2024届山东省无棣二中高二数学第一学期期末预测试题含解析

2024届山东省无棣二中高二数学第一学期期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设变量满足约束条件，则的最大值为（）A.0 B.C.3 D.42．函数单调减区间是（）A. B.C.和 D.3．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（）A. B.C. D.4．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B.C. D.5．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（）A.互斥 B.相互独立C.互为对立 D.互斥且独立6．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（）A. B.C. D.7．已知F为椭圆的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且垂直于x轴．若直线AB的斜率为，则椭圆C的离心率为（）A. B.C. D.8．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.10．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）A. B.C. D.11．双曲线的左焦点到其渐近线的距离是（）A. B.C. D.12．圆与圆的位置关系为（）A.内切 B.外切C.相交 D.相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为______.14．若存在实常数k和b，使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y＝kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命题：①F（x）＝f（x）﹣g（x）内单调递增；②f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为﹣4；③f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y＝2x﹣e其中真命题为_____（请填所有正确命题的序号）15．=______.16．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.18．（12分）已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）已知函数（1）求单调增区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据（1）男生和女生应各抽取多少人？（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高21．（12分）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.（1）求直线方程；（2）求直线的方程.22．（10分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】先画出约束条件所表示的平面区域，然后根据目标函数的几何意义，即可求出目标函数的最大值.【题目详解】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由，可得，因为目标函数，即，表示斜率为，截距为的直线，由图可知，当直线经过时截距取得最小值，即取得最大值，所以的最大值为，故选：A.2、B【解题分析】根据函数求导，然后由求解.【题目详解】因为函数，所以，由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：B3、A【解题分析】设，计算出重心坐标后代入欧拉方程，再求出外心坐标，根据外心的性质列出关于的方程，最后联立解方程即可.【题目详解】设，由重心坐标公式得，三角形的重心为，，代入欧拉线方程得：，整理得：①的中点为，，的中垂线方程为，即联立，解得的外心为则，整理得：②联立①②得：，或，当，时，重合，舍去顶点的坐标是故选：A【题目点拨】关键点睛：解决本题的关键一是求出外心，二是根据外心的性质列方程.4、D【解题分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出【题目详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【题目点拨】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5、B【解题分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【题目详解】解：因为，，又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立故选：B.6、A【解题分析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解.【题目详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，因此恰有1次命中的概率为，故选：A.7、D【解题分析】根据题意表示出点的坐标，再由直线AB的斜率为，列方程可求出椭圆的离心率【题目详解】由题意得，，当时，，得，由题意可得点在第一象限，所以，因为直线AB的斜率为，所以，化简得，所以，，得（舍去），或，所以离心率，故选：D8、A【解题分析】计算出复数即可得出结果.【题目详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，故选：A.9、C【解题分析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【题目详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C10、B【解题分析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.【题目详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，故，，，，，等式左右两边分别相加得，，故选：B.11、A【解题分析】求出双曲线焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得结果.【题目详解】在双曲线中，，，，所以，该双曲线的左焦点坐标为，渐近线方程为，即，因，该双曲线的左焦点到渐近线的距离为.故选：A12、B【解题分析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.【题目详解】由可得圆心为，半径，由可得圆心为，半径，所以圆心距为，所以两圆相外切，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】设圆锥的高为，可得出圆锥的母线长为，以及圆锥的底面半径为，利用圆锥的侧面积公式求出的值，再利用锥体的体积公式可求得结果.【题目详解】设圆锥的高为，由于圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，则轴截面三角形的底角为，故该圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的侧面积为，可得，因此，该圆锥的体积为.故答案为：.14、①②④【解题分析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的导数，检验在x∈（，0）内的导数符号，即可判断；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，又kx+b对一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根据不等式的性质，求出k，b的范围，即可判断②③；④存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）内单调递增，故①对；②、③设f（x）、g（x）的隔离直线为y＝kx+b，则x2≥kx+b对一切实数x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b对一切x＜0成立，则kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k⇒﹣4≤k≤0，同理⇒﹣4≤b≤0，故②对，③错；④函数f（x）和h（x）的图象在x处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0当x∈R恒成立，则△≤0，只有k＝2，此时直线方程为：y＝2x﹣e，下面证明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），当x时，G′（x）＝0，当0＜x时，G′（x）＜0，当x时，G′（x）＞0，则当x时，G（x）取到极小值，极小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，则g（x）≤2x﹣e，当x＞0时恒成立∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y＝2x﹣e，故④正确故答案为：①②④【题目点拨】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题.15、【解题分析】根据被积函数（）表示一个半圆，利用定积分的几何意义即可得解.【题目详解】被积函数（）表示圆心为，半径为2的圆的上半部分，所以.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间内的函数值符号，本题属于中档题.16、【解题分析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.【题目详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，于是得，因，则当时，，所以的最大值为.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.【题目详解】解：（1）设圆方程为：，根据题意得，故所求圆M的方程为：；（2）如图，四边形的面积为，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.18、（1）；（2）.【解题分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项法可求得.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，则，可得，由可得，即，解得，，故.【小问2详解】解：，因此，.19、（1）单调增区间为；（2）.【解题分析】（1）求导由求解.（2）将时，恒成立，转化为时，恒成立，令用导数法由求解即可.【题目详解】（1）因为函数所以令，解得，所以单调增区间为.（2）因为时，恒成立，所以时，恒成立，令则令因为时，恒成立，所以在单调递减.当时，在单调递减，故符合要求；当时，单调递减，故存在使得则当时单调递增，不符合要求；当时，单调递减，故存在使得则当时单调递增，不符合要求.综上.【题目点拨】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；20、（1）应抽取男生49人，女生51人；（2）.【解题分析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；（2）利用平均数的计算公式计算求解.【小问1详解】解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.【小问2详解】解：估计该校高二年级学生的平均身高为.21、（1）；（2）.【解题分析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【小问1详解】在中，，，，则边中点，边的中点，直线DE斜率，于是得，即，所以直线的方程是：.【小问2详解】依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，所以直线的方程为：，即.22、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解题分析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是