高二（下）期末数学试卷答案

第1页（共1页）十二中高二（下）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}2．（5分）已知实数a＞b，则下列结论正确的是（）A．ab＞1 B．a2＞b2 C．1a＜13．（5分）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2；③某同学射击3次，命中的次数X3；④某电子元件的寿命X4；A．①② B．③④ C．①③ D．②④4．（5分）已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an+1A．4 B．12 C．24 D．325．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若等比数列{an}的公比q＞1，则{an}为递增数列（n∈N*） B．若等比数列{an}的公比0＜q＜1，{an}为递减数列（n∈N*） C．常数列既是等差数列又是等比数列 D．若{an}是等差数列，则{26．（5分）随机变量X的分布列如表：其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（）X﹣101PabcA．14 B．13 C．127．（5分）已知f（x）的导数存在，y＝f（x）的图象如图所示，则在区间[a，b]上（）A．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（c） B．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（b） C．f'（x）的最大值是f'（c），最小值是f'（b） D．f'（x）的最大值f'（b），最小值是f'（c）8．（5分）若函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝2，且S4＝S7，则Sn≥0的n的最大值是（）A．5 B．6 C．10 D．1110．（5分）已知数列{an}的通项为an＝n2﹣2λn，则“λ＜0”是“∀n∈N*，an+1＞an”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（5分）甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）A．E（X）＝E（Y），D（X）＝D（Y） B．E（X）＝E（Y），D（X）≠D（Y） C．E（X）≠E（Y），D（X）≠D（Y） D．E（X）≠E（Y），D（X）＝D（Y）12．（5分）设函数f（x）＝sin（xcosx），则下列命题中的真命题是（）①f（x）是奇函数；②当x∈(0，π2)时，f③f（x）是周期函数；④f（x）存在无数个零点．A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.13．（5分）已知命题“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为；若双曲线x2a2−y15．（5分）某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为．16．（5分）已知a，b为正实数，直线y＝ax+b将圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1平分，则1a+217．（5分）已知函数f(x)=x(x+2)，x≤1ln(x−1)−x+2，x＞1，若函数g（x）＝f（x）﹣a有四个零点，则实数a的取值范围是18．（5分）刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史．小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案﹣即图中的阴影部分．它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形A1B1C1，取正三角形A1B1C1各边的三等分点A2，B2，C2，得到第一个阴影三角形A2B1B2；在正三角形A2B2C2中，再取各边的三等分点A3，B3，C3，得到第二个阴影三角形A3B2B3；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则A3B2＝；图中螺旋形图案的面积为．三、解答题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．（1）求证：BE∥平面AFD1；（2）若N为CD的中点，求直线AN与平面AFD1所成角的正弦值．20．为减少环境污染、保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：高一年级成绩分布表等级EDCBA成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数123410（1）从高一样本中抽取一人，求该人成绩不低于80分的概率；（2）从高二全体学生中抽取3人，这3人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）学校为提高对垃圾分类知识的了解水平，计划在高一或高二开展一场讲座，已知两个年级学生人数相同，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，那么为使两个年级的整体平均分尽可提高，应该在高一讲座还是在高二讲座？（直接写出结论）21．已知椭圆M：x2a2+（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y＝k（x+3）在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P、Q，O为坐标原点，求k（|OP|+|OQ|）的值．22．若函数f(x)=x+1（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（2）判断方程f（x）＝1解的个数，并说明理由；（3）当a＞0，设g(x)=f(x)+12ax223．已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．（1）若α＝（2，0，2，1），求T4（α）；（2）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足，xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；（3）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．

十二中高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|1＜x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}【解答】解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{x|0≤x＜1}．故选：A．2．（5分）已知实数a＞b，则下列结论正确的是（）A．ab＞1 B．a2＞b2 C．1a＜1【解答】解：A，当a＝2，b＝﹣2时，满足a＞b，但ab=−1，∴B，当a＝2，b＝﹣2时，满足a＞b，但a2＝b2，∴B错误，C，当a＝2，b＝﹣2时，满足a＞b，但1a＞1D，∵y＝2x在R上为增函数，a＞b，∴2a＞2b，∴D正确，故选：D．3．（5分）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X1；②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点离坐标原点的距离X2；③某同学射击3次，命中的次数X3；④某电子元件的寿命X4；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【解答】解：对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量．故选：C．4．（5分）已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an+1A．4 B．12 C．24 D．32【解答】解：∵数列{an}的首项为a1＝1，且满足an+1∴a2＝2a1+21＝4，a3＝2a2+22＝12，故选：B．5．（5分）下列命题中，正确的是（）A．若等比数列{an}的公比q＞1，则{an}为递增数列（n∈N*） B．若等比数列{an}的公比0＜q＜1，{an}为递减数列（n∈N*） C．常数列既是等差数列又是等比数列 D．若{an}是等差数列，则{2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当首项a1＜0时，等比数列{an}的公比q＞1，则{an}为递减数列，A错误；对于B，当首项a1＜0时，等比数列{an}的公比0＜q＜1，{an}为递增数列，B错误；对于C，非零的常数列既是等差数列又是等比数列，C错误；对于D，若{an}是等差数列，设其公差为d，则有2an2an−1=2故选：D．6．（5分）随机变量X的分布列如表：其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（）X﹣101PabcA．14 B．13 C．12【解答】解：由题意得：a+b+c=12b=a+c，解得b=∴P（|X|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c＝2b=2故选：D．7．（5分）已知f（x）的导数存在，y＝f（x）的图象如图所示，则在区间[a，b]上（）A．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（c） B．f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（b） C．f'（x）的最大值是f'（c），最小值是f'（b） D．f'（x）的最大值f'（b），最小值是f'（c）【解答】解：由导数的几何意义，即曲线在该点处的切线的斜率可知，f'（a）＞0，f'（c）＝0，f'（b）＜0，且在区间[a，b]上，f′（x）逐渐减小，则在区间[a，b]上，f'（x）的最大值是f'（a），最小值是f'（b）．故选：B．8．（5分）若函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）【解答】解：由f（x）＝xlnx﹣ax+1，得f′（x）＝lnx+1﹣a，∵函数f（x）＝xlnx﹣ax+1在[e，+∞）上单调递增，∴lnx+1﹣a≥0在[e，+∞）上恒成立，即a≤lnx+1在[e，+∞）上恒成立，∵lnx+1在[e，+∞）上单调递增，∴（lnx+1）min＝2，可得a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3＝2，且S4＝S7，则Sn≥0的n的最大值是（）A．5 B．6 C．10 D．11【解答】解：根据题意可知等差数列{an}的公差小于零，由S4＝S7得S7﹣S4＝a7+a6+a5＝3a6＝0，得a6＝0，所以S11＝11a6＝0，所以Sn≥0的n的最大值是11．故选：D．10．（5分）已知数列{an}的通项为an＝n2﹣2λn，则“λ＜0”是“∀n∈N*，an+1＞an”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵an＝n2﹣2λn，∴an+1＝（n+1）2﹣2λ（n+1），∵“∀n∈N*，an+1＞an”恒成立∴（n+1）2﹣2λ（n+1）＞n2﹣2λn，∴λ＜12（2n+1）＝n+12，∀n当n＝1时，1+1∴λ＜3故λ＜0”是“∀n∈N*，an+1＞an”的充分不必要条件．故选：A．11．（5分）甲乙丙三人参加2022年冬奥会北京、延庆、张家口三个赛区志愿服务活动，若每人只能选择一个赛区，且选择其中任何一个赛区是等可能的．记X为三人选中的赛区个数，Y为三人没有选中的赛区个数，则（）A．E（X）＝E（Y），D（X）＝D（Y） B．E（X）＝E（Y），D（X）≠D（Y） C．E（X）≠E（Y），D（X）≠D（Y） D．E（X）≠E（Y），D（X）＝D（Y）【解答】解：由题意得X的可能取值为1，2，3，则P（X＝1）=C3133=19，P（X＝2）所以E(X)=1×1D(X)=(1−19Y的可能取值为0，1，2，则P(Y=0)=A∴E(Y)=0×2D(Y)=(0−8∴E（X）≠E（Y），D（X）＝D（Y）．故选：D．12．（5分）设函数f（x）＝sin（xcosx），则下列命题中的真命题是（）①f（x）是奇函数；②当x∈(0，π2)时，f③f（x）是周期函数；④f（x）存在无数个零点．A．②④ B．①③ C．①②③ D．①②④【解答】解：对①，f（﹣x）＝sin[（﹣x）cos（﹣x）]＝sin（﹣xcosx）＝﹣sin（xcosx）＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，故①正确；对②，令g（x）＝xcosx，0＜x＜π2，则g′（x）＝cosx﹣xsinx，又g′′（x）＝﹣2sinx﹣xcosx＜0，所以g′（x）在（0，因为g′（0）＝1＞0，g（π2）=−π2＜0，所以存在x0∈（0，π2），使g′（x0）＝cosx0﹣x0gsinx0＝0，当x∈（0，x0）时，g′（x当x∈（x0，π2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（x0）＝x0cosx0＝x0•2sinx0＜π所以0＜g（x）＜π，所以f（x）＞0，故②正确；对③，假设g（x）＝xcosx的周期为T，则（x+T）cos（x+T）＝xcosx对一切x成立，取x＝0时，TcosT＝0．得T=π2+kπ，k∈Z再取x=π2时，（π2+T）cos（π2+T）＝0，得T＝nπ，显然T无解，故f（x）不是周期函数，故③错误；对④，令sin（xcosx）＝0，解得xcosx＝k1z，k1∈Z，取k1＝0，则xcosx＝0，解得x＝0或x＝k2π+π2，k2∈Z，所以f（x）有无数个零点，故故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.13．（5分）已知命题“∀x∈R，x2+ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：∵∀x∈R，x2+ax+1＞0是假命题，∴∃x∈R，x2+ax+1≤0是真命题，∴Δ＝a2﹣4≥0，∴a≤﹣2或a≥2，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．14．（5分）已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F坐标为（2，0）；若双曲线x2a2−y22【解答】解：点F为抛物线y2＝8x的焦点，2p＝8，即p＝4，由焦点坐标（p2，0），即有F双曲线x2a2可得a2+2＝4，可得a=2所以双曲线的离心率e=c故答案为：（2，0）；2．15．（5分）某厂有甲、乙两条生产线，甲生产线产出“高品质产品”的概率为0.6，乙生产线产出“高品质产品”的概率为0.5，已知两条生产线产量相同，现从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为0.55．【解答】解：由题意，因为两条生产线产量相同，故从该厂产品中任取一件，抽取到甲、乙两条生产线的概率均为0.5，故从该厂产品中任取一件，则它是“高品质产品”的概率为0.5×0.6+0.5×0.5＝0.55，故答案为：0.55．16．（5分）已知a，b为正实数，直线y＝ax+b将圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1平分，则1a+2【解答】解：由题意，圆心（2，1），在直线y＝ax+b上，则2a+b＝1，则（1a+2b）（2a+b）＝2+2当且仅当ba=4ab时，即a=故答案为：8．17．（5分）已知函数f(x)=x(x+2)，x≤1ln(x−1)−x+2，x＞1，若函数g（x）＝f（x）﹣a有四个零点，则实数a的取值范围是【解答】解：因为函数g（x）＝f（x）﹣a有四个零点，所以方程g（x）＝f（x）﹣a＝0有4个不同的解，所以函数f（x）的图象与直线y＝a有4个不同的交点，①当x＞1时，f（x）＝ln（x﹣1）﹣x+2，则f′(x)=1当1＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，所以当x＞1时，f（x）有最大值f（2）＝ln1﹣2+2＝0，当x→1时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→﹣∞②当x≤1时，f（x）＝x（x+2）＝（x+1）2﹣1，当x＝﹣1时，f（x）有最小值﹣1，所以f（x）的图象如图所示：由图可知，当﹣1＜a＜0时，函数f（x）的图象与直线y＝a有4个不同的交点，所以实数a的取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．18．（5分）刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史．小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案﹣即图中的阴影部分．它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形A1B1C1，取正三角形A1B1C1各边的三等分点A2，B2，C2，得到第一个阴影三角形A2B1B2；在正三角形A2B2C2中，再取各边的三等分点A3，B3，C3，得到第二个阴影三角形A3B2B3；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则A3B2＝233；图中螺旋形图案的面积为121【解答】解：设正三角形ABC的边长为a1，后续各正三角形的边长依次为a2，a3，•••，an，设第一个阴影三角形面积为S1，后续阴影三角形面积为S2，S3，•••，Sn，由题意知a1＝3，an=(13a∴anan−1=33∴an＝3×（33）n﹣1＝（33）n﹣3，∴A3B2∴Sn∴Sn∵S1=32，∴{Sn}是以∴图中阴影部分面积为：S=3故答案为：233；三、解答题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，DD1＝4，E，F分别是AA1，CC1的中点．（1）求证：BE∥平面AFD1；（2）若N为CD的中点，求直线AN与平面AFD1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：如图所示，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，由题得B（2，2，0），E（2，0，2），∴BE→A（2，0，0），D1（0，0，4），F（0，2，2），∴AD设平面AFD1的法向量为m→所以m→⋅A所以BE→因为BE⊄平面AFD1，所以BE∥平面AFD1．（2）解：由题得A（2，0，0），N（0，1，0），∴AN→设直线AN与平面AFD，所成角为α，所以sinα=|所以直线AN与平面AED1所成角的正弦值为301020．为减少环境污染、保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：高一年级成绩分布表等级EDCBA成绩[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数123410（1）从高一样本中抽取一人，求该人成绩不低于80分的概率；（2）从高二全体学生中抽取3人，这3人中成绩不低于90分的人数记为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；（3）学校为提高对垃圾分类知识的了解水平，计划在高一或高二开展一场讲座，已知两个年级学生人数相同，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，那么为使两个年级的整体平均分尽可提高，应该在高一讲座还是在高二讲座？（直接写出结论）【解答】解：（1）从高一样本中抽取一人，这个人的成绩不低于80分的概率1420从高二样本中抽取一人，这个人的成绩不低于80分的概率为0.55，因此，从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于80分的概率为0.7×0.55＝0.385．（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有0，1，2，3，则P（X＝0）=12×(34)2P（X＝2）=12×C21×所以，随机变量X的分布列如下表所示：X0123P9321532732132E（X）＝0×932+1×1532（3）由于高一年级低分段的人数相比高二年级要少得多，需要在高二讲座．21．已知椭圆M：x2a2+（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线y＝k（x+3）在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P、Q，O为坐标原点，求k（|OP|+|OQ|）的值．【解答】解：（1）由题意知：a=2，ca=22，则c=2，b2＝则椭圆M的方程为x2（2）联立直线与椭圆y=k(x+3)x整理得（2k2+1）x2+12k2x+18k2﹣4＝0，Δ＝144k4﹣4（2k2+1）（18k2﹣4）＝﹣40k2+16＞0，即−105＜k＜105，又直线y＝k（x+3）在x轴上方交椭圆M于B，C设B（x1，y1），C（x2，y2），则﹣2＜x1＜2，﹣2＜x2＜2，x1+x2=−12k22k2+1，x1x2易得直线AB，AC斜率必然存在，则AB：y=y令x＝0，得y=2y1同理可得Q(0，2y2则k(|OP|+|OQ|)=k(222．若函数f(x)=x+1（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（2）判断方程f（x）＝1解的个数，并说明理由；（3）当a＞0，设g(x)=f(x)+12ax2【解答】解：（1）f′（x）=ex−(x+1)ef′（0）＝0，又f（0）＝1，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y＝1；（2）f′（x）＝﹣xe﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减，且f（0）＝1，∴f（x）的最大值为1，则y＝1与y＝f（x）的图象仅有一个交点，故f（x）＝1仅有一个实数解x＝0；（3）当a＞0时，g(x)=f(x)+1g′（x）＝﹣xe﹣x+ax＝x（a﹣e﹣x），令g′（x）＝0，解得：x＝0或x＝﹣lna，当0＜a＜1时，lna＜0，此时令g′（x）＞0，解得：x＜0或者x＞﹣lna，故g（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），单调减区间为（0，﹣lna）；当a＝1时，g（x）在R上单调递增；当a＞1时，令g′（x）＞0时，解得x＜﹣lna或x＞0，故g（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣lna），（0，+∞），递减区间为（﹣lna，0）．综上所述：当0＜a＜1时，g（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），单调减区间为（0，﹣lna）；当a＝1时，g（x）在R上单调递增；当a＞1时，g（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣lna），（0，+∞），递减区间为（﹣lna，0）．23．已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|）