福建省福州市长乐区长乐高级中学2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

福建省福州市长乐区长乐高级中学2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（）A. B.C. D.12．函数的导函数的图像如图所示，则（）A.为的极大值点B.为的极大值点C.为的极大值点D.为的极小值点3．已知命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件；命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.4．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.5．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离6．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.7．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）A. B.C. D.8．已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（）A. B.C. D.9．已知圆的圆心在x轴上，半径为1，且过点，圆：，则圆，的公共弦长为A. B.C. D.210．展开式的第项为（）A. B.C. D.11．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.12．下列命题中，真命题的个数为（）（1）是为双曲线的充要条件；（2）若，则；（3）若，，则；（4）椭圆上的点距点最近的距离为；A.个 B.个C.个 D.个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个样本数据为3，3，5，5，5，7，7，现在新加入一个3，一个5，一个7得到一个新样本，则与原样本数据相比，新样本数据平均数______，方差______.（“变大”、“变小”、“不变”）14．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的前2021项和为___________.15．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大16．命题“若，则二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）”的条件：_________，结论:_____________，它是_________命题（填“真”或“假”）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.（1）求数列{}和数列}的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.①记，求{}的通项公式；②求的值.19．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门科目中自选3门参加考试．下面是某校高一200名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示（1）求频率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第60百分位数；（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目，求小明选中“技术”的概率20．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点（1）证明：平面PCD；（2）若PB与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正弦值21．（12分）已知数列与满足（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第k项是数列的最小项，即恒成立．求证：的第k项是数列的最小项；（3）设．若存在最大值M与最小值m，且，试求实数的取值范围22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】直接由点面距离的向量公式就可求出【题目详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B2、A【解题分析】由导函数的图像可得函数的单调区间，从而可求得函数的极值【题目详解】由的图像可知，在和上单调递减，在和上单调递增，所以为的极大值点，和为的极小值点，不是函数的极值点，故选：A3、C【解题分析】先判断命题p,q的真假，从而判断的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【题目详解】当时，表示圆，故命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件是假命题，命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则是真命题，是假命题，故是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选：C4、D【解题分析】由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.5、B【解题分析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.【题目详解】由可得圆心为，半径，由可得圆心为，半径，所以圆心距为，所以两圆相外切，故选：B.6、D【解题分析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【题目详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【题目点拨】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.7、A【解题分析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.【题目详解】设，则，∴R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：A.8、D【解题分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标.【题目详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：，由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点，由得：，以为直径的圆恒过定点.故选：D.9、A【解题分析】根据题意设圆方程为:,代点即可求出,进而求出方程,两圆方程做差即可求得公共弦所在直线方程,再利用垂径定理去求弦长.【题目详解】设圆的圆心为,则其标准方程为:,将点代入方程,解得,故方程为:,两圆,方程作差得其公共弦所在直线方程为:,圆心到该直线的距离为,因此公共弦长为,故选:A.【题目点拨】本题综合考查圆的方程及直线与圆,圆与圆位置关系,属于中档题.一般遇见直线与圆相交问题时,常利用垂径定理解决问题.10、B【解题分析】由展开式的通项公式求解即可【题目详解】因为，所以展开式的第项为，故选：B11、B【解题分析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.【题目详解】故选：B.12、A【解题分析】利用方程表示双曲线求出的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误，可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.【题目详解】对于（1），若曲线为双曲线，则，即，解得或，因为或，因此，是为双曲线的充分不必要条件，（1）错；对于（2），若，则或，（2）错；对于（3），，则，（3）对；对于（4），设点为椭圆上一点，则且，则点到点的距离为，（4）错.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.不变②.变大【解题分析】通过计算平均数和方差来确定正确答案.【题目详解】原样本平均数为，原样本方差为，新样本平均数为，新样本方差为.所以平均数不变，方差变大.故答案为：不变；变大14、【解题分析】根据题意求出，代入中，再利用裂项相消即可求出答案.【题目详解】由是等差数列且，可知：，故.，数列的前2021项和为.故答案为：.15、5【解题分析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.【题目详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，设二次函数的解析式为，所以，解得，即，则营运的年平均利润，当且仅当，即时取等号故答案为：5.16、①.②.二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）③.真【解题分析】由二元一次不等式的意义可解答问题.【题目详解】因为，二元一次不等式所表示的区域如下图所示：所以在的条件下，二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界），此命题是真命题.故答案为：；二元一次不等式表示直线的右上方区域（包含边界）；真三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），.【解题分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.【题目详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，∴，即，；（2）∵，∴前项和.∴前项和，.18、（1），（2）①；②【解题分析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.【小问1详解】设数列{}的公差为d，则d=1，由，即，可得，所以{}的通项公式为；由可知：当，得，当时，，两式相减得；，即，所以{}是以为首项，为公比的等比数列，故.【小问2详解】①，两式相加，得所以；②，，两式相减得：，故.19、（1）=0.005（2）232（3）【解题分析】（1）由频率和为1列方程求解即可，（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第60百分位数在第4组内，设第60百分位数为，则0.45+0.0125×(−220)=0.6，从而可求得结果，（3）利用列举法求解即可【小问1详解】由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.0075++0.0025)×20=1，解得=0.005【小问2详解】因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.6，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20=0.7>0.6，所以三科总分成绩的第60百分位数在[220，240)内，设第60百分位数为，则0.45+0.0125×(−220)=0.6，解得=232，即第60百分位数为232【小问3详解】将物理、化学、生物、政治、技术5门学科分别记作．则事件A表示小明选中“技术”，则，所以P(A)=20、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质得到平面，连接，即可得到为与底面所成角，令，，利用锐角三角函数的定义求出，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小问1详解】解：证明：在正中，为的中点，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小问2详解】解：如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，连接，则为与底面所成角，即．不妨取，，，，∴以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，∴，设面的一个法向量为，则由令，则，又因为面，取作为面的一个法向量，设二面角为，∴，∴，因此二面角的正弦值为21、（1）（2）证明见解析．（3）【解题分析】（1）由已知关系得出是等差数列及公差，然后可得通项公式；（2）由已知关系式，利用累加法证明对任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得