弹性力学第三章应变分析

弹性力学第三章应变分析第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日§3.1变形与应变的概念刚性位移位移变形位移（平动加转动）（平动和转动及纯变形）ozxyAA’任意一点的位移分量为坐标的函数第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日ozyxAA’MB’BCC’六面体的变形可归结为棱边的伸长(缩短)棱边间夹角的变化正应变剪应变微元体棱边的相对伸长度棱边夹角之间的变化M’第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日oBMzyxaAmb将平行六面体分别投影到3个坐标面上第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日oBMzyxaAmbM点在Ox轴的位移分量为M点在Oy轴的位移分量为A点和B点相应的位移分别为第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日dxdyyoxvubam’b’a’m按多元泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则A点和B点的位移矢量在Ox和Oy轴上的分量可表示为棱边ma变形后的m’a’长度为m’a’=dx+第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日dxdyyoxvubam’b’a’m同理第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日dxdyyoxvubam’b’a’ma’’b’’在小变形下与1相比是一小量，可以略去不计第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日dxdyyoxvubam’b’a’ma’’b’’同理根据第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日顺次轮换和可得其他两个切应变分量当大于零，表示角度缩小，反之则表示角度扩大综上所述。可以得到以下6个关系式第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日几何方程（柯西方程）两边同时除以2，并令三维的柯西方程用张量可以缩写成：第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日其中相对位移张量在二维情况为不对称的张量可分解为如下两部分或第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日为不对称的张量可分解为如下两部分或此处应变张量(纯变形)转动张量张量第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日一点的应变张量称为柯西应变张量

第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日§3.2一点的应变状态

StrainataPoint与应力分析相似，应变分析研究物体内任意一点处各个方向应变之间的关系，即过该点任意方向上的正应变和任意两个相互垂直方向的切应变。通过应变分量坐标变换的方法，可导出相应的表达式。第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日设在直角坐标系oxyz中点M

处的六个应变分量为、、、、。令坐标系绕原点O转动得到新坐标系Ox’y’z’

x’y’z’yxzo现求新坐标系中的应变分量、、、、、第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日新老坐标系之间有如下关系其中li，

mi，

ni（i=1,2,3）表示三个新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。矩阵形式第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日在新坐标系中，表达应变分量和位移关系的几何方程为第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日新旧坐标系中的位移分量之间应具有关系利用方向导数(DirectionalDerivative)公式第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日同理，还可求得其他应变分量表达式，于是可得到（3.24a)第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日记为矩阵形式或记为另一种矩阵形式（3.24b）（3.25）缩写为张量形式Cauchy应变张量为二阶张量(second-ordertensor)

第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日过物体内某一点沿任意方向微分段的伸长率第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日例3.1平行六面体变形如图3.5所示，位移分量设为，，，。试确定：1）E点应变状态，且E点变形后移至E1（1.0503，1.001，1.997）。2）E点在EA方向的线应变。3）E点在EA和EF所确定平面内的角应变。ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1解：1）E点发生的位移为位移分量表达式第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期日由Cauchy方程确定E点的应变状态将E点坐标(1.5,1.2)代入上式得第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期日ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE12）由图3.5可知：设(3.24a)第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期日3）求过E点在EA和EF所确定平面内的角应变。ABCDEGFOxyz1m1.5m2mE1第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期日§3.3主应变与主应变方向

PrincipalstrainanditsDirection剪应变等于零的面主平面(PrincipalPlane)主应变方向(DirectionofPrincipalStrain)主应变(PrincipalStrain)主平面的法线方向主平面上的正应变设在ABC面的法线方向有一矢量Sn，基本概念(BasicConcepts)公式推导(FormulaDerivation)zOACBxynSn在变形过程中，Sn的方向不变只有长度变化为第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期日因Sn与在一条直线上，故Sn与的分量成正比例，即其中sx,sy,sz及，，分别为Sn及在Ox,Oy,Oz轴上投影考虑到同时，根据第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期日其中(where)第一应变不变量(thefirstinvariantofstrains)第二应变不变量(thesecondinvariantofstrains)第三应变不变量(thethirdinvariantofstrains)有三个实根，即主应变，，。最大剪应变maximumshearstrain

第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期日八面体剪应变OctahedralShearStrain一点的Cauchy应变张量可以分解为球形应变张量SphericalStrainTensor偏斜应变张量DeviatoricStrainTensor应变偏张量不变量theInvariantoftheDeviatoricStrainTensor第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期日§3.4应变协调方程

CompatibilityEquationsInTermsofStrains在我们所讲的问题范围内，物体变形后必须保持其整体和连续性，即变形的协调性。从数学的观点说，要求位移函数u,v,w在其定义域内为单值连续函数。容易理解，若把一个矩形物体划分为一些方格，如对应变不加任何约束，即不要求协调性的话，就可能在变形后出现“撕裂”或“套叠”等现象。显然，出现“撕裂”现象后位移函数出现了间断，出现了“套叠”现象后位移函数不会是单值的。这些现象破坏了物体的整体性和连续性。因此，为保持物体的整体性，各应变分量之间，必须要有一定的关系。第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期日柯西公式表明6个应变分量是通过3个位移分量表示的因此这6个应变分量不是互不相关的，必定存在着某种关联。如果以位移为未知函数，并任意给出一组“应变分量”，则柯西方程给出包含6个方程而只有3个未知函数的偏微分方程组，由于方程的个数超出了未知函数的个数，方程组可能是矛盾的要使方程组不矛盾，则6个应变分量必须满足一定的条件第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期日现推导二维情况下的变形协调方程将和分别对y和x求二阶偏导数后相加，得即二维情况下的应变协调方程圣维南方程三维为此，我们从柯西方程中消去位移分量第三十四页，共三十六页，编辑于2023