2024学年广西南宁市、玉林市、贵港市等高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2024学年广西南宁市、玉林市、贵港市等高二数学第一学期期末调研模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状.下列结论正确的个数是()①曲线C关于点(0，0)对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C的面积超过4π.A.0 B.1C.2 D.32．已知椭圆C：的一个焦点为（0，-2），则k的值为（）A.5 B.3C.9 D.253．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为A若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥α，n∥α，则m∥n D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n4．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数（）A.2 B.3C. D.5．已知空间向量，，且与互相垂直，则k的值是（）A.1 B.C. D.6．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.150°7．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（）A.720种 B.600种C.480种 D.384种8．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线9．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为()A. B.－C. D.10．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）A.1 B.2C. D.11．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.8412．设是等比数列，且，，则（）A.12 B.24C.30 D.32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴上方），_________14．如图，已知与所在平面垂直，且，，，点P、Q分别在线段BD、CD上，沿直线PQ将向上翻折，使D与A重合．则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为______15．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________16．若平面内两条直线，平行，则实数______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的焦距为，原点到经过两点的直线的距离为.（1）求椭圆的离心率；（2）如图所示，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的标准方程18．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB⏊平面PCD19．（12分）已知函数，其中（1）当时，求函数的单调区间；（2）①若恒成立，求的最小值；②证明：，其中.20．（12分）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数123456抗体含量水平510265096195根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；（3）从这位志愿者前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望.参考数据：3.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；.21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，.（1）求数列{an}通项公式；（2）求数列的前n项和，求使不等式成立的最大整数m的值.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，且，，分别为，的中点（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）点在棱上，且，证明：平面

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】根据图像或解析式即可判断对称性①②；估算第一象限内图像面积即可判断③.【题目详解】①将点(－x，－y)代入后依然为，故曲线C关于原点对称；②将点(y，x)代入后依然为，故曲线C关于y＝x对称；③曲线C在四个象限的图像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲线C上离原点最远的点的距离为显然第一象限内曲线C的面积小于以为直径的圆的面积，又∵，∴第一象限内曲线C的面积小于，则曲线C的总面积小于4π.故③错误.故选：C.2、A【解题分析】由题意可得焦点在轴上，由，可得k的值.【题目详解】∵椭圆的一个焦点是，∴，∴，故选：A3、D【解题分析】根据空间线面、面面的平行，垂直关系，结合线面、面面的平行，垂直的判定定理、性质定理解决【题目详解】∵α⊥γ，β⊥γ，α与β的位置关系是相交或平行，故A不正确；∵m∥α，m∥β，α与β的位置关系是相交或平行，故B不正确；∵m∥α，n∥α，m与n的位置关系是相交、平行或异面∴故C不正确；∵垂直于同一平面的两条直线平行，∴D正确；故答案D【题目点拨】本题考查线面平行关系判定，要注意直线、平面的不确定情况4、A【解题分析】设，则，解方程可得结果.【题目详解】设，则且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故选：A【题目点拨】关键点点睛：设是解题关键.5、D【解题分析】由＝0可求解【题目详解】由题意，故选：D6、C【解题分析】先求斜率，再求倾斜角即可【题目详解】解：直线的斜截式方程为，∴直线的斜率，∴倾斜角，故选：C【题目点拨】本题主要考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题7、D【解题分析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可【题目详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，再排，也有4种情况，余下4人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况故选：D.8、A【解题分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.【题目详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【题目点拨】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、B【解题分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【题目详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故选：B【题目点拨】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2).10、C【解题分析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.【题目详解】由圆：，得圆，半径为，所以，所以点到圆上点的最小距离为.故选：C.11、C【解题分析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.【题目详解】∵随机变量服从正态分布，∴故选：C.12、D【解题分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.【题目详解】设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.【题目点拨】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】根据抛物线焦半径公式，所以.故答案为：3.14、##【解题分析】取的中点，的中点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据求出，再由空间向量的数量积即可求解.【题目详解】取的中点，的中点，如图以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，由，即，解得，所以，故，设为平面ACQ的一个法向量，因为，，由，即，所以，设直线AP与平面ACQ所成角为，则.故答案为：15、【解题分析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【题目详解】∵，球半径为4，∴小圆的半径为，∵小圆中弦长，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案为：.16、-1或2【解题分析】根据两直线平行，利用直线平行的条件列出方程解得答案.【题目详解】∵，∴，解得或，经验证都符合题意，故答案为：-1或2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）根据题意得，进而求解离心率即可；（2）根据题意得圆心是线段的中点，且，易知斜率存在，设其直线方程为，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.【小问1详解】解：过点的直线方程为，∴原点到直线的距离，由，得，解得离心率.【小问2详解】解：由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直，设其直线方程，联立，得.设，则，.由，得，解得.所以.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.18、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】（1）取BC中点G，连结EG，FG，推导出，，从而平面平面，由此能得出结论；（2）推导出，从而平面PAD，即得，结合得出平面PCD，由此能证明结论成立.【题目详解】（1）取BC中点G，连结EG，FG，∵E，F分别是AD，PB的中点，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因为底面ABCD为矩形，所以，又因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因为平面PAD，所以.又因为，，所以平面PCD因为平面PAB，所以平面平面PCD【题目点拨】本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）①1；②证明见解析【解题分析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可；②由①知：，时取“=”，令，即，最后累加即可.【小问1详解】由已知条件得，其中的定义域为，则，当时，，当时，，综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】①由恒成立，即恒成立，令，则，当时，，当时，，∴在上单调递增，上单调递减，∴，∴的最小值为1.②由①知：，时取“=”，令，得，∴，当时，.20、（1）（2），4023.87（3）分布列答案见解析，数学期望：【解题分析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程，（2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值，（3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望【小问1详解】根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型.【小问2详解】设，变换后可得，设，建立w关于x的回归方程，，所以所以w关于x的回归方程为，所以，当时，，即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL.【小问3详解】由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，故x的可能取值为0，1，2，，，，X的分布列为012.21、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据给定的递推公式变形，再构造常数列求解作答.（2）利用（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和，由单调性求出最大整数m值作答.【小问1详解】依题意，，当时，，两式相减得：，即，整理得：，于是得，所以数列{an}的通项公式是.【小问2详解】由（1）得，，数列是递增数列，因此，，于是有，则，不等式成立，则，，于是得，所以使不等式成立的最大