7高二（下）期末数学试卷及答案

第1页（共1页）高二（下）期末数学试卷一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B={x|1x＜1}，a∈A∩BA．3 B．﹣3 C．13 D．2．（4分）已知0＜a＜1，b＜0，则下列大小关系正确的是（）A．ab＜b＜a2b B．b＜ab＜a2b C．b＜a2b＜ab D．a2b＜b＜ab3．（4分）下列四个命题中真命题的序号是（）①函数f(x)=x+1②函数f(x)=x+1③函数f(x)=3x+4x(x＜0)④函数f(x)=xA．①② B．②③ C．②④ D．③④4．（4分）已知0＜a＜b＜1，设x＝logb1bA．z＜x＜y B．x＜z＜y C．y＜x＜z D．y＜z＜x5．已知0＜a＜b＜1，设w=logA．z＜w＜x＜y B．x＜w＜z＜y C．x＜y＜z＜w D．z＜x＜w＜y6．（4分）已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b7．（4分）为了得到函数y＝log2（2x+2）的图像，只需把函数y＝log2x的图像上的所有点（）A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度8．下列四个命题中的真命题是（）A．函数y=xx−1的图像可由y=B．函数y=2x的图像可由y=xC．函数y=4×(12)xD．函数y=log2x的图像可由y＝log9．（4分）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35)=−A．−75 B．−35 C．10．（4分）函数f(x)=ax−bA．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞011．（4分）已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a≤﹣1 C．a≥﹣15 D．a≤﹣1512．（4分）设集合S＝{1，2，⋯，9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤5，那么满足条件的集合A的个数为（）A．74 B．77 C．80 D．83二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。13．（5分）函数f（x）=1x+14．（5分）（3x+1）5的展开式中各项的二项式系数和为；各项的系数和为．15．（5分）若复数z=3i−ai的模等于13，则实数a＝16．（5分）已知函数f(x)=x12，0≤x≤cx2+x，−2≤x＜0其中c＞0．那么f（x）的零点是；若f（x17．（5分）已知函数f（x）=1，x∈Q（ⅰ）f（f（x））＝；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数f（x）是偶函数；②存在xi∈R（i＝1，2，3），使得以点（xi，f（xi））（i＝1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在xi∈R（i＝1，2，3，4），使得以点（xi，f（xi））（i＝1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形．其中，所有真命题的序号是．三、解答题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。18．（14分）袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．（Ⅰ）若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率；（Ⅱ）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列．19．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a+3．（Ⅰ）设f（x）的两个零点分别为x1，x2，若x1，x2同号，且x1≠x2，求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为3，求a的值．20．（14分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝5，S3＝21，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1﹣1，b3＝a6+1．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．21．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD=2，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）求BC与平面PAC所成角的正弦值．22．（14分）为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样．获得数据如下表：设备类型仅使用手机仅使用平板仅使用电脑同时使用两种及两种以上设备使用其他设备或不使用设备使用人数171665320假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．（Ⅰ）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；（Ⅱ）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用“ξ1＝1”表示上网课仅使用一种设备，“ξ1＝0”表示上网课不仅仅使用一种设备；用“ξ2＝1”表示上网课同时使用三种设备，“ξ2＝0”表示上网课不同时使用三种设备．试比较方差Dξ1，Dξ2的大小．（结论不要求证明）23．（15分）已知函数f（x）＝2lnx−12ax2+（2（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过原点，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝x2﹣2x，若对任意s∈（0，2]，均存在t∈（0，2]，使得f（s）＜g（t），求a的取值范围．24．（14分）已知集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi∈{k，1}，i＝1，2，…，n}（n≥2）．对于A＝（a1，a2，…，an），B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义：A与B的差为A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|…，|an﹣bn|）；A与B之间的距离为d(A，B)=i=1（Ⅰ）当k＝2，n＝5时，设A＝（1，2，1，1，2），B＝（2，1，1，2，1），求A﹣B，d（A，B）；（Ⅱ）若对于任意的A，B，C∈Sn，有A﹣B∈Sn，求k的值并证明：d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）．

高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B={x|1x＜1}，a∈A∩BA．3 B．﹣3 C．13 D．【解答】解：由题意，集合A={x||x|＜2}={x|−2＜x＜2}，B={x|1x＜1}={x|x＜0所以A∩B＝{x|﹣2＜x＜0或1＜x＜2}，因为a∈A∩B，结合选项可得−1故选：D．2．（4分）已知0＜a＜1，b＜0，则下列大小关系正确的是（）A．ab＜b＜a2b B．b＜ab＜a2b C．b＜a2b＜ab D．a2b＜b＜ab【解答】解：对于A，因为0＜a＜1，b＜0，所以ab＞b，故错误；对于B，因为0＜a＜1，b＜0，所以ab＞b，又因为a＞0，所以a2b＞ab，则b＜ab＜a2b，故正确；易知C，D错误．故选：B．3．（4分）下列四个命题中真命题的序号是（）①函数f(x)=x+1②函数f(x)=x+1③函数f(x)=3x+4x(x＜0)④函数f(x)=xA．①② B．②③ C．②④ D．③④【解答】解：对于①，当x＜0时，f（x）＜0，故①错误，对于②，∵x＞1，∴x﹣1＞0，1x−1f（x）=x−1+1x−1+1≥2(x−1)⋅1对于③，当x＜0时，﹣3x＞0，−4﹣y＝﹣3x+（−4x）≥2(−3x)⋅(−4x)=4则y≤−43，故③对于④，f（x）=x2+3x2故f（x）的最小值不为2，故④错误．故选：B．4．（4分）已知0＜a＜b＜1，设x＝logb1bA．z＜x＜y B．x＜z＜y C．y＜x＜z D．y＜z＜x【解答】解：根据题意，x=log又y＝logba，0＜a＜b＜1，则logba＞logbb＝1，∵z=logb1a=−log∴z＜x＜y，故选：A．5．已知0＜a＜b＜1，设w=logA．z＜w＜x＜y B．x＜w＜z＜y C．x＜y＜z＜w D．z＜x＜w＜y【解答】解：∵0＜a＜b＜1，又w=logx=loga1by＝logab，则loga1＜logab＜logaa＝1，则0＜y＜1，即可得﹣1＜x＜0，∵z=logb1∴z=log故：z＜w＜x＜y，故选：A．6．（4分）已知a，b∈R，下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1 B．a＞b+1 C．|a|＞|b| D．2a＞2b【解答】解：“a＞b”能推出“a＞b﹣1”，故选项A是“a＞b”的必要条件，但“a＞b﹣1”不能推出“a＞b”，不是充分条件，满足题意；“a＞b”不能推出“a＞b+1”，故选项B不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”不能推出“|a|＞|b|”，故选项C不是“a＞b”的必要条件，不满足题意；“a＞b”能推出“2a＞2b”，且“2a＞2b”能推出“a＞b”，故是充要条件，不满足题意；故选：A．7．（4分）为了得到函数y＝log2（2x+2）的图像，只需把函数y＝log2x的图像上的所有点（）A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【解答】解：因为y＝log2（2x+2）＝log2[2×（x+1）]＝log22+log2（x+1）＝log2（x+1）+1，所以为了得到函数y＝log2（2x+2）的图像，只需把函数y＝log2x的图像上所有的点向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度．故选：C．8．下列四个命题中的真命题是（）A．函数y=xx−1的图像可由y=B．函数y=2x的图像可由y=xC．函数y=4×(12)xD．函数y=log2x的图像可由y＝log【解答】解：对于A，y=1x的图像经过向右平移1个单位得到函数y=1x−1，不是函数对于B，函数y=2x的图像可由y=x1对于C，函数y=4×(12)x=（12）x对于D，函数y=log2x=12log2x，可由y＝log2故选：C．9．（4分）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若f(35)=−A．−75 B．−35 C．【解答】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），所以函数的周期为1，因为f（x）是定义域为R的奇函数，f(3所以f(7故选：C．10．（4分）函数f(x)=ax−bA．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0【解答】解：根据题意，f(x)=ax−b(x+c)2，有x+c≠0，即x≠﹣c，函数的定义域为{x|x结合函数的图象可得﹣c＜0，则有c＞0，又由f（0）=−bc2若f(x)=ax−b(x+c)2=0，则有ax﹣b＝0，变形可得x=由函数图象与x轴交点在y轴左侧，则有ba＜0，必有故a＞0，b＜0，c＞0；故选：A．11．（4分）已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．a≤﹣1 C．a≥﹣15 D．a≤﹣15【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，即：a≥yx−2（yx）2，对于x∈令t=yx，根据右图可知则1≤∴a≥t﹣2t2在[1，3]上恒成立，∵y＝﹣2t2+t＝﹣2（t−14）2+1∴ymax＝﹣1，∴a≥﹣1故选：A．12．（4分）设集合S＝{1，2，⋯，9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤5，那么满足条件的集合A的个数为（）A．74 B．77 C．80 D．83【解答】解：从集合S中任取3个元素，有C9而a1＝1，a2＝2，a3＝8；a1＝1，a2＝2，a3＝9；a1＝1，a2＝3，a3＝9；a1＝2，a2＝3，a3＝9，这4种取法不符合条件，不能构成集合A的元素；∴满足条件的集合A的个数为84﹣4＝80．故选：C．二、填空题共5个小题，每小题5分，共25分。13．（5分）函数f（x）=1x+【解答】解：要使函数f（x）=1则x≠01−x≥0，解得x≤1且x所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．14．（5分）（3x+1）5的展开式中各项的二项式系数和为32；各项的系数和为1024．【解答】解：（3x+1）5的展开式的各项的二项式系数和为25＝32，令x＝1，则各项系数和为（3+1）5＝1024，故答案为：32；1024．15．（5分）若复数z=3i−ai的模等于13，则实数a＝【解答】解：因为复数z=3i−ai=3+ai解得a2＝4，a＝±2．故答案为：±2．16．（5分）已知函数f(x)=x12，0≤x≤cx2+x，−2≤x＜0其中c＞0．那么f（x）的零点是﹣1和0；若f（x）的值域是[−【解答】解：当x≥0时，令x12=0，得x＝0；当x＜0时，令x2+x∴f（x）的零点是﹣1和0∵函数y＝x2+x在区间[﹣2，−12）上是减函数，在区间（∴当x∈[﹣2，0）时，函数f（x）最小值为f（−12）=−1∵当0≤x≤c时，f（x）=x12∴当f（x）的值域是[−14，2]，c故答案为：﹣1和00＜c≤417．（5分）已知函数f（x）=1，x∈Q（ⅰ）f（f（x））＝1；（ⅱ）给出下列三个命题：①函数f（x）是偶函数；②存在xi∈R（i＝1，2，3），使得以点（xi，f（xi））（i＝1，2，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在xi∈R（i＝1，2，3，4），使得以点（xi，f（xi））（i＝1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形．其中，所有真命题的序号是①③．【解答】解：（ⅰ）由题意知，f(x)=1，x∈Q当x∈Q时，f（x）＝1∈Q，则f（f（x））＝1，当x∈CRQ时，f（x）＝0∈Q，则f（f（综上得，f（f（x））＝1；（ⅱ）①当x∈Q时，则﹣x∈Q，故f（﹣x）＝1＝f（x），当x∈CRQ时，则﹣x∈CRQ，故f（﹣x）＝0＝∴函数f（x）是偶函数，①正确；②根据f(x)=1，x∈Q假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB只能在x轴上或在直线y＝1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B在x轴上，如图故斜边AB＝2，故点A、B的坐标不可能是无理数，否则O点不再是中点，故不存在另外，当AB在y＝1上，C在x轴时，由于AB＝2，则C的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，②错误；③根据②做出的图形知，取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对角线相互垂直，可以做出以点（xi，f（xi））（i＝1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，③正确．故答案为：1，①③．三、解答题共7小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。18．（14分）袋中有4个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．（Ⅰ）若每次抽取后都放回，求恰好取到1个黑球的概率；（Ⅱ）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列．【解答】解：（Ⅰ）有放回地抽取3次，取法总数为6×6×6＝216种，设恰好取出一个黑球为事件A，A中包含有3×2×4×4＝96种取法，所以P（A）=96（Ⅱ）从6个球中任意取出3个球的取法总数为C63=P（X＝0）=C20C43C63=15，所以X的分布列为：X012P15351519．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣a+3．（Ⅰ）设f（x）的两个零点分别为x1，x2，若x1，x2同号，且x1≠x2，求a的取值范围；（Ⅱ）f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为3，求a的值．【解答】解：（I）∵f（x）的两个零点分别为x1，x2，x1，x2同号，且x1≠x2，∴Δ＞0x1x2＞0，即a故a的取值范围为（﹣∞，﹣6）∪（2，3）．（II）f（x）＝x2﹣ax﹣a+3的对称轴为x=a①当a2＜1，即a＜2时，f（则f（x）min＝f（1）＝1﹣a﹣a+3＝3，解得a=1②当a2＞1，a＞2时，f（x）在[1，a2故f(x)min=f(a2综上所述，a=120．（14分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝5，S3＝21，各项均为正数的等比数列{bn}满足b1＝a1﹣1，b3＝a6+1．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn＝an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1+3d＝15+3d＝21，d＝2，所以an＝2n+3．设等比数列{bn}的公比为q，q＞0，由于b1＝a1﹣1＝4，b3＝a6+1＝15+1＝16，所以q2所以bn（II）c所以Tn21．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2，AD=2，CD＝1，PA⊥平面ABCD，PA（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅲ）求BC与平面PAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点M，连接ME，MC，∵E是PA的中点，∴EM∥CAB，且ME=12∵AB∥CD，CD＝1，∴ME∥CD且ME＝CD，∴四边形MEDC是平行四边形，∴ED∥MC，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面PBC；（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥PA，Rt△ABD中，tan∠ABD=ADAB=22，Rt△∴tan∠ABD＝tan∠DAC，结合∠ABD、∠DAC都是锐角，得∠ABD＝∠DAC＝90°﹣∠ADB，∴∠DAC+∠ADB＝90°，得BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅲ）解：记BD∩AC于N，由（Ⅱ）知BD⊥平面PAC，∴∠BCN为BC与平面PAC所成角，由Rt△BAD，可得BD=A∵12BD×AN=12AB×AD，解得∴BN=223，∵AC=A∴BC=B∴sin∠BCN=BN∴BC与平面PAC所成角的正弦值2222．（14分）为了解学生上网课使用的设备类型情况，某校对学生进行简单随机抽样．获得数据如下表：设备类型仅使用手机仅使用平板仅使用电脑同时使用两种及两种以上设备使用其他设备或不使用设备使用人数171665320假设所有学生对网课使用的设备类型的选择相互独立．（Ⅰ）分别估计该校学生上网课仅使用手机的概率，该校学生上网课仅使用平板的概率；（Ⅱ）从该校全体学生中随机抽取3人进行调查，设随机变量X表示这3人中仅使用电脑的人数，以频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设样本中上网课同时使用两种设备的人数是22，用“ξ1＝1”表示上网课仅使用一种设备，“ξ1＝0”表示上网课不仅仅使用一种设备；用“ξ2＝1”表示上网课同时使用三种设备，“ξ2＝0”表示上网课不同时使用三种设备．试比较方差Dξ1，Dξ2的大小．（结论不要求证明）【解答】解：（1）学生上网课仅使用手机的概率为1717+16+65+32学生上网课仅使用平板的概率为1617+16+65+32（2）解：学生上网课仅使用电脑的概率为6517+16+65+32X可取0，1，2，3，且X～B（3，12P（X＝0）=CP（X＝1）=CP（X＝2）=CP（X＝3）=C则分布列为：X0123P18383818E（X）=0×1（3）P（ξ1＝1）=17+16+65P（ξ1＝0）＝1−17+16+65所E（ξ1）=1×49D（ξ1）=49P（ξ2＝1）=32−22P（ξ2＝0）＝1−1所以E（ξ2）=1×1D（ξ2）=1所以D（ξ1）＞D（ξ2）．23．（15分）已知函数f（x）＝2lnx−12ax2+（2（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过原点，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）＝x2﹣2x，若对任意s∈（0，2]，均存在t∈（0，2]，使得f（s）＜g（t），求a的取值范围．【解答】（I）解：（1）由f(x)=2lnx−12a因为f′(1)=2−a+2a−1=a+1，f(1)=−1所以切点坐标为(1，3a2−1)因为切线经过（0，0），所以3a2解得a＝4．（II）解：由题可知f（x）的定义域为(0，+∞)，f′(x)=−1令f′（x）＝0，则ax2﹣（2a﹣1）x﹣2＝0，解得x=−1a或因为a＞0，所以−1a＜