河北省唐县第一中学2024学年数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

河北省唐县第一中学2024学年数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④2．已知命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件；命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.3．设，“命题”是“命题”的（）A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．若双曲线的一条渐近线方程为.则（）A. B.C.2 D.45．在等差数列中，，，则公差A.1 B.2C.3 D.46．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（）A B.C. D.67．设集合或，，则（）A. B.C. D.8．在中，，满足条件的三角形的个数为（）A.0 B.1C.2 D.无数多9．（）A. B.C. D.10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当时，，且f(-1)=0，则不等式的解集是（）A. B.C. D.11．过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于A、C与B、D，则四边形ABCD面积最小值为（）A. B.C. D.12．从编号为1~120的商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号66的商品，则下列编号一定被抽到的是（）A.111 B.52C.37 D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为______14．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.15．设函数，若存在实数使得成立，则的取值范围是__________.16．长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点（1）求椭圆的方程（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由19．（12分）如图，在长方体中，，，是棱的中点（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由20．（12分）已知函数在处有极值，且其图象经过点.（1）求的解析式；（2）求在的最值.21．（12分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点坐标为，且经过点；（2）焦点在坐标轴上，经过点.22．（10分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为.（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率；（2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【题目详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A2、C【解题分析】先判断命题p,q的真假，从而判断的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【题目详解】当时，表示圆，故命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件是假命题，命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则是真命题，是假命题，故是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选：C3、A【解题分析】根据充分、必要条件的概念理解，可得结果.【题目详解】由，则或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命题是命题充分且不必要条件故选：A【题目点拨】本题主要考查充分、必要条件的概念理解，属基础题.4、C【解题分析】求出渐近线方程为，列出方程求出.【题目详解】双曲线的渐近线方程为，因为，所以，所以.故选：C5、B【解题分析】由，将转化为表示，结合，即可求解.【题目详解】，.故选:B.【题目点拨】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.6、C【解题分析】按照空间中点到直线的距离公式直接求解.【题目详解】由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.故选：C.7、B【解题分析】根据交集的概念和运算直接得出结果.【题目详解】由题意知，.故选：B.8、B【解题分析】利用正弦定理得到，进而或，由，得，即可求解【题目详解】由正弦定理得，，或，，，故满足条件的有且只有一个.故选：B9、B【解题分析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.【题目详解】故选：B.10、D【解题分析】根据题意可知，当时，，即函数在上单调递增，再结合函数f(x)的奇偶性得到函数的奇偶性，并根据奇偶性得到单调性，进而解得答案.【题目详解】由题意，当时，，则函数在上单调递增，而f(x)是定义在R上的偶函数，容易判断是定义在上的奇函数，于是在上单调递增，而f(-1)=0，则.于是当时，.故选：D.11、A【解题分析】直线AC、BD与坐标轴重合时求出四边形面积，与坐标轴不重合求出四边形ABCD面积最小值，再比较大小即可作答.【题目详解】因四边形ABCD的两条对角线互相垂直，由椭圆性质知，四边形ABCD的四个顶点为椭圆顶点时，而，四边形ABCD的面积，当直线AC斜率存在且不0时，设其方程为，由消去y得：，设，则，，直线BD方程为，同理得：，则有，当且仅当，即或时取“=”，而，所以四边形ABCD面积最小值为.故选：A12、A【解题分析】先求出等距抽样的组距，从而得到被抽到的是，从而求出答案.【题目详解】120件商品中抽8件，故，因为含有编号66的商品被抽到，故其他能被抽到的是，当时，，其他三个选项均不合要求，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据给定条件利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算作答.【题目详解】依题意，这位考生至少得1个A对立事件为物理、政治科目考试都没有得A，其概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为.故答案为：14、【解题分析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【题目详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：15、【解题分析】将变形为，令，，分别研究其单调性及值域，使问题转化为即可.【题目详解】由题，，令，则，由，得，由，得，所以在递减，在递增，所以，令，则，由，得，由，得，所以在递增，在递减，所以，若存在实数使得成立，即存在实数使得成立，即存在实数使得恒成立所以，即，解得，所以取值范围为.故答案为：【题目点拨】关键点点睛：本题解题关键是将所求问题转为存在实数使得恒成立，结合的值域进一步转化为存在实数使得恒成立，再只需即可.16、【解题分析】在长方体中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答.【题目详解】在长方体中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因点H，A，三点共线，令，点，则，又，则，解得，所以点到平面ABCD的距离为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）取的中点，连接，，证明两两垂直，如图建系，求出的坐标以及平面的一个法向量，证明结合面，即可求证；（2）求出的坐标以及平面的法向量，根据空间向量夹角公式计算即可求解.【小问1详解】如图：取的中点，连接，，因为是边长为等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，可得，，因为面面，面面，，面，所以平面，因为面，所以，可得两两垂直，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，由，可得，令，则，所以，因为，所以，因为面，所以平面.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量，由，令，，，所以，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18、（1）；（2）存在；或.【解题分析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.【小问1详解】设，因为直线的斜率为，，所以，可得，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程为【小问2详解】假设存在直线，使得的面积为，当轴时，不合题意，设，，直线的方程为，联立消去得：，由可得或，，，所以，点到直线的距离，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直线：或使得的面积为.19、(1)证明见解析（2）（3）存点，【解题分析】(1)先证明平面，由平面，可证明结论.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的法向量，利用向量法求求解即可.(3)设，,则，则由向量法结合条件可得答案.【题目详解】（1）在长方体中，,又，所以平面又平面,所以.(2)以分别为轴，建立空间直角坐标系因为，，是棱的中点则则为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量.,所以，即取，可得所以如图平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为.(3)设，，则由（2）平面的一个法向量设与平面所成角为则解得，取所以存在点，满足条件.20、（1）（2），【解题分析】（1）由与解方程组即可得解；（2）求导后得到函数的单调区间与极值后，比较端点值即可得解.【题目详解】（1）求导得，处有极值，即，又图象过点，代入可得..（2）由（1）知，令得又，.列表如下：0230+4↘极小值↗1在时，，.【题目点拨】本题考查了导数的简单应用，属于基础题.21、（1）；（2）.【解题分析】（1）利用双曲线定义求出双曲线的实轴长即可计算作答.（2）设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.【小问1详解】因双曲线的焦点坐标为，且经过点，令双曲线实半轴长为a，则有，解得，双曲线半焦距，虚半轴长b有，所以所求双曲线的标准方程为.【小问2详解】依题意，设双曲线的方程为：，于是得，解得：，所以所求双曲线的标准方程为.22、（1）；（2）.【解题分析】（1）将名志愿者进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况，并确定所求事件所包含的情况，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问