湖南省道县第二中学2024学年高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

湖南省道县第二中学2024学年高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列说法或运算正确的是（）A.B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”C.“，”的否定形式为“，”D.直线不可能与圆相切2．函数的单调增区间为（）A. B.C. D.3．设数列的前项和为，当时，，，成等差数列，若，且，则的最大值为（）A. B.C. D.4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）A. B.C. D.5．函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.7．已知数列满足，且，为其前n项的和，则（）A. B.C. D.8．已知双曲线的左、右焦点分别为，点A在双曲线上，且轴，若则双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.39．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.810．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.11．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为A.1 B.2C.3 D.412．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为A.1 B.2C.4 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数是上的增函数，则实数的取值范围是__________.14．已知过点作抛物线的两条切线,切点分别为A、B,直线经过抛物线C的焦点F,则___________15．在等差数列中，，公差，则_________16．若圆的一条直径的端点是、，则此圆的方程是_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且（1）求证：四点共面；（2）设与交于点，求证：三点共线.18．（12分）设椭圆的焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（1）求椭圆的离心率；（2）如图所示，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的标准方程19．（12分）已知椭圆（）的左、右焦点为，，，离心率为（1）求椭圆标准方程（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：20．（12分）已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.（1）求曲线的方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；21．（12分）在平面直角坐标系中，设点，直线，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，也是PF的中点．，（1）求动点Q的轨迹的方程E；（2）过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N．求直线MN过定点R的坐标22．（10分）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】对于A：可以解决；对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；对于C：全称否定必须是全部否定；对于D：需要观察出所给直线是过定点的.【题目详解】A：，故错误；B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；C：的否定形式是，故错误；D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；故选：D.2、D【解题分析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【题目详解】函数的定义域为令，解得故选：D【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.3、A【解题分析】根据等差中项写出式子，由递推式及求和公式写出和，进而得出结果.【题目详解】解：由，，成等差数列，可得，则，，，可得数列中，每隔两项求和是首项为，公差为的等差数列.则，，则的最大值可能为.由，，可得.因为，，，即，所以，则，当且仅当时，，符合题意，故的最大值为.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列的性质和递推式的应用，考查分析问题能力，属于难题.4、C【解题分析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.【题目详解】用表示这个数列，依题意，，则，，第四个数即.故选：C.5、B【解题分析】方程有两个根，转化为求函数的单调性与极值【题目详解】函数定义域是，有两个零点，即有两个不等实根，即有两个不等实根设，则，时，，递减，时，，递增，极小值＝，而时，，时，，所以故选：B6、A【解题分析】根据递推关系式得到，进而利用累加法可求得结果【题目详解】数列中，，当时，，，，，且，，故选：A7、B【解题分析】根据等比数列的前n项和公式即可求解.【题目详解】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则.故选：B.8、B【解题分析】由双曲线定义结合通径公式、化简得出，最后得出离心率.【题目详解】，，，解得故选：B9、C【解题分析】根据组合数的性质可求解.【题目详解】,或，即或.故选：C10、D【解题分析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.【题目详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，则，令坐标原点为O，中，，又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，所以双曲线的离心率为故选：D11、A【解题分析】延长交延长线于N,则选:A.【题目点拨】涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.12、B【解题分析】设等轴双曲线的方程为抛物线,抛物线准线方程为设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，则,将，代入，得等轴双曲线的方程为的实轴长为故选二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由题意知在上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于的不等式，进而可求其取值范围.【题目详解】解：由题意知，知在上恒成立，则只需，解得.故答案为:.【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在上恒成立问题，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.14、64【解题分析】用字母进行一般化研究,先求出切点弦方程,再联立化简,最后代入数据计算【题目详解】设,点处的切线方程为联立,得由,得即,解得所以点处的切线方程为,整理得同理,点处的切线方程为设为两切线的交点,则所以在直线上即直线AB的方程为又直线AB经过焦点所以,即联立得所以所以本题中所以故答案为:64【题目点拨】结论点睛:过点作抛物线的两条切线,切点弦的方程为15、15【解题分析】由等差数列通项公式直接可得.【题目详解】.故答案为：1516、【解题分析】先设圆上任意一点的坐标，然后利用直径对应的圆周角为直角，再利用向量垂直建立方程即可【题目详解】设圆上任意一点的坐标为可得：，则有：，即解得：故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解题分析】（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题；（2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论.【小问1详解】连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面.【小问2详解】，所以，又平面平面，同理：，平面平面，为平面与平面的一个公共点.又平面平面，即三点共线.18、（1）（2）【解题分析】（1）根据题意得，进而求解离心率即可；（2）根据题意得圆心是线段的中点，且，易知斜率存在，设其直线方程为，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】解：过点的直线方程为，∴原点到直线的距离，由，得，解得离心率.【小问2详解】解：由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程，联立，得.设，则，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.19、（1）；（2）证明见解析【解题分析】(1)由可求出，结合离心率可知，进而可求出，即可求出标准方程.(2)由题意知，，则由直线的点斜式方程可得直线的解析式为，与椭圆进行联立，设，，结合韦达定理可得，从而由斜率的计算公式对进行整理化简从而可证明.【题目详解】（1）解：因为，所以．又因为离心率，所以，则，所以椭圆的标准方程是（2）证明：由题意知，，，则直线的解析式为，代入椭圆方程，得设，，则．又因为，，所以【题目点拨】关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和椭圆的方程后，结合韦达定理，用表示交点横坐标的和与积，从而代入进行整理化简.20、（1）；（2）证明见解析，.【解题分析】（1）设两动圆的公共点为，则有，运用椭圆的定义，即可得到，，，进而得到的轨迹方程；（2），设，，，，设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理法及向量的数量积的坐标表示，即可得到定点.【小问1详解】设两动圆的公共点为，则有由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，设方程为，则，，所以曲线的方程是：【小问2详解】由题意可知：，且直线斜率存在，设，，设直线：，联立方程组，可得，，，因为，所以有，把代入整理化简得，或舍，因为点与点均不重合，所以直线恒过定点21、（1）（2）【解题分析】（1）由图中的几何关系可知,故可知动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即可直接写出抛物线的方程；（2）设出直线AB的方程，把点、的坐标代入抛物线方程，两式作差后，再利用中点坐标公式求出点M的坐标，同理求出点的坐标，即可求出直线MN的方程，最后可求出直线MN过哪一定点.【小问1详解】∵直线的方程为，点R是线段FP的中点且，∴RQ是线段FP的垂直平分线,∵,∴是点Q到直线l的距离,∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴,则动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，但不能和原点重合，即动点Q轨迹的方程为.【小问2详解】设，，由题意直线AB斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，由已知得，两式作差可得，即，则，代入可得，即点M的坐标为，同