工程力学-动量原理

动量原理2第20章动量原理§20.1

动量(momentum)(theoremofmomentum)质点的动量

质点的质量m与其速度的乘积，用表示(20.1)

质点的动量是用来表示质点机械运动强弱的一种物理量，是一个矢量，其方向与速度的方向相同。

当质点之间存在力的相互作用时，动量可用来描述质点之间机械运动的传递关系。3质点系的动量

将质点系中各质点的动量的矢量和，定义为质点系的动量。

已知质点系中质点Di，相对于惯性参考空间中某一固定点O的矢径为，其质量为mi，速度为(i=1,2,…,n)，则质点系的动量为(20.2)(质点系质心的矢径公式)对时间求导得到(20.3)(20.4)4上式表明：(1)质点系动量等于想象地将质点系的质量都集中于质心时质心的动量。(2)质点系动量是表示其质心运动的一个特征量，而质心运动只是质点系整体运动的一个部分。质点系的动量的叠加原理(多刚体质点系的动量)

由质点系的动量定义知，质点系的动量符合叠加原理。

当一个质点系由n个刚体组成时，其动量可写成为(20.5)mi——第i个刚体的质量；其中——第i个刚体的质点的速度。例题20.15§20.2

冲量(impulse)

力的冲量是用来度量力在一段时间内的积累效果的。元冲量将dt

定义为任意力在微小时间间隔dt

内的元冲量。冲量(impulse)(20.6)力系的冲量

将作用于质点系上各力(i=1,2,…,n)的冲量的矢量和，定义为力系的冲量。6(20.7)上式表明：(1)力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间隔内的冲量。(2)由于内力系和力偶系的主矢均为零，故这两种力系的冲量也均为零。7§20.3

动量定理

(theoremofmomentum)20.3.1

质点的动量定理质点动量定理的微分形式

由牛顿的第二定律（质点的质量保持不变）(20.8)

即质点的动量的微分等于作用于其上的合力的元冲量，称为质点动量定理的微分形式。8质点动量定理的积分形式(20.9)

即质点在t1至t2时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量，称为质点动量定理的积分形式。

由质点动量定理的微分形式得到9质点系动量定理的微分形式20.3.2

质点系的动量定理

设是作用于质点Di上的质点系内力；是作用于质点Di上的质点系外力，

则质点动量定理的微分形式得到(i=1,2,…,n)(20.10)10

则有(20.11)

上式表明：

质点系的动量的微分等于作用于其上的外力系的主矢的元冲量，称为质点系动量定理的微分形式。质点系动量定理的积分形式(20.12)

上式表明：

质点系在t1至t2时间间隔内动量的改变量等于作用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量，称为质点动量定理的积分形式。

由质点系动量定理的微分形式得到11注意：

尽管质点系的内力不会改变质点系的动量，但它能引起质点系内各个质点的动量的相互改变。动量定理的投影形式

动量定理的表达式都是矢量式，如下

将其向固连于惯性参考空间的直角坐标轴投影，就可得到动量定理的投影表达式，例如向x轴投影：(20.13)(20.14)

*若x轴为方向发生改变的动直角坐标轴，则上述投影式不再成立。1220.3.3

质点系的动量守恒定律(1)若质点系的外力系的主矢

则由质点系动量定理的微分形式

即(2)若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间的直角坐标轴（x轴）的投影

则由动量定理得投影形式

即

以上结论称为质点的动量守恒定律。13*利用动量守恒定律可以解释许多现象：(1)当汽车停放在光滑水平冰面上时，由于汽车发动机的作用力对汽车来说是内力，它的作用力虽可使汽车的主动轮产生转动，但由于光滑冰面无摩擦力，而汽车在水平向前或向后方向上无主动力作用，则汽车的动量在水平方向上的投影守恒，这时无论汽车的发动机的功率无论多大，都不能使汽车向前或向后行驶。(2)同理，对于已经具有一定速度的汽车，此时若仅靠汽车发动机的作用力要使汽车停下来也是不可能的。例题20.214§20.4

质心运动定理

(theoremofmotionofmasscenter)20.4.1

质心运动定理

(theoremofmotionofmasscenter)

质点系的动量

质点系的动量定理的微分形式（对于不变质点系m=const）(20.15)

即质点系的质量与其质心加速度的乘积等于作用于其上外力系的主矢，称为质心运动定理。质心运动定理(theoremofmotionofmasscenter)15解释：(1)质点系的动量定理，只能描述其质心的运动，且与这样一个质点的运动相同，该质点的质量等于该质点系的质量，并受到一个大小和方向与该质点系的外力系的主矢相同的力的作用。(2)质点系质心的这种运动，不仅与质点系的内力无关，而且与作用于其上各外力的作用点位置也无关。刚体系统的质心运动定理

若质点系由n个刚体组成，则(20.16)mi——第i个刚体的质量——第i个刚体的质心加速度1620.4.2

质心运动的守恒定律(lawofconservationofmotionofmasscenter)

当一个质点系由n个刚体组成时，若作用于其上的外力系的主矢，且初始时，系统地质心速度，则由得到——系统的质心相对于某固定点O的矢径(20.17)设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位移为则由质点系质心的矢径公式得到17(20.18)

若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标轴（x轴）投影，且初始时系统的质心速度在该轴上的投影等于零，则(20.19)假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔内产生有限改变量为则由质点系质心的矢径公式得到质心运动的守恒定律18(20.20)

以上结论称为质心运动的守恒定律。质心运动的守恒定律例题20.319§20.5

动量矩

(momentofmomentum)20.5.1

质点的动量矩

将质点D在某瞬时相对于某一确定点O的矢径与其动量的叉积，定义为该瞬时质点D的动量对点O的矩，称为质点对点O的动量矩，记作DxyzO(20.21)(x,y,z)(20.22)质点对点的动量矩为定位矢量20

将质点D对某一固定轴l的动量矩等于质点对该轴上任意一点A的动量矩在该轴上的投影，定义为质点D的动量对轴的矩（又称为质点对轴的动量矩），即——l轴正向的单位矢量(20.23)质点对轴的动量矩为代数量2120.5.2

质点系的动量矩1.质点系对某固定点、固定轴的动量矩

设质点系中质点Di相对于某一固定点O的矢径为质点系中质点Di的动量为(i=1,2…,n)

将质点系中各质点对固定点O的动量矩的矢量和，定义为质点系对该点的动量矩，用表示(20.24)

将质点系中各质点对某一固定轴l的动量矩的代数和，定义为质点系对该轴的动量矩，用表示(20.25)例题20.422Di2.质点系对动点的动量矩

设在惯参考系中任意一动点A，其速度为A

建立平移直角坐标系Ax’y’z’，x’z’y’

设质点系中质点Di相对于动点A的矢径为(20.26)绝对动量(absolutemomentum)

将各质点的质量与其在惯性参考系中的绝对速度的乘积，定义为该质点的绝对动量。绝对动量矩(absolutemomentofmomentum)

将质点系中各质点的绝对动量对动点A的矩的矢量和，定义为质点系对该点的绝对动量矩，用表示(20.27)23相对动量(relativemomentum)

将各质点的质量与其在平移直角坐标系Ax’y’z’中的相对速度的乘积，定义为该质点的相对动量。相对动量矩(relativemomentofmomentum)

将质点系中各质点的相对动量对动点A的矩的矢量和，定义为质点系对该点的相对动量矩，用表示(20.28)质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系24质点系质心的矢径公式质点系质心C相对于动点A的矢径(20.29)质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系25质点系对质心的动量矩

特殊情况，当动点A取为质点系质心C时，(20.30)

即质点系对质心的绝对动量矩和相对动量矩相等，因此可将它们统称为质点系对质心的动量矩。

一般来说，在计算中要比容易计算。质点系对不同两点的动量矩的关系

与力系对不同两点的主矩相似，容易证明，质点系对不同两点O,A（惯性参考空间中固定点或动点）的动量矩的关系为(20.31)——系统的动量2620.5.3

刚体的动量矩

刚体是特殊的质点系，刚体运动形式的不同其刚体的动量矩的计算方法也不同，下面给出几类简单运动的刚体的动量矩。1.平移刚体的动量矩

当刚体作平移时，刚体上各质点相对于质心平移坐标系的相对速度将点A取为质心C(20.33)

即平移刚体对任意确定点O的动量矩等于将平移刚体的质量视为全部集中在质心C上时对点O的动量矩。

当平移刚体的质心作平面曲线运动时，平移刚体对该平面内任一点的动量矩可视为代数量。(20.32)272.定轴转动刚体的动量矩

如图所示，在转轴上任取一点O，建立惯性参考空间的直角坐标系Oxyz，Oxyzdm

定轴转动刚体对定点O的动量矩为28(20.34)

即定轴转动刚体对轴上任一点的动量矩方向一般不沿转轴。当转轴为刚体对点O的惯性主轴时，

则(20.35)这时的方向才沿转轴，且其大小与刚体的角速度成正比，其方向始终与角速度方向相同。29具有质量对称面的定轴转动刚体的动量矩

在工程问题中，大多数定轴转动刚体都有质量对称面，且转轴垂直于质量对称面，不妨设它们的交点为O。O

此时可将刚体简化成质量集中于质量对称面内的平面刚体，转轴z必为刚体对点O的惯性主轴，则矢量均可视为代数量，如图所示(20.36)——定轴转动刚体对转轴z的转动惯量30注意：(1)当Oxyz不是惯性空间中的定直角坐标系，而是与定轴转动刚体固连的动直角坐标系，从推导过程看，式(20.34)依然成立。(2)当Oxyz是惯性空间中的定直角坐标系的情况，Jxz，Jyz是随刚体位置的变化而变化的（由定义知Jz是不变的），是不变矢量；(3)当Oxyz是与定轴转动刚体固连的动直角坐标系的情况，Jxz，Jyz，Jz是常数，而的方向是随刚体的位置的变化而变化的（是不变的矢量）。313.一般平面运动刚体的动量矩

假设平面运动刚体在xy平面内运动，

建立质心平移坐标系Cx’y’z’，

建立惯性参考空间中的直角坐标系Oxyz，

如图所示。xyzOx’y’z’C

则一般平面运动刚体相对于平移坐标系为绕Cz’轴的定轴转动，(20.37)

若一般平面运动刚体沿其质量对称平面运动，Cz’轴为刚体对点C的惯性主轴，则——一般平面运动刚体对Cz’轴的转动惯量(20.38)矢量均可视为代数量，可其用转向表示如图所示。(20.40)C32

一般平面运动刚体对任意固定点A的动量矩为(20.39)33§20.6

动量矩定理

(theoremofmomentofmomentum)20.6.1

质点的动量矩定理

设质量为m的质点D对固定点O的矢径为，作用于其上的合力为，(20.41)

表明，质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的合力对同一点的矩，称为质点的动量矩定理。3420.6.2

质点系的动量矩定理1.质点系对固定点的动量矩定理

设质点系中质点Di的质量为m，为作用于质点系上的内力合力，为作用于质点系上的外力合力，(i=1,2,…,n)(20.42)35(20.43)

表明，质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一点的主矩，称为质点系对固定点的动量矩定理。质点系对固定点的动量矩定理的投影形式

将式(20.43)向某一过点O，且固连于惯性参考空间的直角坐标轴投影（如向z轴投影）(20.44)即质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。例题20.5362.质点系对动点的动量矩定理不要求

根据质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系式

则37(20.45)

又因为（设点O为惯性空间中某一固定点）38(20.46)质点系对动点的动量矩定理的数学表达式39(20.47)质点系对动点的动量矩定理的数学表达式注意：

质点系对动点的动量矩定理与质点系对定点的动量矩定理的形式是不同的，即对于动点A来说，式那种简单形式的动量矩定理一般不成立。但有4种情形例外。40(1)动点A取为质点系质心C：(20.48)

即质点系对其质心的动量矩对时间的一阶导数等于作用其上外力系对质心的主矩，称为质点系相对质心的动量矩定理，其形式与质点系对固定点的动量矩定理完全相同。(2)动点A的加速度为：

动系Ax’y’z’为平移坐标系(20.50)(20.49)平移坐标系Ax’y’z’为惯性参考系41

即：如果在这一惯性参考系中来研究该质点系，则点A就变成为定点，质点系对点A的动量矩即为，对时间的绝对导数就变成了相对导数。的物理本质：

与质点系在在惯性参考系Oxyz中研究时，对定点O的动量矩定理相同，是完全符合逻辑的。这样对惯性参考系就有了进一步的理解了。(3)动点A的加速度与恒保持平行：(20.51)除了此时的动量矩为相对动量矩外，其形式与对定点的动量矩定理相同。42(4)动点A的速度与质心C的速度恒保持平行：

动点A与质心C的距离恒保持不变(20.52)其形式与对定点的动量矩定理完全相同。433.具有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的表达式

若质点系组成的刚体具有质量对称面。

刚体在平面力系或其等效力系作用下（平面力系或其等效力系的作用面与质量对称面重合），其质量对称面沿自身所在的平面运动。

设A为刚体质量对称面或其延拓部分上的某一确定点，

则(20.53)——刚体对过点A且垂直于质量对称面的轴的转动惯量——刚体运动的角速度。刚体运动的角加速度44(20.54)对于上式讨论4种特殊情况：(1)

点A为固定不动的点：

将点A为记为点O，则刚体绕O轴作定轴转动。(20.55)(2)

点A取为刚体的质心C：(20.56)(3)

在某一瞬时，点A变为该平面运动刚体的速度瞬心P：(20.57)一般情况，45b从某个侧面反映了瞬时定轴转动与定轴转动的差别。

假设在不同瞬时平面运动刚体满足（特殊情形），如图所示PC(20.58)沿的方向投影：(20.59)则(20.60)46刚体绕O轴作定轴转动：点A取为刚体的质心C：不同瞬时平面运动刚体满足：比较上述各式可知：(a)当平面运动刚体的速度瞬心P与刚体质心C的距离保持不变时，平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才具有定轴转动的动量矩或对质心的动量矩定理那种简单的形式。(b)均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互垂直的两条固定直线运动是刚体的速度瞬心与其质心的距离保持不变的最常见例子。47(4)

在某一瞬时，点A变为该平面运动刚体的加速度瞬心P*：(20.61)48说明：(1)在运动学（第三章）中在动力学中，一般平面运动刚体的基点选取为质心刚体的一般平面运动随基点的平移绕基点的转动

基点的选择是任意的，只要对描述刚体的运动方便即可。(2)在动力学中，必须将刚体的运动和刚体的受力联系起来。(3)质心运动定理可将刚体的质心运动和外力系的主矢联系起来；相对于质心的动量矩定理可将刚体相对于质心平移坐标系的转动和外力系对质心的主矩联系起来。(4)因此，在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心上是最方便的，因为此时根据质心运动定理和对质心的动量矩定理所建立的平面运动刚体的运动微分方程不仅形式最简单，而且也最不容易出错。(5)由于动量矩定理，可用来描述刚体转动的变化情况，因此，在一些文献中将动量矩称为角动量(angularmomentum)。例题20.6494.质点系动量矩守恒定律

质点系对惯性空间中某一固定点O的动量矩定理(20.43)

质点系对其质心C的动量矩定理(20.48)形式相同(1)若作用于质点系上的外力系对点O的主矩：(2)若作用于质点系上的外力系对惯性空间中某一固定直角坐标系的坐标轴，如z轴的矩：50(3)若作用于质点系上的外力系对点C的主矩：若作用于质点系上的外力系对质心平移直角坐标系的坐标轴，如z’轴的矩：(4)以上结论统称为质点系的动量矩守恒定律。51

体操运动员