2024学年遂宁市重点中学数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

2024学年遂宁市重点中学数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在处的切线的斜率为（）A.-1 B.1C.2 D.32．已知空间向量，，则（）A. B.19C.17 D.3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（）A. B.C. D.4．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）A.5 B.3C.9 D.255．若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.506．函数区间上有（）A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值7．已知平面，的法向量分别为，，且，则（）A. B.C. D.8．已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围A. B.C. D.9．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率乙获胜概率丙获胜概率丁获胜概率则甲最终获得冠军的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.3610．已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（）A. B.C. D.11．已知等比数列的前项和为，则关于的方程的解的个数为（）A.0 B.1C.无数个 D.0或无数个12．已知双曲线渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）A. B.C.2 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边________14．平面内n条直线两两相交，且任意三条直线不过同一点，将其交点个数记为，若规定，则，，_________，_________，（用含n的式子表示）15．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.16．在等差数列中，，公差，则_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.18．（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？19．（12分）在中，是的中点，，现将该平行四边形沿对角线折成直二面角，如图：（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）设等比数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：21．（12分）如图1所示，在四边形ABCD中，，，，将△沿BD折起，使得直线AB与平面BCD所成的角为45°，连接AC，得到如图2所示的三棱锥（1）证明：平面ABD平面BCD；（2）若三棱锥中，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积22．（10分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点（1）证明：平面PCD；（2）若PB与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.【题目详解】因为，所以，所以切线的斜率为.故选：D.2、D【解题分析】先求出的坐标，再求出其模【题目详解】因为，，所以，故，故选：D.3、B【解题分析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【题目详解】是各项均为正数的等比数列，，，，.故选：B4、A【解题分析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【题目详解】∵椭圆的一个焦点是，∴，∴，故选：A5、A【解题分析】根据框图逐项计算后可得正确的选项.【题目详解】第一次循环前，；第二次循环前，；第三次循环前，；第四次循环前，；第五次循环前，此时满足条件，循环结束，输出S的值是18故选：A6、B【解题分析】求出得出的单调区间，从而可得答案.【题目详解】当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.故选：B7、D【解题分析】由题得，解方程即得解.【题目详解】解：因为，所以所以，所以，所以.故选：D8、A【解题分析】根据条件，列出满足条件的不等式，求的取值范围.【题目详解】曲线表示交点在轴的椭圆，，解得：.故选A【题目点拨】本题考查根据椭圆的焦点位置求参数的取值范围，意在考查基本概念，属于基础题型.9、B【解题分析】先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果.【题目详解】甲最终获得冠军的概率，故选：B.10、B【解题分析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.【题目详解】因为直线l的方程为，即，由消去y，得，设，则，又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以，而，所以，故，解得，所以抛物线的方程为故选：B.11、D【解题分析】利用等比数列的求和公式讨论公比的取值即得.【题目详解】设等比数列的公比为，当时，，因为，所以无解，即方程的解的个数为0，当时，，所以时，方程有无数个偶数解，当时，方程无解，综上，关于的方程的解的个数为0或无数个.故选：D.12、A【解题分析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【题目详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得即，可得由可得，故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】根据数学归纳法的步骤即可解答.【题目详解】用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=.故答案为：.14、①.6；②..【解题分析】利用第条直线与前条直线相交有个交点得出与的关系后可得结论【题目详解】第4条直线与前三条直线有3个交点，因此，同理，由此得到第条直线与前条直线相交有个交点，所以，即所以故答案为：6；15、①.②.【解题分析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值【题目详解】设P（x，y），由阿氏圆的定义可得即化简得则设则由抛物线的定义可得当且仅当四点共线时取等号，的最小值为故答案为：【题目点拨】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大16、15【解题分析】由等差数列通项公式直接可得.【题目详解】.故答案为：15三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解题分析】(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解试题解析：（Ⅰ）∵成等比数列，∴，整理得，解得或，当时，;当时，所以或（Ⅱ）设数列前项和为，∵，∴，当时，，∴；当时，综上18、（1）105种（2）105种（3）87种【解题分析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数原理可得结果；（2）呼吸内科至少2名医生参加，分三种情况：第一种是呼吸内科2名医生参加，第二种呼吸内科3名医生参加，第三种呼吸内科4名医生参加，然后利用分类计数原理可得结果；（3）由于张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，分有张雅和无张雅两种情况求解即可.【题目详解】（1）直接法：若无主任，若只有1名主任，共105种，间接法：（2）直接法：，间接法：（3）张雅既是主任，也是女医生．属于特殊元素，优先考虑，所以以是否有张雅来分类第一类：若有张雅，第二类：若无张雅，则李亮必定去，共87种【题目点拨】此题考查了分步和分类计数原理，正确分步和分类是解决此题的关键，属于中档题.19、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）先求出BD，通过勾股定理的逆定理得，再由面面垂直的性质得线面垂直，从而得线线垂直；（2）作出二面角，然后再解直角三形即可.【小问1详解】在中，，，由余弦定理有：，∴，∴，即.又∵二面角是直二面角，平面ABD平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.【小问2详解】因为点是的中点，在中，由（1）易知,.过点作垂直的延长线于，再连接.由（1）有AB⊥平面BCD，又平面BCD，所以，又，平面，平面，且,所以平面，又平面，所以，因此的大小即二面角的大小.而在中有,，可得，所以，所以.所以二面角的余弦值是.20、（1）（2）见解析【解题分析】（1）由两式相减得，所以（）因为等比，且，所以，所以故（2）由题设得，所以，所以，则，所以21、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】（1）过作面，连接，结合题设易知，根据过面外一点在该面上垂线性质知重合，再应用面面垂直的判定证明结论.（2）面中过作，结合题设构建空间直角坐标系，设并确定相关点坐标，求面、面法向量，应用空间向量夹角的坐标表示列方程求参数，最后由棱锥体积公式求体积.【小问1详解】由题设，易知：△是等腰直角三角形，即，将△沿BD折起过程中使直线AB与平面BCD所成的角为45°，此时过作面，连接，如下图示，所以，在△中，又且面，因为过平面外一点有且只有一条垂线段，故重合，此时面，又面，故平面ABD平面BCD；【小问2详解】在平面中过作，由（1）结论可构建如下图示的空间直角坐标系，由，，，若，则，故，，，若是面的一个法向量，则，若，则，若是面的一个法向量，则，若，则，所以，由二面角的大小为60°有，解得，故22、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质得到平面，连接，即可得到为