2021年广东省清远市阳山中学高三数学理测试题含解析

2021年广东省清远市阳山中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，且，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：D∵，∴，且∴∴∵∴∴故选D

2.

（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C3.已知随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=（）A．3 B．2 C． D．参考答案：C【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用二项分布列的性质即可得出．【解答】解：∵随机变量ξ～B（3，），则E（ξ）=3×=．故选：C．4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.67x+54.9，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）零件数x个1020304050加工时间y（min）62758189A．75 B．62 C．68 D．81参考答案：C考点： 线性回归方程．专题： 计算题；概率与统计．分析： 根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9，代入样本中心点求出该数据的值．解答： 解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：=30，=，由于由最小二乘法求得回归方程=0.67x+54.9，将=30，=，代入回归直线方程，得m=68．故选：C．点评： 本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．5.已知两个非零向量，互相垂直，若向量与共线，则实数的值为（

）A．5 B．3 C．2.5 D．2参考答案：C∵向量与共线，∴存在实数，使得，即，又向量，互相垂直，故，不共线．∴，解得．选C．

6.设，分别为双曲线的左、右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，延长与双曲线的右支相交于点，若，则此双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.动点在圆上运动，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程式（

）ABCD参考答案：C8.如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，由的，因此选C.考点：向量数量积9.下列函数中，在内有零点且单调递增的是

（A） （B）

（C） (D)参考答案：B略10.已知向量=（sinA，）与向量=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由，可得sinA（sinA+cosA）﹣=0，化为=1，由于A∈（0，π），即可得出．【解答】解：∵，∴sinA（sinA+cosA）﹣=0，∴2sin2A+2sinAcosA=3，化为1﹣cos2A+sin2A=3，∴=1，∵A∈（0，π），∴∈．∴=，解得A=．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二项式的展开式的第二项的系数为12，则

参考答案：

312.设实数满足约束条件，则的最大值是

参考答案：513.（不等式选讲选做题）不等式的解是

.参考答案：且14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为，高为3，圆O是三角形ABC的内切圆，点P是圆O上任意一点，则三棱锥P-A1B1C1的外接球的体积为__________．参考答案：【分析】求出三角形的内切圆的半径，再求出三角形的外接圆的半径，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的体积．【详解】解：∵正三棱柱底面边长为，∴等边三角形的内切圆的半径为，的外接圆的半径为．设球心到上下底面的距离分别为，，则，解得．∴．则三棱锥的外接球的体积为．【点睛】本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键，是中档题．15.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是

.(结果用最简分数表示)参考答案：3人中有1个是女生的概率为，3人中有2个是女生的概率为，3人中有3个是女生的概率为，所以选出的人中至少有一名女生的概率是。16.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。参考答案：略17.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记。当为钝角时，则的取值范围是

。参考答案：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则有，，，，则，得，所以，显然不是平角，所以为钝角等价于，即，即，解得，因此的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=经过点（0，3），且在该点处的切线与x轴平行（1）求a，b的值；（2）若x∈（t，t+2），其中t＞﹣2，讨论函数y=f（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）由f（0）=3，可得b=3，求出导数，求得切线的斜率，可得a=﹣3；（2）求出导数，对t讨论，①当﹣2＜t＜﹣1时，②当﹣1≤t＜0时，③当t≥0时，令导数大于0，得增区间；由导数小于0，可得减区间．【解答】解：（1）∵经过点（0，3），∴b=3，∴，，由条件，∴a=﹣3；（2）由（1），导函数，①当﹣2＜t＜﹣1时，x∈（t，﹣1），f′（x）＜0，f（x）递减；x∈（﹣1，0），f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，t+2），f′（x）＜0，f（x）递减，②当﹣1≤t＜0时，x∈（t，0），f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（0，t+2），f′（x）＜0，f（x）递减；③当t≥0时，x∈（t，t+2），f′（x）＜0，f（x）递减．综上：①当﹣2＜t＜﹣1时，f（x）递减区间为（t，﹣1）和（0，t+2），递增区间为（﹣1，0）；②当﹣1≤t＜0时，f（x）递减区间为（0，t+2），f（x）递增区间为（t，0）；③当t≥0时，f（x）递减区间为（t，t+2）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．19.（本小题满分12分）如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.参考答案：（1）证明：，分别为，的中点，

2分又平面，平面，平面

4分（2）平面，平面平面，.四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，,，，，，，，，.，，分别为，，的中点，，，，，，设为平面的一个法向量，则,即，令，得.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以.

10分所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）

12分20.如图，已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线上的射影依次为点D，K，E，

（1）已知抛物线的焦点为椭圆C的上顶点。①求椭圆C的方程；②若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求

的值；

（2）连接AE，BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标并给予证明；否则说明理由.参考答案：（3）,先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交FK中点N，且

猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点

……9分

证明：设

当m变化时首先AE过定点N

A、N、E三点共线，

同理可得B、N、D三点共线

∴AE与BD相交于定点

……13分21.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，且满足Tn=﹣3n，n∈N*（Ⅰ）求a1的值．（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）记bn=，n∈N*，求证：b1+b2+…+bn＜1．参考答案：考点：数列与不等式的综合．专题：高考数学专题．分析：（Ⅰ）令n=1易得a1的值（Ⅱ）由Tn=﹣3n可得sn，当n≥2时an=﹣sn﹣1

（Ⅲ）首先验证当n=1时成立，当n≥2时利用放缩法得证．解答：解：（Ⅰ）当n=1时，．因为T1=S1=a1，所以，解得a1=6（Ⅱ）当n≥2时所以①，②，由②﹣