平面向量高考真题(一)

平面向量高考真题精选（一）

一.选择题（共20小题）

1.（2017•新课标H）设非零向量£源足4+百=q->则（）

A.a-LbB.Ial=|bC.a〃bD-IalIb

2.（2017•新课标H）已知aABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一

点，则以*（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.—-C.—-D.-1

23

3.（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,

AC与BD交于点。，记11=赢•而，12=而•无，心反•而，则（）

A.Ii<l2<hB.Ii<l3<l2c.13Vli<12D.12<11<13

4.（2017•新课标HI）在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且

与BD相切的圆上.若显入标+口菽，则入+口的最大值为（）

A.3B.2近C.遍D.2

5.（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2«,平面ABC内的动点P,M满

足I屈=1，而=筱，则I而2的最大值是（）

A43_B49c37+6^37+2女

'V'V'4'T~

6.（2016•新课标H）己知向量系（1,m）,正（3,-2）,且（家5）±b-则

m=（）

A.-8B.-6C.6D.8

7.（2016•天津）已知aABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、

BC的中点，连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则屈•前的值为（）

A.-aB.1C.LD.

8488

8.（2016•山东）已知非零向量7，W满足4|^|=3|n，cos<7，三〉=工若

3

（t》三），则实数t的值为（）

A.4B.-4c.且D.一旦

44

9.（2016•四川）在平面内，定点A,B,C,D满足|瓦|=|DB|=|DC|-

DA*DB=DB*DC=DC.DA=-2,动点P,M满足|薪|=1,而=而，则I而产的最大值

是（）

A43_B49c37+6我）37+2房

'444-4

10.（2016•新课标HI）已知向量加=（上，1），BC=（近，［），则NABC=（）

2222

A.30°B.45°C.60°D.120°

11.（2015•新课标I）设D为^ABC所在平面内一点，BC=3CD）则（）

A-AD=-yAB+yACB-ADAB-yAC

.»A»1»•A.1.

c-ADjAB'ACD.AD^7AB-T-AC

OO00

12.（2015•新课标I）已知点A（0,1）,B（3,2）,向量讼（-4,-3）,则

向量BC=（）

A.（-7,-4）B.（7,4）C.（-1,4）D.（1,4）

13.（2015・四川）设向量W=（2,4）与向量E=（x,6）共线，则实数x=（）

A.2B.3C.4D.6

14.（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60",则丽•而=（）

A.-羽B.-%c.%D.Jia2

2442

15.（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|国=6,|AD=4,若点M、N

满足丽=3元，DN=2NC＞则京•加=（)

A.20B.15C.9D.6

16.（2015•安徽）AABC是边长为2的等边三角形，已知向量W，己满足语

AC=2a+b»则下列结论正确的是（）

A.|bl=lB.a±bC.a*b=lD.（4a+b）±BC

17.（2015・广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，

AB=（1，-2）,AD=（2,1）则屈・75=（）

A.5B.4C.3D.2

18.（2015•重庆）若非零向量W，6菌足G|=冬但后且（a-b）±（3a+2b）»

3

则W与芯的夹角为（）

A.2LB.2Lc.12LD.n

424

19.（2015•重庆）已知非零向量且，b满足।bl=4laL且a，（2a+b）则a与b

的夹角为（）

A.2LB.—c.22LD.

3236

20.（2015•福建）设奈（1,2）,b=（1，1），c=a+kb，若E1W，则实数k的值

等于（）

A.--B.--C.D.—

2332

二.填空题（共8小题）

21.（2017•新课标I）已知向量的夹角为60。，|3=2,后|=1,则|春25|=.

22.（2017•天津）在aABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若加=2而，AE=AAC-AB

（入SR）,且AD・AE=-4,则入的值为.

23.（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=l上，点A的坐标为（-2,0）,0为原

点，则16•屈的最大值为一.

24.（2017•山东）已知看7,-T是互相垂直的单位向量，若加募-/与T+入言

的夹角为60。，则实数人的值是—.

26.（2017•新课标I）已知向量言（-1,2）,b=（m,1）,若向量W+5与W垂直,

则m=.

27.（2016•新课标I）设向量丁（m,1）,b=（1，2）,且IW+E代二产+总产，

则m=.

28.（2016•山东）已知向量”（1,-1）,b=（6,-4）,若（tg+4），则实

数t的值为一.

三.解答题（共2小题）

29.（2017•山东）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB-AC=

-6,SAABC=3>求A和a.

30.（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量恐（返，-返），7（sinx,

22

cosx）,xG（0,2L）.

2

（1）若求tanx的值；

（2）若7与若的夹角为工，求x的值.

3

平面向量高考真题精选（一）

参考答案与试题解析

一.选择题(共20小题)

1.(2017•新课标H)设非零向量W，百黄足1高百=G-讶则()

A.a-LbB.Ial=IblC.a〃bD.Ial>Ibl

【解答】解：...非零向量W，b^>£la+bl=la-bl，

•,(a+b)J(a-b)4

解得a•b=0,

aJLb-

故选:A.

2.（2017•新课标H）已知^ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一

点，则而*（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.--C.--D.-1

23

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点,

贝UA（0,遥），B（-1,0）,C（1,0）,

设P(x,y),则而=(-x,遥-y),PBF(-1-X,-y),PC=(1-x,-y),

WJPA*(ra+PC)=2x2-2Vsy+2y2=2[x2+(y-VJ)2-2]

24

.,.当x=0,丫=在时，取得最小值2义(-W)=-―,

242

故选：B

3.（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,

AC与BD交于点0,记11=5京而，12=55•前，I3=OC*OD)则()

A.II<I2<I3B.Ii<l3<l2C.13<11<12D.12<11<13

【解答】解：VAB±BC,AB=BC=AD=2,CD=3,

.,.AC=2&,

/.ZAOB=ZCOD>90o,

由图象知OACOC,OB<OD,

•"•0>QA*0B>0C*0D.0B*0C>0,

即13Vli〈k，

故选：c.

4.(2017•新课标III)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且

与BD相切的圆上.若加入标+|1菽，则入+|1的最大值为()

A.3B.2&C.遍D.2

【解答】解：如图：以A为原点，以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所

示的坐标系，

贝(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),

•.•动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r,

VBC=2,CD=1,

•*,BD=^22+1

A^BC*CD=^BDT,

22

二・圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=A,

5

设点P的坐标为(2叵。sB+1,2叵in0+2),

55

••,国标+屈，

二(2如cosB+l,2恒me+2)=人(1,0)+口(0,2)=(入，2口),

55

2遥cose+l=入,当度sinB+2=2pi,

55

.,.入+,=2迷cosB+^sine+2=sin(0+4))+2,其中tar)6=2,

55

•；-lWsin(0+4))Wl,

.•.14+昨3,

故入印的最大值为3,

故选：A

5.（2016•四川）已知正三角形ABC的边长为2«,平面ABC内的动点P,M满

足1靠=1，而=元，则I面J?的最大值是（）

A43_B49c37+673D37+2^

'"T'V'_4'4-

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.

B（0,0）,C（273，0）.

AG/5，3）.

M满足|API=1,

・••点P的轨迹方程为：（x二年）2+（y_3）2=l,

令x=7^cos&y=3+sin0,0^[0,2n）.

••/前2=（竽蒋cos8）2+（_|卷sin8）2=.+3sin（8!产普.

AIBM2的最大值是坐

4

6.（2016•新课标H）已知向量X（1，m）,b=（3,-2）,且（a+b）±b»则

m=（）

A.-8B.-6C.6D.8

【解答】解：•••向量（1.m）,b=（3,-2）,

a+b=（4,m-2）,

又丁（a+b）J-b，

/.12-2（m-2）=0,

解得:m=8,

故选：D.

7.（2016•天津）已知4ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、

BC的中点，连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则屈•前的值为（）

A.B.LC.1-D.AL

8488

【解答】解：如图，

VD.E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF,

AF*BC=（AD+DF）-BC=

XI2

4xixixH4

故选：C.

8.（2016•山东）已知非零向量7,疏足4片|=3|；|,cosV=,三>=工若

3

（t方W），则实数t的值为（）

A.4B.-4C..1D.--1

44

【解答】解：,入IT=3nl,cosVrr，n>=—»n-L（tir+n），

3

n,（tn+n）=tir*n+n2^Iirl•In+1n2=（—+1）n2=0,

34

解得：t=-4,

故选:B.

9.（2016•四川）在平面内，定点A,B,C,D满足|瓦|=|DB|=|DCb

DA*DB=DB«DC=DC*DA=-2,动点P,M满足|=1,PN=MC，则I氤产的最大值

是()

A43_B49c37+6V3D37+2低

''V'-4-'4-

【解答】解:由血|=|而|=|&|，可得D为AABC的外心，

又瓦•辰瓦•瓦庆・X，可得

DB*(DA-DC)=0,DC*(DB-DA)=0，

即瓦・75=前•屈=0,

即有而_LM，DC1AB)可得D为^ABC的垂心，

则D为4ABC的中心，即aABC为正三角形.

由X•辰-2,即有IX；5瓦13120。=-2,

解得IDAl=2,AABC的边长为4cos30。=2«,

以A为坐标原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系xOy,

可得B(3,-痘),C(3,如),D(2,0),

由|而|二1,可设P(cos0,sinQ),(0<6<2n),

由而=而，可得M为PC的中点，即有M(3+cos9,—+sin8),

_22

则I前2=c-3+cos8)2+(日+sinS+花2

22

=(3cosB)24(3^+sin8)2=376cos8+6V^sin8

444

/c兀、

37+12sin(0T")

_---------------6--,

4

当sin(0-2L)=i,即e=22L时，取得最大值，且为91

634

故选:B.

10.（2016•新课标III）已知向量尾（1,1），BC=（返，上），则NABC=（）

2222

A.30°B.45°C.60°D.120°

【解答】解：威•五夺百邛，|BA|=|BC|=1;

瓦•安

,•cos/ABOM.

IBAI|BC2

又0°WNABCW180°；

,ZABC=30°.

故选A.

11.（2015•新课标I）设D为AABC所在平面内一点，BC=3CD»则（）

A-AD=-yAB+yACB-ADAB-yAC

UAD^AB+^-ACD.ADAB-yAC

【解答】解：由已知得到如图

由标二版+BD=AB+yB^AB+y（AC-AB）=-yAB号正；

故选:A.

BCD

12.(2015•新课标I)已知点A(0,1),B(3,2),向量同=(-4,-3),则

向量前=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)

【解答】解：由已知点A(0,1),B(3,2),得到语(3,1),向量正=(-4,

-3),

则向量前=正-息(-7,-4)；

故答案为：A.

13.(2015•四川)设向量U(2,4)与向量正(x,6)共线，则实数x=()

A.2B.3C.4D.6

【解答】解；因为向量奈(2,4)与向量正(X,6)共线，

所以4x=2X6,解得x=3；

故选:B.

14.(2015•山东)已知菱形ABCD的边长为a,ZABC=60°,则丽•而=()

A.-la2B.-2a2C.2a2D.2a2

2442

【解答】解：•菱形ABCD的边长为a,ZABC=60°,

222

/.g^=a,BA,BC=aXaXcos60°=A_a,

2

则BD・CD=(BA+BC)・BA=就4+就•丽二日一

故选：D

15.（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，而=6,|AD=4,若点M、N

满足方=3元，DN=2NC＞则赢•加=（）

A.20B.15C.9D.6

【解答】解：..•四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足而=3而而=2而

.,.根据图形可得：嬴=瓦+上前=凝/屈，

♦，—•Q.—•Q♦

AN=AD+^DC=AT+^AB.

•••NM=AM-AN^

VAM-ffl=AM*(AM-AN)=AM2-Afl-AN-

而=次+!凝•AC+^AD2-

。熊2彘2金而金凝石,

342

IABl=6,IADI=4,

•而=工冠二_而=12-3=9

316

故选：C

16.（2015•安徽）AABC是边长为2的等边三角形，已知向量W，京茜足语2）

AC=2a+b.则下列结论正确的是（）

A.bl=lB.albC.a«b=lD.（4a+b）IBC

【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，a，百茜足屈=2二A^2a+b-

又记二族+前，..工的方向应该为正的方向.

所以足，b=BC»

所以|b1=2,a-^lX2Xcosl20°=-1,

4a-X1X2Xcosl20°=-4,铲=4,所以公吊+针=0，即（4a+b）•良0，即

（4a+b）»BC=0,所以（4a+b）lBC;

故选D.

17.（2015・广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形,

AB=（1，-2）,AD=（2,1）则AD・AC=（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，法族+B（3,-1）.

/.AD•AC=3X2+（-1）X1=5.

故选：A.

18.（2015•重庆）若非零向量W，百靖足=3巨|口，且G-E）±（3a+2b）»

3

则W与E的夹角为（）

A.2LB.2Lc.12LD.TI

424

【解答】解：（a_b）-L（3a+2fc＞），

，（a-b）•（3a+2b）=0,

即3^-2b2-a«b=0,

即某正=3募-2官=2*，

3

即<W，b>=->

4

故选：A

19.（2015•重庆）已知非零向量a，b满足।bl=4且a，（2a+b）则a与b

的夹角为（）

A.2LB.2Lc.2K-D.

3236

【解答】解：由已知非零向量且，b满足।41aL且a，（2a+b），设两

个非零向量a，b的夹角为①

所以a・（2a+b）=6即凄+白日皿8=。，所以处。=卷，。右[0,n],

所以e卫二

3

故选C.

20.（2015•福建）设系（1,2）,奉（1,1）,^a+kb.若E13，则实数k的值

等于()

A.--B.--C..5.D.—

2332

【解答】解：•.•奈(1,2),二(1,1),

•・cFa+kfcF(1+k,2+k)

,**b_Lc，••b*CFO,

，l+k+2+k=0,解得k=--

2

故选：A

二.填空题（共8小题）

21.（2017•新课标I）已知向量W，E的夹角为60。，G=2,|bl=l.则《+2讨=

2立—•

【解答】解：【解法一】向量W，4的夹角为60。，且|』=2,后1=1,

；•（；+2而2=片+4：己+4铲

=22+4X2X1Xcos60°+4XI2

=12,

Ia+2b1=2愿.

【解法二】根据题意画出图形，如图所示;

结合图形正加+imW+2%

在△OAC中，由余弦定理得

Ioc=V22+22-2X2X2Xcosl20°=2^f

BPIa+2bl=25/3-

故答案为：2M.

22.（2017•天津）在aABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2.若加=2前，AE=AAC-AB

（入SR）,且标•启-4,则入的值为A.

—11―

【解答】解:如图所示，

△ABC中，ZA=60°,AB=3,AC=2,

BD=2DC»

-AD=AB+BD

=屈+2前

3

=AB+-（AC-AB）

3

」诬+马运

33

X^=XAC-AB（入WR），

•e•AD-AE=（1AB+-^AC）•（AAC-AB）

33

=（耳-2）AC--2+^AC'

333At53氏

=(1A-2.)X3X2Xcos60°-lx32+^AX22=-4,

3333

-HA=I,

3

解得人=且.

11

23.（2017•北京）已知点P在圆x2+y2=l上，点A的坐标为（-2,0）,。为原

点，则15♦前的最大值为6.

【解答】解：设P（cosa,sina），A0=（2,0）,AP=（cosa+2,sina）.

则正・Q=2（cosa+2）W6,当且仅当cosa=l时取等号.

故答案为：6.

24.（2017•山东）已知二,77是互相垂直的单位向量，若后二”与看？入U

的夹角为60。，则实数人的值是甚.

一且一

【解答】解：『，T是互相垂直的单位向量，

ele2

/1=1,且看7・7>o；

又后与T+入土的夹角为60°，

•••（际-可,（］人［）=1阳-寸X£+人［Xcos60。,

即百原2+（我入一i）----入［2=后肛嬴专可X

后2+2人.E+入至2%/,

化问得-入=y3+ix+入2xA-,

即仃-入寸1+入2,

解得人=返.

3_

故答案为：返.

3

25.(2017•新课标HI)已知向量4=(-2,3),b=(3,m),且则m=2.

【解答】解：•:向量于(-2,3),b=(3,m),且aj_b，

・・a•比-6+3m=0,

解得m=2.

故答案为：2.

26.(2017•新课标I)已知向量奈(-1,2),b=(m,1),若向量春了与W垂直,

贝Um=7.

［解答］解：•向量于(-1,2),b=(m,1),

・'・a+y(-1+m，3),

••,向量W+E与W垂直，

/.(a+b)(-1+m)X(-1)+3X2=0,

解得m=7.

故答案为：7.

27.（2016•新课标I