三角形的内切圆 市赛获奖

三角形的内切圆1、确定圆的条件是什么？1.圆心与半径2、叙述角平线的性质与判定性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心知识回顾ACBO2.不在同一直线上的三点

李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。思考ABC三角形的内切圆CBADFEOr课题思考下列问题：1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。

2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心0在∠ABC,∠ACB的两个角的角平分线的交点上。OMABCNO图2ABC探究：三角形内切圆的作法3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？

4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？

作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。

只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。IFCABED探究：三角形内切圆的作法作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。DMN探究：三角形内切圆的作法1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。识记2、性质:内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角。3、和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。O图2ABC三角形的外心与内心对照画出的图形，讨论解决下列问题：1、什么是三角形的外心与内心?2、试比较三角形的外心与内心的区别，并填表：实质

性质三角形的外心三角形的内心外心是指三角形外接圆的圆心内心是指三角形内切圆的圆心三角形各边垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等三角形各内角角平分线的交点三角形各内角角平分线的交点

外心（三角形外接圆的圆心）

名称确定方法图形性质三角形三边中垂线的交点

(1)OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点

（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。分析：

∠O=?

∠1+∠3=?

O为△ABC的内心

BO是∠ABC的角平分线

CO是∠ACB的角平分线

OA243BC1三角形内心性质的应用解：

∵点O为△ABC的内心∴∠1＝∠2＝

∴∠BOC=1800-(∠1+∠2)=1800-(250+37.50)=117.50∴∠BOC=117.50C1O243BA三角形内心性质的应用延伸与拓展如图，在△ABC中，∠A=n°，点I是内心，求∠BIC的度数。解：∠BIC=1800－(∠IBC+∠ICB)

=1800－=1800－=1800－900+＝900+一般地：△ABC的内心为Ｉ，∠A=n0则∠BIC＝900+3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（）（A）70°

（B）110°

（C）120°

（D）130°

CABRrOD例2、求等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。解：由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆设内切圆切BC于D，连接OB，OD于是就有sin∠OBD=sin30°=知识的应用

例3

如图，△ABC中，O是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证：DO＝DB练习分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。CBAEDFOr引例解：因为△ABC的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，由切线长定理知AE=AF,CE=CD,BD=BF∴AF+BD+CE=(AB+AC+BC)∵BD+CE=∴AF=13-9=4BD+CD=BC=9=13ABCOabcDEr如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm则其内切圆的半径为______。如图:直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c则其内切圆的半径为:2cmr=a+b-c2练习2、圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_______DACBD·O·ABCDO延伸与拓展菱形1、判断：如图：1、△ABC是圆D的外切三角形。（）

2、圆D是△ABC的外接圆。（）

3、△ABC是圆O的外接三角形。（）2、到三角形三边距离相等的点是三角形的（）

A、内心B、外心3、