要分开写,不能使用并集符号。【例4】设函数f(x)=2x3-3（a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.（1)若f(x)在x=3处取得极值，求常数a的值；(2）若f(x）在(—∞,0）上为增函数,求a的取值范围.分析：在x=3处取极值,则x=3使导函数等于零;在（-∞，0)上为增函数,则f′(x)在（—∞,0)上恒正.解：(1）f′（x）=6x2—6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1)。因f（x）在x=3处取得极值，所以f′（3）=6(3-a）（3—1)=0.解得a=3.经检验知当a=3时,x=3为f(x)的极值点。(2)令f′（x）=6（x—a）(x-1）=0,得x1=a,x2=1。当a〈1时，若x∈(—∞，a）∪(1，+∞)，则f′（x)〉0,所以f（x）在(-∞，a）和(1,+∞)上为增函数，故当0≤a<1时，f（x）在（—∞,0）上为增函数.当a≥1时,若x∈（-∞,1)∪（a，+