湖北省武汉市新洲三中2024学年高二上数学期末监测模拟试题含解析

湖北省武汉市新洲三中2024学年高二上数学期末监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.112．在等比数列中，，公比，则（）A. B.6C. D.23．已知向量，且，则的值为（）A.4 B.2C.3 D.14．等差数列的前项和为，若，，则（）A.12 B.18C.21 D.275．三棱柱中，，，，若，则（）A. B.C. D.6．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，点在上，且，则直线的斜率为A. B.C. D.7．抛物线的焦点到准线的距离是A.2 B.4C. D.8．已知半径为2的圆经过点（5，12），则其圆心到原点的距离的最小值为（）A.10 B.11C.12 D.139．已知长方体的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（）A. B.C. D.10．已知函数只有一个零点，则实数的取值范围是（）A B.C. D.11．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A.35 B.75C.155 D.31512．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（）A.16 B.C.14 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知原命题为“若，则”，则它的逆否命题是__________（填写”真命题”或”假命题”）14．直线恒过定点，则定点坐标为________15．若，，三点共线，则m的值为___________.16．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：；（2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围.18．（12分）已知圆经过，且圆心C在直线上（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆存在公共点，求实数的取值范围19．（12分）已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列.（1）求和；（2）若，数列的前项和为，且对任意的恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知集合，设（1）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围21．（12分）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.22．（10分）如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上下底面圆心连线的截面），线段是该半圆柱的一条母线，点为线的中点（1）证明：；（2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】利用平均变化率的公式即得.【题目详解】∵，∴.故选：B.2、D【解题分析】利用等比数列的通项公式求解【题目详解】由等比数列的通项公式得：.故选：D3、A【解题分析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.【题目详解】因为，所以，因为向量，，所以，解得，所以的值为，故选：A.4、B【解题分析】根据等差数列的前项和为具有的性质，即成等差数列，由此列出等式，求得答案.【题目详解】因为为等差数列的前n项和，且，，所以成等差数列，所以，即，解得=18，故选：B.5、A【解题分析】利用空间向量线性运算及基本定理结合图形即可得出答案.【题目详解】解：由，，，若，得.故选：A.6、B【解题分析】根据抛物线的定义，求得p的值，即可得抛物线，的标准方程，求得抛物线的焦点坐标后，再根据斜率公式求解.【题目详解】因为，所以，解得，所以直线的斜率为．故选B.【题目点拨】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了抛物线的简单性质，涉及了直线的斜率公式；抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离；解题过程中注意焦点的位置.7、D【解题分析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.8、B【解题分析】由条件可得圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，然后可得答案.【题目详解】因为半径为2的圆经过点（5，12），所以圆心的轨迹是以点为圆心，半径为2的圆，所以圆心到原点的距离的最小值为，故选：B9、A【解题分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.【题目详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系∵底面是边长为8的正方形，，∴，，，因为,且，所以平面，∴，平面的法向量，∴与对角面所成角的正弦值为故选：A.10、B【解题分析】将题目转化为函数的图像与的图像只有一个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出的取值范围.【题目详解】由函数只有一个零点，等价于函数的图像与的图像只有一个交点，，求导，令，得当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减；故当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数的取值范围是故选：B【题目点拨】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11、C【解题分析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【题目详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【题目点拨】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.12、B【解题分析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.【题目详解】由，是函数的两个不同零点，可得，根据等比数列的性质，可得则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、真命题【解题分析】先判断原命题的真假，再由逆否命题与原命题是等价命题判断.【题目详解】因为命题“若，则”是真命题，且逆否命题与原命题是等价命题,所以它的逆否命题是真命题，故答案为：真命题14、【解题分析】解方程组可求得定点坐标.【题目详解】直线方程可化为，由，可得.故直线恒过定点.故答案为：.15、【解题分析】根据三点共线与斜率的关系即可得出【题目详解】由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线平行，又，由已知可得，解得故答案为：16、【解题分析】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即答案：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）过作，垂足为，利用正余弦定理可证，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值.【小问1详解】证明：由已知可得四边形是等腰梯形，过作，垂足为，则，在中，，则，可得，在中，由余弦定理可得，，则，，又平面，平面，，，，平面，平面，又为矩形，，则平面，而平面，；【小问2详解】平面，且，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，则，又，设平面的法向量为，由，取，得，又，，，，则.18、（1）（2）【解题分析】（1）因为圆心在直线上，可设圆心坐标为，利用圆心到圆上两点的距离相等列出等式求解即可.（2）直线与圆存在公共点，即圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等关系求解即可.【小问1详解】解：因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为，因为圆经过，，所以，即：，解方程得，圆心坐标为，半径为，圆的标准方程为：【小问2详解】圆心到直线的距离且直线与圆有公共点即19、（1），；（2）.【解题分析】（1）求出，即得数列的和；（2）由题得，再利用分组求和求出，得到，令，判断函数的单调性得解.【题目详解】（1）设数列的公差为，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由题意：，，，令，则，即对任意的恒成立，是单调递增数列，，只需，所以.【题目点拨】方法点睛：求数列的最值，常用数列的单调性求解，求数列的单调性，一般利用定义法作差或作商判断.20、（1）（2）【解题分析】（1）先解出集合A、B，然后根据p是q的充分不必要条件列出不等式组求解.（2）¬q是¬p的必要不充分条件可知q是p的充分不必要条件，然后求解.【小问1详解】解：由题意得：，p是q的充分不必要条件，所以集合A是集合B的真子集∴，即，所以实数a的取值范围.【小问2详解】¬q是¬p的必要不充分条件p是q的必要不充分条件，即q是p的充分不必要条件集合B是集合A的真子集∴，故实数a的取值范围为21、（1）（2）证明见解析【解题分析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；【小问1详解】解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；22、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）先证明，，利用判定定理证明平面，从而得到；（2）设，利用等体积法，由由，解出a.【题目详解】（1）证明：由题意可知平面，平面∴∵所对为半圆直径∴∴和是平面内