工程力学第十一章组合变形

工程力学第十一章组合变形第一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种基本变形，当几种基本变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略，这类构件的变形称为——组合变形(combineddeformation)。一、组合变形基本概念11.1组合变形的概念第二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日大桥桥墩qghP压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲二、组合变形工程实例第三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

烟囱压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲第四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日拉弯组合变形:同时发生轴向拉伸与弯曲第五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日辘轳从深井中提水弯扭组合变形:同时发生弯曲与扭转第六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日屋架传来的压力吊车传来的压力风力拉弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲第七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日三、组合变形的研究方法——叠加原理

对于组合变形下的构件，在线弹性范围内、小变形条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。第八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日组合变形分析步骤：①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿主惯性轴分解，确定各基本变形；②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面；③应力分析：画危险面应力分布图，确定危险点，叠加求危险点应力；④强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。第九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。§11.2斜弯曲第十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日悬臂梁m-m截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：水平力F1竖直力F2弯矩弯曲正应力

C处的正应力第十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

利用上式固然可以求算m-m截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My单独作用下最大正应力的作用点和Mz单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值。第十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

在F1作用下m-m截面绕中性轴y转动，在F2作用下m-m截面绕中性轴z转动，可见在F1和F2共同作用下，m-m截面必定绕通过y轴与z轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y,z的任意点处弯曲正应力为零。第十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日中性轴位置：令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标第十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

这表明，只要，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，即合成弯矩M所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M所在的纵向面重合。说的更清楚些，梁的挠曲线不在合成弯矩所在的平面内。正因为这样，通常把这类弯曲成为斜弯曲（obliquebending）。第十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图中的D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。第十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

对于横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时，可直接按两个平面弯曲判断这些应力所在点的位置，而无需定出中性轴的方向角θ。zy工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考虑剪力引起的切应力。AB第十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例11-1两端铰支矩形截面梁，其尺寸h=80mm,b=40mm,

校核梁的强度。xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhb+ABCDx2kNm+ABCDx2kNm解:(1)内力分析:第十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日(2)校核强度:第十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日安全第二十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例11-2如图所示简支梁由28a号工宇钢制成，已知F=25kN，l=4m，，材料的许用应力[]=170MPa，试按正应力强度条件校核此梁。解:(1)将集中力F沿y轴和z轴方向分解第二十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日28a号工宇钢的抗弯截面模量此梁满足强度要求。第二十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日一、横向力与轴向力共同作用AB

轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于拉—弯组合变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加原理来计算杆中的应力。§11.3拉伸（压缩）与弯曲的组合第二十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日

至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。第二十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日AB+=ql2/8+MFN+F第二十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例11-3两根无缝钢管焊接而成的折杆。钢管外径D=140mm，壁厚t=10mm。求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。10kN1.2m1.6m1.6mACB10kN解(1)求约束反力，确定杆的受力：第二十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日(2)确定危险截面：(3)求最大应力m-m截面：其中d=D-2t88CABM(kNm)10kNABC__3kN3kNCAB(kN)FNmmgf第二十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例11-4

设图示简易吊车在当小车运行到距离梁端D还有0.4m处时，吊车横梁处于最不利位置。已知小车和重物的总重量F＝20kN，钢材的许用应力［σ］＝160MPa，暂不考虑梁的自重。按强度条件选择横梁工字钢的型号。解：（1）外力分析（2）内力分析第二十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日B左截面压应力最大查表并考虑轴力的影响：（3）应力分析第二十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日二、偏心拉伸（压缩）偏心拉伸或偏心压缩是指外力的作用线与直杆的轴线平行但不重合的情况。第三十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日单向偏心拉伸（压缩）

单向偏心压缩时,距偏心力较近的一侧边缘总是产生压应力,而最大正应力总是发生在距偏心力较远的另一侧,其值可能是拉应力,也可能是压应力。第三十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日双向偏心拉伸（压缩）1.外力分析2.内力分析3.应力计算ABCD第三十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日2、中性轴方程ABCD令y0，z0代表中性轴上任一点的坐标第三十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日中性轴是一条不通过截面形心的直线中性轴中心轴方程设中性轴在y、z两轴上的截距为（ay，az）由于ey，ez为正号，所以ay，az为负号；所以说中性轴与外力处于截面形心的相对两侧。第三十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日3.危险点（距中性轴最远的点）对于外轮廓为矩形的截面，最大正应力出现在外角点上。校核强度求许可荷载设计截面4.强度条件第三十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日解：两柱均为压应力例11-5图示不等截面与等截面柱，P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）FN第三十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当P力作用点由A点移至B点时柱内最大压力的比值有四种答案：（Ａ）１:２（Ｂ）２:５（Ｃ）４:７（Ｄ）５:２选择题第三十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日中性轴

中性轴与偏心力的作用点总是位于形心的相对两侧.且偏心力作用点离形心越近,中性轴就离形心越远。

当偏心距为零时,中性轴位于无穷远处。

当偏心力的作用点位于形心附近的一个限界上时,可使得中性轴恰好与周边相切,这时横截面上只出现压应力。

该限界所围成的区域-----截面核心（coreofsection）三、截面核心第三十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的截面核心内。

要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力，那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时偏心压力作用点的位置来确定的。第三十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日1、截面核心的求法：（1）作一切线①(中性轴），设截面核心的边界点（2）作一切线②(中性轴），yz①②12③3④4(n)连接1，2，3…，得到一条封闭曲线，即为截面核心的边界。第四十页，共五十二页，编辑于2023年，星期日2、圆截面的截面核心。第四十一页，共五十二页，编辑于2023年，星期日3矩形截面的截面核心。第四十二页，共五十二页，编辑于2023年，星期日通过截面角点B的中性轴方程，满足：由于yB、zB为定值，该方程是一条关于力作用点（ey，ez）的直线。

1、2点直线连接。第四十三页，共五十二页，编辑于2023年，星期日§11.4弯曲与扭转的组合第四十四页，共五十二页，编辑于2023年，星期日K1K2第四十五页，共五十二页，编辑于2023年，星期日注意，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时[σ]的值取得也比较低。事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应力称为交变应力（alternatingstress）,工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。第四十六页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例11-6图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa,试用第三强度理论求轴的最小直径.解：(1)内力分析T3kNm4kNmM(2)应力分析第四十七页，共五十二页，编辑于2023年，星期日解：拉扭组合:例11-7直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN，[]=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。安全T7kNm50kNFN第四十八页，共五十二页，编辑于2023年，星期日例11-8直径为d的实心圆轴，若m=Pd，指出危险点的位置，并写出相当应力。Pxm解：偏拉与扭转组合·B第四十九页，共五十二页，编辑于2023年，星期日yzxPPCABLL解：AB轴为拉、弯、扭组合变形：例11-9图示折角CAB，ABC段直径d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝60MP