上海市松隐中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析

上海市松隐中学2022-2023学年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是定义在上的奇函数，当时,，函数则函数的大致图象为参考答案：D略2.函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200π B．50π C．100π D．π参考答案：B【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．4.如图是某多面体的三视图，则该多面体的体积是（

）A.22

B.24

C.26

D.28参考答案：B5.等比数列中，，，，为函数的导函数，则(

)A．0

B．

C．

D．参考答案：D略6.．已知函数有两个零点，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知函数在(0,+∞)上单调递增,则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B8.已知函数，当时，恒有

成立，则实数的取值范围（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（

）A.2

B.4

C.8

D.16参考答案：C10.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立，则实数t的取值范围是(

)A．[2，+∞） B． C． D．[1，2]参考答案：D【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）≤3﹣t恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，f（x）max≤3﹣t，解不等式即可得到所求范围【解答】解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[﹣，﹣2），当x∈[3，4]时，f（x）∈[﹣1，0]，即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．由f（x）max≤3﹣t，即为3﹣t≥1，解得t≤2，即有实数t的取值范围是[1，2]．故选D．【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.由点P（1，﹣2）向圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0所引的切线方程是

．参考答案：x=1或5x﹣12y﹣29=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】化圆为标准方程得（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，从而得到圆心为C（3，1），半径r=2．再根据切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式加以计算，并结合分类讨论可得所求的切线方程．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=4．∴圆心为C（3，1），半径r=2．当经过点P（1，﹣2）的直线与x轴垂直时，方程为x=1，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，此时直线与圆相切，符合题意；当经过点P（1，﹣2）的直线与x轴不垂直时，设方程为y+2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣2=0由圆C到直线的距离d=r，得，解之得k=此时直线的方程为y+2=（x﹣1），化简得5x﹣12y﹣29=0．综上所述，得所求的切线方程为x=1或5x﹣12y﹣29=0．故答案为：x=1或5x﹣12y﹣29=0．12.设抛物线的焦点为F，经过点P（2，1）的直线与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB中点，则

.参考答案：8

13.曲线在点（0,1）处的切线方程为______.参考答案：试题分析：，当时，，那么切线斜率，又过点，所以切线方程是．考点：导数的几何意义【方法点睛】求曲线在某点处的切线方程，基本思路就是先求函数的导数，然后代入，求函数在此点处的导数，就是切线的斜率，然后再按点斜式方程写出，还有另外一种问法，就是问过某点的切线方程，问题，就难了，如果是这样问，那所给点就不一定是切点了，所以要先将切点设出，然后利用此点处的导数就是切线的斜率，和两点连线的斜率相等，与点在曲线上联立方程，求出切点，然后再求切线方程．14.已知下列表格所示的数据的回归直线方程为多，则a的值为

．参考答案：24215.设为常数，点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为

参考答案：略16.函数的定义域为

.参考答案：

【知识点】函数的定义域B1解析：由题意得,故答案为.【思路点拨】函数的定义域应满足条件得不等式组取其交集即可．17.已知f（x）的定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=1+ax（a＞0）且a≠1），若f（﹣1）=﹣，则a=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件，得到f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1﹣a=﹣，即可求出a的值．【解答】解：由题意，当x＞0时，f（x）=1+ax（a＞0）且a≠1），f（﹣1）=﹣，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1﹣a=﹣，∴a=．故答案为．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的极坐标方程；（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），由此能求出点P的极坐标．【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为（θ为参数），∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由（Ⅰ）知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为（4cos（），），即（2，）．19.已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得弦长为4.⑴求动圆圆心的轨迹Q的方程；⑵已知点E(m,0)为一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B和C、D，且M、N分别是线段AB、CD的中点，若k1+k2=1，求证：直线MN过定点。参考答案：解：(1)设动圆圆心为O1(x，y)，动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O1P|＝|O1S|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点，∴|O1S|＝，又|O1P|＝，∴=，化简得y2＝4x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝4x，∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2＝4x.(2)由，得，AB中点，∴，同理，点……8分∴

……10分∴MN：，即∴直线MN恒过定点．

……12分略20.（本小题满分12分）已知的两边长分别为，，且O为外接圆的圆心．（注：，）（1）若外接圆O的半径为，且角B为钝角，求BC边的长；（2）求的值．

参考答案：解答：（1）由正弦定理有，

∴，∴，，

……3分

且B为钝角，∴，，

∴，

又，∴；

……6分（2）由已知，∴，

即

……8分

同理，∴，…………10分

两式相减得，即，∴．

……12分略21.极坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点O为极点，以轴正半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.(1)写出曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.参考答案：23解：（1）曲线C：，直线：。。。。。。。。。。。。。5分（2）

P（）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分略22.如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.参考答案：方法一：(Ⅰ)取CD的中点O，的中点，连接，ON，PO。在菱形中，由于∠ADC=60°，∴为正三角形，则AO⊥CD，又PO⊥CD,故CD⊥平面APO,

从而CD⊥PA.又∵

∴,

则四边形为平行四边形，所以.在ΔAPO中，∵AO=PO,∴ON⊥AP,

故AP⊥MC,

所以PA⊥平面MCD。………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知MC⊥平面PAB，∴，则∠NMB为二面角D-MC-B的平面角，