《概率论与数理统计》课件第三章多维随机变量及其分布

1第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量联合分布第二节边缘分布第三节条件分布第四节相互独立的随机变量第五节二维随机变量的函数的分布为何引入多维随机变量？引例1射击打靶，弹着点是靶面上的一点，无法用一个变量来表示，但可以以靶心为原点建立平面直角坐标系，每一弹着点用其坐标(X,Y)表示，这就是二维随机变量.一维随机变量及其分布迁移引例2考察某地一天的天气情况,即同时考虑最高气温、最低气温、气压、风力、降雨量，这就需要5个变量来表示可能的试验结果，这就是五维随机变量.多维随机变量及其分布123452§3.1二维随机变量要点：联合分布函数、联合分布律、联合概率密度的性质和计算一、二维随机变量及其联合分布函数E是一个随机试验，X和Y是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量，向量(X,Y)称做二维随机变量.

xyO(x,y)xOx1y2x2y1y有了联合分布函数，就可以计算(X,Y)落入某一区域的概率：联合分布函数F(x,y)的性质(1)单调性：F(x,y)是关于变量x和y的单调不减函数.(2)规范性：0≤F(x,y)≤1，且

F(−,y)=0,

F(x,−)=0,F(−,−)=0,

F(+,+)=1.(3)右连续性：F(x,y)关于x和y都右连续.(4)非负性：对于任意x1<x2，y1<y2，有

F(x2,y2)−F(x1,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0.注：满足这四条性质的二元函数,一定是某个二维随机变量的分布函数.5二、二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列对.YX性质分布函数

联合分布律表6例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布律.解:X=i,i=1,2,3,4.Y=j,ji.123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX

7二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)可表示成：F(x,y)=_x001A_−∞_x001B_𝒚_x001B__x001A_−∞_x001B_𝒙_x001B_𝒇_x001A_𝒖,

𝒗_x001B_𝒅𝒖_x001B_𝒅𝒗_x001B_,其中f(x,y)为非负可积函数，称为(X,Y)的联合概率密度．二维连续型随机变量最重要的量：联合概率密度8联合概率密度f(x,y)的性质(1)非负性：

f(x,y)≥0.

满足这两条性质的二元函数,一定是某个二维随机变量的联合概率密度函数.务必记住这个公式！9

x+y=1x+y1Oxy1

10(x,y)xyO

yxOG

X-型

Y-型

y101x

ⅣⅡⅢⅤⅠⅠⅠ

13

X-型

Y-型

综上P{𝑿+𝒀≤𝒛}

101

xyⅠⅡⅢⅣ

综上：

15常见二维连续型随机变量的分布：均匀分布，二维正态分布1均匀分布2(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=_x001A__x001A_&_x001A_𝟏_x001B_𝑨_x001B_,

_x001A_𝒙,𝒚_x001B_∈𝑮;_x001B_&𝟎,

其他._x001B__x001B_其中A为平面区域G的面积.3注：(X,Y)在G上服从均匀分布即(X,Y)落在G内各点是等可能的.4二维正态分布若(X,Y)的联合概率密度为−∞<𝒙<+∞,

−∞<𝒚<+∞,

f(x,y)=_x001A_𝟏_x001B_𝟐𝝅_x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B__x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B__x001A__x001B_𝟏−_x001A_𝝆_x001B_𝟐_x001B__x001B__x001B__x001A_𝒆_x001B_−_x001A_𝟏_x001B_𝟐_x001A_𝟏−_x001A_𝝆_x001B_𝟐_x001B__x001B__x001B__x001A__x001A__x001A__x001A_𝒙−_x001A_𝝁_x001B_𝟏_x001B__x001B__x001B_𝟐_x001B__x001B__x001A__x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B__x001B_𝟐_x001B__x001B_−𝟐𝝆_x001A__x001A_𝒙−_x001A_𝝁_x001B_𝟏_x001B__x001B__x001A_𝒚−_x001A_𝝁_x001B_𝟐_x001B__x001B__x001B__x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B__x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B__x001B_+_x001A__x001A__x001A_𝒚−_x001A_𝝁_x001B_𝟐_x001B__x001B__x001B_𝟐_x001B__x001B__x001A__x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B__x001B_𝟐_x001B__x001B__x001B__x001B_,其中_x001A_𝝁_x001B_𝟏_x001B_,

_x001A_𝝁_x001B_𝟐_x001B_,

_x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B_,

_x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B_,

𝝆都是常数，且_x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B_>𝟎,_x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B_>𝟎,−𝟏<𝝆<𝟏，则称(X,Y)服从参数为_x001A_𝝁_x001B_𝟏_x001B_,

_x001A_𝝁_x001B_𝟐_x001B_,

_x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B_,

_x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B_,

𝝆的二维正态分布，记为(X,Y)~N_x001A__x001A_𝝁_x001B_𝟏_x001B_,

_x001A_𝝁_x001B_𝟐_x001B_;_x001A__x001A_𝝈_x001B_𝟏_x001B__x001B_𝟐_x001B_,_x001A__x001A_𝝈_x001B_𝟐_x001B__x001B_𝟐_x001B_;𝝆_x001B_.17二维正态分布的图像18四、多维随机变量

193.2边缘分布要点：边缘分布函数、边缘分布律、边缘概率密度的性质和计算20边缘分布函数定义

设(X,Y)为二维随机变量，其分布函数为F(x,y).边缘分布函数可以由X与Y的联合分布函数F(x,y)唯一确定，反之不成立.

(X,Y)关于X的边缘分布函数(X,Y)关于Y的边缘分布函数

21离散型随机变量的边缘分布律

(X,Y)关于X的边缘分布律

(X,Y)关于Y的边缘分布律

22边缘分布律的性质

边缘分布律表格形式1XY联合分布律边缘分布律边缘分布律(2)

例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值，另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的边缘分布律.

123412341/41/81/121/1601/81/121/16001/121/160001/16YX

24连续型随机变量的边缘概率密度(X,Y)为二维连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)，则X和Y都是连续型随机变量，其概率密度_x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B_(x)和_x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(y)的计算公式为：_x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B_(x)=_x001A_−∞_x001B_+∞_x001B_𝒇_x001A_𝒙,𝒚_x001B_𝒅𝒚_x001B_,−∞<𝒙<+∞_x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(y)=_x001A_−∞_x001B_+∞_x001B_𝒇_x001A_𝒙,𝒚_x001B_𝒅𝒙_x001B_,−∞<𝒚<+∞_x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B_(x)和_x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(y)分别称为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度.25例2设(X,Y)在区域G(如图)上服从均匀分布，求其边缘概率密度．x解：由于(X,Y)服从均匀分布，故其概率密度为Gr

注：从此例可以看出，二维均匀分布的边缘分布不一定是均匀分布！

解：由已知条件得

注：从此例可看出，1、只有边缘分布不能确定联合分布.2、二维正态分布的边缘分布仍是正态分布；反之不成立！273.3条件分布No.1要点：条件分布律、条件概率密度的性质和计算条件分布实际上是第一章讲过的条件概率在另一种形式下的重复.No.2条件分布实际上是第一章讲过的条件概率在另一种形式下的重复.28第一章中，介绍了条件概率:事件B发生条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.该分布就是条件分布.321429二维离散型随机变量的条件分布律

类似可定义在X=xi条件下随机变量Y的条件概率分布.30注：条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质：

对于二维离散型随机变量，可直接利用分布律表求条件概率.103X04Y05求P{Y=_x001A_𝒚_x001B_𝒋_x001B_|X=_x001A_𝒙_x001B_𝒊_x001B_}06求P{X=_x001A_𝒙_x001B_𝒊_x001B_|Y=_x001A_𝒚_x001B_𝒋_x001B_}0102例1一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1)，射击直至击中目标两次为止.设以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数，试求X和Y的联合分布律及条件分布律．解：记{X=m}表示首次击中目标时射击m次.则m=1,2,…

记{Y=n}表示第二次击中目标时的射击总次数,则n=m+1,m+2,…

33再求边缘分布律.m=1,2,…n=2,3,…

34所以，当n=2,3,…时，m=1,2,…,n−1.当m=1,2,…时，n=m+1,m+2,…注：本例中边缘分布和条件分布都可以不通过联合分布来求，而是利用第一章的办法直接求出.

35连续型随机变量的条件概率密度

1.条件分布函数36条件概率密度设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度f(x,y)在(x,y)处连续，边缘概率密度_x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(y)连续，且_x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(𝒚)>𝟎，则在条件Y=y下X的条件分布函数和条件概率密度分别为类似可得_x001A_𝒇_x001B_𝒀|𝑿_x001B__x001A_𝒚_x001B_𝒙_x001B_=_x001A_𝒇_x001A_𝒙,𝒚_x001B__x001B__x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B__x001A_𝒙_x001B__x001B_,

_x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B__x001A_𝒙_x001B_>𝟎._x001A_𝑭_x001B_𝑿|𝒀_x001B__x001A_𝒙_x001B_𝒚_x001B_=_x001A_−∞_x001B_𝒙_x001B__x001A_𝒇(𝒖,𝒚)_x001B__x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(𝒚)_x001B_𝒅𝒖,_x001B__x001A_𝒇_x001B_𝑿|𝒀_x001B__x001A_𝒙_x001B_𝒚_x001B_=_x001A_𝒇(𝒙,𝒚)_x001B__x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(𝒚)_x001B_,

_x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B_(𝒚)>𝟎.37例2设(X,Y)在区域G(如图)上服从均匀分布，求条件概率密度.解：

当x取其他值时，条件分布无意义！

yx011y=x

当y取其他值时，条件分布无意义！

yx011y=x

39例3设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X=x(0<x<1)时，数Y在区间(x,1)上随机地取值.求Y的概率密度.

对任给定的x(0<x<1)，依题意有：

若(X,Y)为二维连续型随机变量，且_x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B_(x)=0，x

∈D，则f(x,y)=0a.e.在D×(−∞,+∞)上.1实际上，若_x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B_(x)=0，x

∈D，即_x001A_−∞_x001B_+∞_x001B_𝒇_x001A_𝒙,𝒚_x001B_𝒅𝒚=𝟎_x001B_，x

∈D，则_x001A_𝑫_x001B__x001B__x001A_−∞_x001B_+∞_x001B_𝒇_x001A_𝒙,𝒚_x001B_𝒅𝒚𝒅𝒙=𝟎_x001B__x001B_，可知f(x,y)=0a.e.在D×(−∞,+∞)上.2注*：3分析：P{X>1|Y=y}

故对y>0，P{X>1|Y=y}

同理，在条件X=x下，Y的条件分布也是正态分布.结论：二维正态分布的条件分布也是正态分布.43联合分布、边缘分布与条件分布三者之间的关系01联合分布02边缘分布03条件分布04联合分布05小结06独立3.4相互独立的随机变量要点：独立性的判定45两个随机变量相互独立的概念它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.1两事件A,B独立，指:P(AB)=P(A)P(B).2两个随机变量相互独立的定义：设F(x,y)，FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数．若成立𝑷_x001A_𝑿≤𝒙,

𝒀≤𝒚_x001B_=𝑷_x001A_𝑿≤𝒙_x001B_𝑷_x001A_𝒀≤𝒚_x001B_即𝑭_x001A_𝒙,𝒚_x001B_=_x001A_𝑭_x001B_𝑿_x001B__x001A_𝒙_x001B__x001A_𝑭_x001B_𝒀_x001B__x001A_𝒚_x001B_则称随机变量X与Y是相互独立的.346独立性的判定1、若离散型随机变量(X,Y)的分布律为3、设随机变量X与Y相互独立，令U=h(X)，V=g(Y)，其中h(x)，g(y)为连续函数，则U与V也相互独立.几乎处处成立.

X和Y相互独立X和Y相互独立

47二维离散型随机变量独立性的判定020103041YX利用分布律表验证独立性48二维离散型随机变量独立性的判定进一步，如果二维离散型随机变量独立，则联合分布律有何特征？XY

行列对应成比例49例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为若X和Y相互独立，求a，b的值.

01

0

0.04a1

b0.64XY

解：方法一：先看X、Y的边缘分布律.

再由规范性：0.04+a+b+0.64=150例2设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为已知事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，求a,b的值.

XY

依题意：P{X=0,X+Y=1}=P{X=0}P{X+Y=1}

51例3设随机变量X与Y的有相同的概率分布：并且P{XY=0}=1，求(X,Y)的联合分布律.

解：先写出分布律表：

XYP{XY=0}=1，即第二行和第二列的元素之和为0，由规范性可知，4个角上上的元素都为0；0000边缘分布律是所在行列的联合分布律之和。0.250.25

0.250.25052

X与Y相互独立，则对任何x,y有

所以X与Y相互独立.

n个随机变量相互独立的概念

54要点与难点：3.5二维随机变量的函数的分布离散型和连续型随机变量的函数Z=g(X,Y)的分布的求法特殊情形：𝒁=𝑿+𝒀的分布特殊情形：最大值𝑴=𝒎𝒂𝒙⁡{𝑿,

𝒀}，最小值𝑵=𝒎𝒊𝒏{𝑿,

𝒀}

的分布55一、离散型随机变量的函数的分布的求法XY012-120.20.30.10.10.10.2解：(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XYp0.20.30.10.10.10.20-1-2024Z=XY

-2-1024求(1)Z=X+Y(2)Z=XY(3)Z=max(X,Y)

(4)Z=min(X,Y)的分布律.Z=max(X,Y)

012222例1设(X,Y)的分布律为56离散型随机变量的函数的分布的求法1.一般情形：离散型随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布，求解步骤是：

57

57用离散卷积公式可以证明：命题1：若X~P(1)，Y~P(2)，且X与Y相互独立，则X+Y~P(1+2).

命题2：设X~B(m,p)，Y~B(n,p)，且X与Y相互独立，则

X+Y~B(m+n,p).

常见的可加分布族：1、二项分布(对参数p有限制)；2、泊松分布；3、正态分布；4、卡方分布.两点分布、均匀部分不具有可加性.58二、连续型随机变量的函数的分布的求法一般方法：分布函数法

一般情形：设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，求Z=g(X,Y)的分布.即

Z=g(X,Y)的分布的计算公式59

y2O2x

60

y2O2x

61

x+y=zyxo设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，Z=X+Y的分布函数为推导过程不要求掌握卷积公式当X和Y相互独立时,

例2

y101x

64

进一步，当X和Y相互独立时,_x001A_𝒇_x001B_𝒁_x001B__x001A_𝒛_x001B_=_x001A_𝟏_x001B__x001A_𝒂𝒃_x001B__x001B__x001A_−∞_x001B_+∞_x001B__x001A_𝒇_x001B_𝑿_x001B__x001A__x001A_𝒙_x001B_𝒂_x001B__x001B__x001A_𝒇_x001B_𝒀_x001B__x001A__x001A_𝒛−𝒙_x001B_𝒃_x001B__x001B_𝒅𝒙_x001B_命题：设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，则𝒁=𝒂𝑿+𝒃𝒀(𝒂𝒃≠𝟎)的概率密度为_x001A_𝒇_x001B_𝒁_x001B__x001A_𝒛_x001B_=_x001A_𝟏_x001B__x001A_𝒂𝒃_x001B__x001B__x001A_−∞_x001B_+∞_x001B_𝒇_x001A__x001A_𝒙_x001B_𝒂_x001B_,_x001A_𝒛−𝒙_x001B_𝒃_x001B__x001B_𝒅𝒙_x001B_𝒁=𝒂𝑿+𝒃𝒀

的概率密度计算公式

解:

利用公式：67特殊情形：正态分布的和

一般结论：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.

注：正态分布具有可加性，但标准正态分布不具有可加性.68三、最大值、最小值的分布的求法：公式法

1、若已知联合概率密度

2、若已知独立性+边缘分布函数

3、若已知独立性+边缘概率密度

4、若已知独立性+同分布函数F(z)

69类似地，对最小值的分布，有

1、若已知联合概率密度

2、若已知独立性+边缘分布函数

3、若已知独立性+边缘概率密度

4、若已知独立性+同分布函数F(z)

70推广：设_x001A