2024届广东省揭阳市榕城区揭阳三中高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

2024届广东省揭阳市榕城区揭阳三中高二数学第一学期期末综合测试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（）A. B.C. D.2．下列有关命题的表述中，正确的是（）A.命题“若是偶数，则，都是偶数”的否命题是假命题B.命题“若为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”D.若命题“”，“”均为假命题，则，均为假命题3．设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.4．过点且与原点距离最大的直线方程是（）A. B.C. D.5．在公比为为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.6．圆与直线的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定7．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.8．已知，，若，则（）A.9 B.6C.5 D.39．求点关于x轴的对称点的坐标为（）A. B.C. D.10．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜111．在区间内随机取一个数x，则使得的概率为（）A. B.C. D.12．已知向量，，且，则的值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P为椭圆上的任意一点，点，分别为该椭圆的左、右焦点，则的最大值为______________.14．若函数在区间上的最大值是，则__________15．已知等比数列的各项均为实数，其前项和为，若，，则__________.16．与直线平行，且距离为的直线方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，圆锥的高，底面圆的半径为，延长直径到点，使得，分别过点、作底面圆的切线，两切线相交于点，点是切线与圆的切点（1）证明：平面；（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求该圆锥的体积18．（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对恒成立，求实数a的取值范围.19．（12分）设数列满足（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，是否存在实数，使得对任意恒成立.20．（12分）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量.21．（12分）为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示.（1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.22．（10分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】由几何关系先求出一个正四面体的高，再结合锥体体积公式即可求解正八面体的体积.【题目详解】如图，设底面中心为，连接，由几何关系知，，则正八面体体积为.故选：C2、C【解题分析】对于选项A：根据偶数性质即可判断；对于选项B：通过举例即可判断，对于选项C：利用逆否命题的概念即可判断；对于选项D：根据且、或和非的关系即可判断.【题目详解】选项A：原命题的否命题为：若不是偶数，则，不都是偶数，若，都是偶数，则一定是偶数，从而原命题的否命题为真命题，故A错误；选项B：原命题的逆命题：若是无理数，则也为正无理数，当，即为无理数，但是有理数，故B错误；选项C：由逆否命题的概念可知，C正确；选项D：由为假命题可知，，至少有一个为假命题，由为假命题可知，和均为假命题，故为假命题，为真命题，故D错误.故选：C.3、D【解题分析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分析可得在上为减函数，进而分析可得上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，又由即，则有或，据此分析可得答案【题目详解】根据题意，设，则，若奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，即，则有或，故或，即不等式的解集为；故选：D4、A【解题分析】过点且与原点O距离最远的直线垂直于直线，再由点斜式求解即可【题目详解】过点且与原点O距离最远的直垂直于直线，，∴过点且与原点O距离最远的直线的斜率为，∴过点且与原点O距离最远的直线方程为：，即.故选：A5、D【解题分析】根据等比数列的通项公式、前项和公式的基本量运算，即可得到答案；【题目详解】，，故A错误；，，显然数列不是等比数列，故B错误；，故C错误；，，故D成立；故选：D6、B【解题分析】用圆心到直线的距离与半径的大小判断【题目详解】解：圆的圆心到直线的距离，等于圆的半径，所以圆与直线相切，故选：B7、A【解题分析】利用空间向量加法法则直接求解【题目详解】连接BD，如图，则故选：A8、D【解题分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可求解.【题目详解】.故选：D.9、D【解题分析】根据点关于坐标轴的对称点特征，直接写出即可.【题目详解】A点关于x轴对称点，横坐标不变，纵坐标与竖坐标为原坐标的相反数，故点的坐标为，故选：D10、A【解题分析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故选A【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误11、A【解题分析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用几何概型的长度模型求概率即可.【题目详解】由，可得，其中长度为1，而区间长度为4，所以，所求概率为故选：A.12、A【解题分析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.【题目详解】因为向量，，所以，，因为，所以，解得：，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【题目详解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大时，由椭圆的性质知当P为椭圆上顶点时最大，此时，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案为：.【题目点拨】本题考查椭圆焦点三角形的问题，考查正弦定理的应用.14、0【解题分析】由函数，又由，则，根据二次函数的性质，即可求解函数的最大值，得到答案.【题目详解】由函数，因为，所以，当时，则，所以.【题目点拨】本题主要考查了余弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质，其中解答中根据余弦函数，转化为关于的二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题.15、1【解题分析】分公比和两种情况讨论，结合，，即可得出答案.【题目详解】解：设等比数列的公比为，当，由，，不合题意，当，由，得，综上所述.故答案为：1.16、或【解题分析】由题意，设所求直线方程为，根据两平行直线间的距离公式即可求解.【题目详解】解：由题意，设所求直线方程为，因为直线与直线的距离为，所以，解得或，所以所求直线方程为或，故答案为：或.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）由线面垂直、切线的性质可得、，再根据线面垂直的判定即可证结论.（2）若，构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及其对应的余弦值求R，最后由圆锥的体积公式求体积.【小问1详解】由题设，底面圆，又是切线与圆的切点，∴底面圆，则，且，而，∴平面.【小问2详解】由题设，若，可构建为原点，、、为x、y、z轴的空间直角坐标系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一个法向量，则，令，则，又面的一个法向量为，∴，可得，∴该圆锥的体积18、（1）极大值为，无极小值（2）【解题分析】（1）求函数的导数，根据导数的正负判断极值点，代入原函数计算即可；（2）将变形，即对恒成立，然后构造函数，利用求导判定函数的单调性，进而确定实数a的取值范围..【小问1详解】对函数求导可得：,可知当时，时，，即可知在上单调递增，在上单调递减由上可知，的极大值为，无极小值【小问2详解】由对恒成立,当时，恒成立；当时，对恒成立,可变形为：对恒成立,令，则;求导可得：由（1）知即恒成立，当时，，则在上单调递增;又，因，故，，所以在上恒成立，当时，令，得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，从而可知的最大值为，即，因此，对都有恒成立，所以，实数a的取值范围是.19、（1）（2）存在【解题分析】（1）利用“退作差”法求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得，由此求得.【小问1详解】依题意①，当时，.当时，②，①-②得，，时，上式也符合.所以.【小问2详解】.所以.故存在实数，使得对任意恒成立.20、【解题分析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.【题目详解】如图，建立空间直角坐标系，则设平面ACD1的法向量.，又为平面ACD1的一个法向量，化简得令x=1，得y=z=1.平面ACD1的一个法向量.【题目点拨】本题主要考查了求平面的法向量，属于中档题.21、（1）件；（2）需要对该工厂设备实施升级改造.【解题分析】（1）根据评论分布直方图面积之和为1列等式计算得，用200乘以内频率即可得出答案；（2）根据题意计算等品件，不合格品有件，进而得合格品有件，根据题意计算其利润与9000比较判定需要对该工厂设备实施升级改造.【题目详解】解：（1）因为，解得，所以200件样本中尺寸在内的样本数为（件）.（2）由题意可得，这批产品中优等品有件，这批产品中不合格品有件，这批产品中合格品有件，元.所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造.【题目点拨】频率分布直方图中的常见结论（1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形