2024学年河南省济源英才学校高二上数学期末学业水平测试模拟试题含解析

2024学年河南省济源英才学校高二上数学期末学业水平测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在x轴与y轴上截距分别为，2的直线的倾斜角为（）A.45° B.135°C.90° D.180°2．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（）A. B.C. D.3．若向量，，，则（）A. B.C. D.4．在三棱锥中，，D为上的点，且，则（）A. B.C. D.5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（）A.4 B.8C.16 D.326．直线且的倾斜角为（）A. B.C. D.7．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为（）海里.A. B.C. D.108．现有60瓶饮料，编号从1到60，若用系统抽样的方法从中抽取6瓶进行检验，则所抽取的编号可能为（）A.3，13，23，33，43，53 B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54 D.5，10，15，20，25，309．“”是“直线与互相垂直”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标满足，则的最小值为（）A B.C. D.411．设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.12．已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（）A. B.C D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点作圆的切线，则切线方程为______.14．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___15．已知正方体的棱长为为的中点，为面内一点．若点到面的距离与到直线的距离相等，则三棱锥体积的最小值为__________16．抛物线的焦点坐标是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题p：方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程无实根.若p或q为真，￢q为真，求实数m的取值范围.18．（12分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值19．（12分）已知圆与x轴交于A，B两点，P是该圆上任意一点，AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点.（1）若弦AP长为2，求直线PB的方程；（2）以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，求此时圆C的方程.20．（12分）已知直线经过点，且满足下列条件，求相应的方程.（1）过点；（2）与直线垂直.21．（12分）已知抛物线，直线交于、两点，且当时，.（1）求的值；（2）如图，抛物线在、两点处的切线分别与轴交于、，和交于，.证明：存在实数，使得.22．（10分）已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.（1）当P为弦的中点时，求直线l的方程；（2）若直线l与直线平行，求弦的长.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】按照斜率公式计算斜率，即可求得倾斜角.【题目详解】由题意直线过，设直线斜率为，倾斜角为，则，故.故选：A.2、B【解题分析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.【题目详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.又因为椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.故选：B.3、A【解题分析】根据向量垂直得到方程，求出的值.【题目详解】由题意得：，解得：.故选：A4、B【解题分析】根据几何关系以及空间向量的线性运算即可解出【题目详解】因为，所以，即故选：B5、B【解题分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.【题目详解】双曲线的渐近线方程是直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点不妨设为在第一象限，在第四象限联立，解得故联立，解得故面积为：双曲线其焦距为当且仅当取等号的焦距的最小值：故选：B.【题目点拨】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.6、C【解题分析】由直线方程可知其斜率，根据斜率和倾斜角关系可得结果.【题目详解】直线方程可化为：，直线的斜率，直线的倾斜角为.故选：C.7、C【解题分析】分别在和中，求得的长度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【题目详解】如图所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以.故选：C.8、A【解题分析】求得组距，由此确定正确选项.【题目详解】，即组距为，A选项符合，其它选项不符合.故选：A9、A【解题分析】根据两直线垂直的性质求出，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【题目详解】解：因为直线与互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.10、B【解题分析】由数量积的坐标运算求得，令，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【题目详解】解：根据题意可得，、，所以，令，由约束条件作出可行域如下图所示，由得，即，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为，即，所以故选：B11、D【解题分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量所学点到面的距离公式求解即可.【题目详解】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.因为正方体的边长为4，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量，所以，，即，设，所以，，即，设点到平面的距离为，所以，故选：D.12、D【解题分析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.【题目详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，所以，又因是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故B错误；所以，故A错误；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.【题目详解】因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，故切线方程为：即.故答案为：.14、2π【解题分析】由圆锥的侧面积公式即可求解【题目详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积故答案为：2π.15、##【解题分析】由题意可知，点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线的方程，将直线向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点，此时的面积最小，则三棱锥体积的最小【题目详解】因为为面内一点，且点到面的距离与到直线的距离相等，所以点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则,设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，，直线的方程为，即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由，得，由，得，所以与抛物线相切的直线为，此时切点为，且的面积最小，因为点到直线的距离为，所以的面积的最小值为，所以三棱锥体积的最小值为，故答案为：16、【解题分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【题目详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、.【解题分析】计算命题p：；命题；根据p或q为真，￢q为真得到真假，计算得到答案.【题目详解】若方程的曲线是焦点在轴上的双曲线，则满足，即，即，即若方程无实根，则判别式，即，得，即，即若为真，则为假，同时若或为真，则为真命题，即，得，即实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查了命题的真假计算参数范围，根据条件判断出真假是解题的关键.18、（1）（2）【解题分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【题目详解】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【题目点拨】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.19、（1）或；（2）.【解题分析】（1）根据圆的直径的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；（2）根据题意，结合基本不等式和圆的标准方程进行求解即可.【小问1详解】在方程中，令，解得，或，因为AP，PB的延长线分别交直线于M，N两点，所以，圆心在x轴上，所以，因为，，所以有，当P在x轴上方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：，当P在x轴下方时，直线PB的斜率为：，所以直线PB的方程为：，因此直线PB的方程为或；【小问2详解】由（1）知：，，所以设直线的斜率为，因此直线的斜率为，于是直线的方程为：，令，，即直线的方程为：，令，，即，因为同号，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，于是有以线段MN为直径作圆C，当圆C面积最小时，此时最小，当时，和，中点坐标为：，半径为，所以圆的方程为：，同理当时，和，中点坐标为：，半径为，所以圆的方程为：，综上所述：圆C的方程为.20、（1）（2）【解题分析】（1）直接利用两点式写出直线的方程；（2）先求出直线的斜率，由点斜式写出直线的方程.【小问1详解】直线经过，两点，由两点式得直线的方程为.【小问2详解】与直线垂直直线的斜率为由点斜式得直线的方程为.21、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】（1）将代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的等式，即可解得正数的值；（2）将代入，列出韦达定理，求出两切线方程，进而可求得点的坐标，分、两种情况讨论，在时，推导出、、重合，可得出；在时，求出的中点的坐标，利用斜率关系可得出，结合平面向量的线性运算可证得结论成立.【小问1详解】解：将代入得，设、，则，由韦达定理可得，则，解得或（舍），故.【小问2详解】解：将代入中得，设、，则，由韦达定理可得，对求导得，则抛物线在点处的切线方程为，即，①同理抛物线在点处的切线方程为，②联立①②得，所以，所以点的坐标为，当时，即切线与交于轴上一点，此时、、重合，由，则，又，则存在使得成立；当时，切线与轴交于点，切线与轴交于点，由，得的中点，由得，即，又，所以，所以，，又，所以存在实数使得成立.综上，命题成立.【题目点拨】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次